nÃo hà / The Min-Degree Constrained Minimum Spannig Tree - MD-MST is to find a minimum spanning tree of a graph where each vertex is a leaf of the tree or satisfies a constraint of minimum degree. The leaf vertices are called terminals and the others are the central vertices. We define and study a variation of this problem, which we denote MDF-MST, where the terminal and central vertices are fixed. We show that the problem is NP-Hard and is in FPT, parameterized by the number of central vertices. We also identify cases where the problem becomes polynomial. We propose several integer programming formulations for the problem and compare the quality of lower bound generated by their linear relaxations. We propose and teste a Lagrangian Relaxation for the problem, which we also use to define Lagrangian heuristics. We define greedy heuristics, a VND Local search and a VNS heuristic. We present a Bendersâs Decomposition. We propose a new general heuristic that combines ingredients from the Bendersâs decomposition with subgradient method, which we call subgradient heuristic. We apply this heuristic to the MDF-MST. All these algorithms have been implemented, tested and compared among them and with the CPLEX solver. The computational efficiency of the proposed algorithms, especially the Lagrangian heuristics, is comparable with that of CPLEX, and even better in several cases. Some of these algorithms were adapted for the MD-MST and DC-MST (inthelatter,thedegreeconstraintisofmaximumdegree). Whencomparingthecomputational results with the literature, we conclude that the algorithms are competitive. / O Problema de Ãrvore Geradora MÃnima com RestriÃÃo de Grau MÃnimo (Min-Degree Constrained Minimum Spannig Tree - MD-MST) consiste em encontrar uma Ãrvore geradora mÃnima de um grafo onde cada vÃrtice ou à folha da Ãrvore ou satisfaz uma restriÃÃo de grau mÃnimo. Os vÃrtices folhas sÃo chamados terminais e os demais sÃo os centrais. Definimos e estudamos uma variaÃÃo desse problema, que denotamos MDF-MST, onde os terminais e centrais sÃo definidos a priori. Mostramos que o problema à NP-DifÃcil e està na Classe FPT, parametrizado pelo nÃmero de centrais. Identificamos tambÃm casos onde o problema torna-se polinomial. Propomos vÃrias formulaÃÃes de programaÃÃo inteira para o problema e comparamos teÃrica e computacionalmente a qualidade do limite inferior gerado por suas relaxaÃÃes lineares. Propomos e testamos uma relaxaÃÃo lagrangeana para o problema, que usamos tambÃm para definir heurÃsticas lagrangenas. Definimos heurÃsticas gulosas, uma busca VND e uma heurÃstica VNS. Apresentamos uma decomposiÃÃo de Benders. Propomos uma nova heurÃstica geral que combina ingredientes da decomposiÃÃo de Benders com mÃtodo de subgradientes, a qual denominamos HeurÃstica de Subgradientes. Aplicamos tal heurÃstica ao MDF-MST. Todos esses algoritmos foram implementados, testados, comparados entre si e com o solver CPLEX. A eficiÃncia computacional dos algoritmos propostos, especialmente a relaxaÃÃo lagrangeana, à competitiva com a do CPLEX, e superior em vÃrios casos. Alguns desses algoritmos foram adaptados para o problema MD-MST e seu correlato DC-MST (este Ãltimo onde a restriÃÃo sobre os centrais à de grau mÃximo). Quando comparamos os resultados computacionais com a literatura

FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / Introduzimos o problema de Ãrvore Geradora com DependÃncias MÃnima, AGDM(G,D,w), definido sobre um grafo G(V,E) e um digrafo D(E,A), cujos vÃrtices sÃo as arestas de G e cujos arcos definem dependÃncias entre tais arestas. O problema consiste em encontrar, dentre as Ãrvores geradoras do grafo G(V,E) que satisfaÃam as restriÃÃes de dependÃncia impostas pelo digrafo de entrada D(E,A), uma que tenha custo mÃnimo, segundo a ponderaÃÃo w das arestas de G. As restriÃÃes de dependÃncia exigem que uma aresta e de G sà pode fazer parte de uma soluÃÃo se for uma fonte em D ou se fizer parte da soluÃÃo alguma outra aresta à tal que o arco (e′, e) esteja em D. Provamos que decidir se hà soluÃÃo viÃvel para AGDM(G,D,w) à um problema NP-completo, mesmo quando G à um cacto cordal e D à a uniÃo de arborescÃncias de altura no mÃximo 2. Sua NP-completude tambÃm à mostrada ainda que G seja bipartido, as restriÃÃes de dependÃncia ocorram apenas entre arestas adjacentes de G e formem arborescÃncias de altura no mÃximo 2. Resultados idÃnticos sÃo obtidos para as variantes do problema onde, nas restriÃÃes de dependÃncia, substitui-se o requisito âalgumaâ por âexatamente umaâ ou âtodaâ. Para resolver o problema, apresentamos algumas formulaÃÃes de programaÃÃo inteira e desigualdades vÃlidas. Propomos uma estratÃgia para reduzir a dimensÃo do problema, excluindo arestas de G com base na estrutura de D. Avaliamos os modelos e algoritmos propostos usando instÃncias geradas aleatoriamente. Resultados computacionais sÃo reportados. / We introduce the Dependency Constrained Minimum Spanning Tree Problem, DCMST(G,D,w), defined over a graph G(V,E) and a digraph D(E,A), whose vertices are the edges of G and whose arcs describe dependency relations between these edges. Such problem consists of finding, among the spanning trees of G(V,E) satisfying the dependency constraints imposed by D(E,A), that one whose cost is minimum, according to a edgeweight function w. The dependency constraints impose that an edge e of G can be part of a solution either if it is a source in D or if some other edge e′, such that the arc (e′, e) is in D, is part of it as well. We prove that deciding whether there is a feasible solution to DCMST(G,D,w) is an NP-complete problem, even if G is a chordal cactus and D is a union of arborescences of height at most 2. NP-completeness also applies if G is bipartite, the dependency constraints occur only between adjacent edges of G and their related arcs describe arborescences whose height is at most 2. The same results are obtained for the problem variants which demand that, instead of âsomeâ, âexactly oneâor âallâdependencies be part of a solution. To solve the problem, we introduce some integer programming formulations and some valid inequalities. We propose a strategy to reduce the problem dimension by excluding some edges of G according to the structure of D. We evaluate the introduced models and algorithms using randomly generated instances. Computational results are reported.