Ce travail est consacré à l’étude de quelques questions issues de la modélisation des systèmes biologiques en combinant des outils analytiques et probabilistes. Dans la première partie, nous nous intéressons à la dérivation des équations de champ moyen associées aux réseaux de neurones, ainsi qu’à l’étude de la convergence vers l’équilibre des solutions. Dans le Chapitre 2, nous utilisons la méthode de couplage pour démontrer la propagation du chaos pour un réseau neuronal avec délais et avec une architecture aléatoire. Dans le Chapitre 3, nous considérons une équation cinétique du type FitzHugh-Nagumo. Nous analysons l'existence de solutions et prouvons la convergence exponentielle dans les régimes de faible connectivité. Dans la deuxième partie, nous étudions le rôle des homéoprotéines (HPs) sur la robustesse des bords des aires fonctionnelles. Dans le Chapitre 4, nous proposons un modèle général du développement neuronal. Nous prouvons qu'en l'absence de diffusion, les HPs sont exprimées dans des régions irrégulières. Mais en présence de diffusion, même arbitrairement faible, des frontières bien définies émergent. Dans le Chapitre 5, nous considérons le modèle général dans le cas unidimensionnel et prouvons l'existence de solutions stationnaires monotones définissant un point d'intersection unique aussi faible que soit le coefficient de diffusion. Enfin, dans la troisième partie, nous étudions une équation de Keller-Segel sous-critique. Nous démontrons la propagation du chaos sans aucune restriction sur le noyau de force. En outre, nous démontrons que la propagation du chaos a lieu dans le sens de l’entropie. / This work is devoted to the study of mathematical questions arising from the modeling of biological systems combining analytic and probabilistic tools. In the first part, we are interested in the derivation of the mean-field equations related to some neuronal networks, and in the study of the convergence to the equilibria of the solutions to the limit equations. In Chapter 2, we use the coupling method to prove the chaos propagation for a neuronal network with delays and random architecture. In Chapter 3, we consider a kinetic FitzHugh-Nagumo equation. We analyze the existence of solutions and prove the nonlinear exponential convergence in the weak connectivity regime. In the second part, we study the role of homeoproteins (HPs) on the robustness of boundaries of functional areas. In Chapter 4, we propose a general model for neuronal development. We prove that in the absence of diffusion, the HPs are expressed on irregular areas. But in presence of diffusion, even arbitrarily small, well defined boundaries emerge. In Chapter 5, we consider the general model in the one dimensional case and prove the existence of monotonic stationary solutions defining a unique intersection point for any arbitrarily small diffusion coefficient. Finally, in the third part, we study a subcritical Keller-Segel equation. We show the chaos propagation without any restriction on the force kernel. Eventually, we demonstrate that the propagation of chaos holds in the entropic sense.

Cette thèse est consacrée à l'analyse des singularités apparaissant dans des équations différentielles partielles elliptiques non linéaires découlant de la physique mathématique, de la biologie mathématique, et de la géométrie conforme. Les thèmes abordés sont le modèle de supraconductivité de Ginzburg-Landau, le problème de Lin-Ni-Takagi, le modèle de Keller-Segel de la chimiotaxie, et le problème de courbure scalaire prescrite. Le modèle de Ginzburg-Landau est une description phénoménologique de la supraconductivité. Une caractéristique essentielle des supraconducteurs de type II est la présence de vortex, qui apparaissent au-dessus d'une certaine valeur de la force du champ magnétique appliqué, appelée premier champ critique. Nous nous intéressons au régime de epsilon petit, où epsilon est l'inverse du paramètre de Ginzburg-Landau (une constante du matériau). Dans ce régime, les vortex sont au premier ordre des singularités topologiques de co-dimension 2. Nous fournissons une construction quantitative par approximation de vortex en dimension trois pour l'énergie de Ginzburg-Landau, ce qui donne une approximation des lignes de vortex ainsi qu'une borne inférieure pour l'énergie, qui est optimale au premier ordre et vérifiée au niveau epsilon. En utilisant ces outils, nous analysons ensuite le comportement des minimiseurs globaux en dessous et proche du premier champ critique. Nous montrons que, en dessous de cette valeur critique, les minimiseurs de l'énergie de Ginzburg-Landau sont des configurations sans vortex et que les minimiseurs, proche de cette valeur, ont une vorticité