[pt] Nesse trabalho descrevemos superfícies mínimas mergulhadas em espaços produtos M x R, onde M = R2, S2 e H2 que são folheadas por geodésicas (superfícies regradas ) e curvas de curvatura constante de M (supefícies cíclicas ). Em R2xR, ou seja, em R3 vamos demonstrar que só existem duas superfícies mínimas cíclicas, que são o catenóide e o exemplo de Riemann. Em seguida caracterizamos as superfícies mínimas cíclicas em S2 x R que formam uma família a dois parâmetros e por fim exibimos três famílias de dois parâmetros de superfícies mínimas cíclicas em H2 x R. / [en] In this work we describe minimal surfaces embedded in product spaces M x R, where M = R2, S2 and H2 which are foliated by geodesics (ruled surfaces) and curves of M with constant curvature (cyclic surfaces). In R2 x R, i.e. R3, we shall prove that there exist only two minimal cyclic surfaces which are the catenoid and the Riemann example. Then we characterize minimal cyclic surfaces in S2 x R; they form a two-parameter family. Finally we exhibit three two-parameter families of minimal cyclic surfaces in H2 x R.

[pt] A união entre o conhecimento lógico acadêmico e a sabedoria popular espontânea vem resultando em uma série de objetos, nos quais a pesquisa destila informações para chegar cada vez mais próximo da popularização das arquiteturas leves baseadas nas superfícies mínimas. Procuram-se métodos de desenvolvimento de estruturas baseado na observação dos processos de crescimento contínuo das formações naturais. Para atingir esse objetivo alguns simples dispositivos são preparados para a geração de formas espontâneas, como as bolhas de sabão. Estas são controladas e manipuladas de modo a atingir parâmetros predeterminados de projeto, o que torna possível a visualização de potenciais geometrias que sirvam ao objeto almejado. Assim, essas formas são captura- das de modo a obter suas curvas da maneira mais clara possível. A combinação dessas capturas com os resultados dos cálculos no ambiente dos softwares torna possível a parametrização das formas o mais próximos possível das formas naturais. A obtenção e otimização dos cálculos numéricos que definem a geometria dos modelos em escala e de protótipos em escala de uso é fruto da interação de procedimentos artesanais e computacionais, que ampliam o escopo de entendimento do objeto. Esse método vem, atualmente, sendo experimentado e já resultou em alguns protótipos que foram colocados em uso de diversas maneiras. Tanto formas sinclásticas como anticlásticas foram obtidas. A preparação dos materiais e suas partes, assim como as montagens e desmontagens dos objetos, em escala real de uso, foram conduzidas pela equipe do laboratório, sem a necessidade de ferramentas especiais ou complexas. / [en] This union between logical academic knowledge and spontaneous popular knowledge has been resulting in a series of objects from which the research is gathering information to get as close as possible to an answer about the popularization of light- weight architecture. Methods for developing structures based on the observation of the natural formation s continuous growing process are being chased. Heading to this point, some simple devices are prepared to generate spontaneous shapes, such as soap bubbles and soap films. Those are controlled and manipulated to meet the predetermined project parameters and make possible the visualization of potential geometries for the intended object. Then, they are captured in order to obtain its curves. The combination between the captures and the results of software environment calculations make possible the parameterization of the shape as close as possible to the natural geometry. Interactions between artisanal procedures and computer work is found necessary to the obtainment and optimization of numerical calculation that define the geometry of scale models and prototypes, expanding the understanding of the object. This method is currently being experimented and the resulting objects were employed in a variety of ways. Both synclastic and anticlastic forms were obtained. The preparation of the material and their parts, as well as the assemble and disassemble of them, in use scale, were entirely con- ducted by the lab s staff, with no need of special or complex hardware.

[pt] O presente trabalho, desdobramento da pesquisa desenvolvida entre 2007 e 2009, relatada na dissertação de mestrado intitulada Design de estruturas reticuladas de bambu geradas a partir de superfícies mínimas, tem como objetivo principal a aplicação de alguns dos modelos de estruturas de cobertura desenvolvidos pelo LILD (Laboratório de Investigação em Livre Desenho), em escala e contexto real para uso comunitário. Isso ocorre através do ensino de técnicas simples e de baixo impacto ambiental, em processos de construção coletiva utilizando materiais e mão de obra locais. Por meio da elaboração de desenhos, modelos físicos reduzidos e da prática construtiva coletiva em si, obtém-se uma dinâmica de troca de saberes entre mestres e aprendizes, onde o conhecimento flui de maneira multidirecional, se retroalimenta. O aprendizado obtido fica evidente em dois momentos: no desenvolvimento das estruturas em laboratório, pois ampliam o repertório de unidades estruturais do LILD, e na construção das mesmas fora dos muros da universidade, pois trazem resultados reais tanto sobre os saberes trocados entre os envolvidos quanto à ação do meio físico e social sobre o experimento. / [en] The present work, unfolding of the research developed between 2007 and 2009, reported in the master dissertation entitled Design of bamboo frame structures generated from minimal surfaces, has as main objective the implementation of models of roof structures developed by LILD (Laboratory Research in Free Design) on a scale and real context for community use. It happens by teaching simple and low environmental impact techniques in processes of collective construction using local materials and labor. Through the development of drawings, reduced physical models and collective constructive practice itself, we can get a dynamic exchange of knowledge between teachers and learners in which knowledge flows multidirectional way, feeds itself. The knowledge gained is evident in two phases: in the development of structures in the laboratory, it expands the repertoire of structural units of the LILD, and building them outside the walls of the university, because they bring real results both on the knowledge exchanged between those involved as the action of the physical and social environment on them.