bornée. Le problème de Lin-Ni-Takagi apparait comme l'ombre (dans la littérature anglaise ``shadow'') du système de Gierer-Meinhardt d'équations de réaction-diffusion qui modélise la formation de motifs biologiques. Ce problème est celui de trouver des solutions positives d'une équation critique dans un domaine régulier et borné de dimension trois, avec une condition de Neumann homogène au bord. Dans cette thèse, nous construisons des solutions à ce problème présentant un comportement explosif en un point du domaine, lorsqu'un certain paramètre converge vers une valeur critique. La chimiotaxie est l'influence de substances chimiques dans un environnement sur le mouvement des organismes. Le modèle de Keller-Segel pour la chimiotaxie est un système de diffusion-advection composé de deux équations paraboliques couplées. Ici, nous nous intéressons aux états stationnaires radiaux de ce système. Nous sommes alors amenés à étudier une équation critique dans la boule unité de dimension 2, avec une condition de Neumann homogène au bord. Dans cette thèse, nous construisons plusieurs familles de solutions radiales qui explosent à l'origine de la boule, et se concentrent sur le bord et/ou sur une sphère intérieure, lorsqu' un certain paramètre converge vers zéro. Enfin, nous étudions le problème de la courbure scalaire prescrite. Étant donnée une variété Riemannienne compacte de dimension n, nous voulons trouver des métriques conformes dont la courbure scalaire soit une fonction prescrite, qui dépend d'un petit paramètre. Nous supposons que cette fonction a un point critique qui satisfait une hypothèse de platitude appropriée. Nous construisons plusieurs métriques, qui explosent lorsque le paramètre converge vers zéro, avec courbure scalaire prescrite. / This thesis is devoted to the analysis of singularities in nonlinear elliptic partial differential equations arising in mathematical physics, mathematical biology, and conformal geometry. The topics treated are the Ginzburg-Landau model of superconductivity, the Lin-Ni-Takagi problem, the Keller-Segel model of chemotaxis, and the prescribed scalar curvature problem. The Ginzburg-Landau model is a phenomenological description of superconductivity. An essential feature of type-II superconductors is the presence of vortices, which appear above a certain value of the strength of the applied magnetic field called the first critical field. We are interested in the regime of small epsilon, where epsilon is the inverse of the Ginzburg-Landau parameter (a material constant). In this regime, the vortices are at main order co-dimension 2 topological singularities. We provide a quantitative three-dimensional vortex approximation construction for the Ginzburg-Landau energy, which gives an approximation of vortex lines coupled to a lower bound for the energy, which is optimal to leading order and valid at the epsilon-level. By using these tools we then analyze the behavior of global minimizers below and near the first critical field. We show that below this critical value, minimizers of the Ginzburg-Landau energy are vortex-free configurations and that near this value, minimizers have bounded vorticity. The Lin-Ni-Takagi problem arises as the shadow of the Gierer-Meinhardt system of reaction-diffusion equations that models biological pattern formation. This problem is that of finding positive solutions of a critical equation in a bounded smooth three-dimensional domain, under zero Neumann boundary conditions. In this thesis, we construct solutions to this problem exhibiting single bubbling behavior at one point of the domain, as a certain parameter converges to a critical value. Chemotaxis is the influence of chemical substances in an environment on the movement of organisms. The Keller-Segel model for chemotaxis is an advection-diffusion system consisting of two coupled parabolic equations. Here, we are interested in radial steady states of this system. We are then led to study a critical equation in the two-dimensional unit ball, under zero Neumann boundary conditions. In this thesis, we construct several families of radial solutions which blow up at the origin of the ball and concentrate on the boundary and/or an interior sphere, as a certain parameter converges to zero. Finally, we study the prescribed scalar curvature problem. Given an n-dimensional compact Riemannian manifold, we are interested in finding bubbling metrics whose scalar curvature is a prescribed function, depending on a small parameter. We assume that this function has a critical point which satisfies a suitable flatness assumption. We construct several metrics, which blow-up as the parameter goes to zero, with prescribed scalar curvature.