[pt] Neste trabalho estudamos a teoria clássica das superfícies mínimas em R3, focando na representação de Enneper-Weierstrass e suas consequências. São exibidos vários exemplos, incluindo as superfícies de Jorge-Meeks e de Jorge-Xavier. Também mostramos princípios do máximo para superfícies mínimas e várias aplicações como, por exemplo, o teorema do semi-espaço. Em seguida, nos concentramos na teoria das superfícies mínimas completas de curvatura total finita e, com esta, podemos analisar o desenvolvimento assintótico de fins mínimos completos mergulhados de curvatura total finita. Por fim, a dissertação culmina com o teorema de Schoen, que afirma que as únicas superfícies mínimas completas, conexas, de curvatura total finita e apenas dois fins - ambos mergulhados - são um par de planos e o catenoide. / [en] In this work we study the classical theory of minimal surfaces in R3, with special focus on the Enneper-Weierstrass representation and its consequences. We exhibit many examples, including the Jorge-Meeks and Jorge-Xavier surfaces. We also show maximum principles for minimal surfaces and many applications as, for instance, the half-space theorem. Afterwards, we focus on the theory of complete minimal surfaces with finite total curvature, with which we can analyse the asymptotic development of complete minimal embedded ends with finite total curvature. This dissertation culminates with the Schoen s theorem, which states that the only complete, connected minimal surfaces with finite total curvature and exactly two ends - both embedded - are a pair of planes or a catenoid.

[pt] A Geometria Diferencial Discreta tem por objetivo desenvolver uma teoria discreta que respeite os aspectos fundamentais da teoria suave. Com isto em mente, são apresentados incialmente resultados da teoria suave da Geometria Afim que terão suas versões discretas tratadas a posteriori. O primeiro objetivo deste trabalho é construir uma estrutura afim discreta para as redes assintóticas definidas no espaço tridimensional, com métrica de Blaschke indefinida e parâmetros assintóticos. Com este intuito, são definidos um campo conormal, que satisfaz as equações de Lelieuvre e está associado a um parâmetro real, e um normal afim que define a forma cúbica da rede e torna a estrutura bem definida. Esta estrutura permite, por exemplo, o estudo das superfícies regradas, com ênfase nas esferas afins impróprias. Além disso, propõe-se uma definição para as singularidades no caso das esferas afins impróprias discretas a partir da construção centrocorda. Outro objetivo deste trabalho é propor uma definição para as superfícies afins discretas com curvatura afim média constante (CAMC), de forma que englobe as superfícies afins mínimas e as esferas afins. As superfícies afins mínimas discretas recebem uma caracterização geométrica bastante interessane e ligada diretamente às quádricas de Lie discretas. O trabalho se completa com o principal resultado, referente à versão discreta das superfícies de Cayley, esferas afins impróprias regradas caracterizadas a partir da conexão afim induzida: uma rede assintótica com CAMC é congruente equiafim à uma superfície de Cayley se, e somente se, a forma cúbica é não nula e a conexão afim induzida é paralela. / [en] Discrete Differential Geometry aims to develop a discrete theory which respects fundamental aspects of smooth theory. With this in mind, some results of smooth theory of Affine Geometry are firstly introduced since their discrete counterparts shall be treated a posteriori. The first goal of this work is construct a discrete affine structure for nets in a three-dimensional space with indefinite Blaschke metric and asymptotic parameters. For this purpose, one defines a conormal vector field, which satisfies Lelieuvre s equations and it is associated to a real parameter; and an affine normal vector field, which defines the cubic form of the net and makes the structure well defined. This structure allows to study, e.g., ruled surfaces with emphasis on improper affine spheres. Moreover, a definition for singularities is proposed in the case of discrete improper affine spheres from the center-chord construction. Another goal here is to propose a definition for an asymptotic net with constant affine mean curvature (CAMC), in a way that encompasses discrete affine minimal surfaces and discrete affine spheres. Discrete affine minimal surfaces receive a beautiful geometrical characterization directly linked to discrete Lie quadrics. This work is completed with the main result about a discrete version of Cayley surfaces, which are ruled improper affine spheres that can be characterized by the induced connection as: an asymptotic net with CAMC is equiaffinely congruent to a Cayley surface if and only if the cubic form does not vanish and the affine induced connection is parallel.