La première théorie de vagues a été proposée par Sir George Biddell Airy en 1845. Elle est, aujourd'hui encore, la théorie de vagues la plus utilisée. TI y a ensuite eu plusieurs théories de vagues, mais dû à la complexité des formulations, elles ont été placées au deuxième plan, par rapport aux applications pratiques. Plusieurs paramètres de vagues, ainsi que différents phénomènes d'intérêt, sont encore étudiés à partir de la théorie linéaire d'Airy, même si on sait que cette théorie n'est pas valide pour toutes les conditions qui vont se présenter aux ingénieurs, dans la pratique, surtout quand le fond joue un rôle transformateur sur le profil de la vague. Dans le présent travail sont étudiées la théorie linéaire d'Airy (1845), la théorie de Stokes (1847) du deuxième ordre, la théorie de Stokes du troisième ordre proposée par Skjelbreia (1958), les théories de Stokes du cinquième ordr~ proposées par Isobe, Nishinuura et Horikawa (1978) et celle proposée par Fenton (1985), les théories d'onde cnoïdale du premier ordre proposées par Masch et Wiegel (1961) et par Svendsen (2006), la théorie d'onde cnoïdale du troisième ordre proposée par Isobe, Nishimura et Horikawa (1978) et les théories d'onde solitaire du premier ordre proposées par Masch et Wiegel (1961) et Svendsen (2006). Pour chaque théorie de vague étudiée sont analysés la longueur d'onde, la célérité de la vague, le nombre d'Ursell, la distance entre le fond et le creux de la vague, l'énergie moyenne de la vague, la puissance de la vague, les transports de masse lagrangien et eulérien, la variation du niveau d'eau moyen, la contrainte de radiation principale et la contrainte de radiation perpendiculaire. Dans le présent travail sont présentées les différentes formulations de chaque théorie étudiée, ainsi que des graphiques et tableaux pour montr~r le comportement des différents paramètres de vagues. Comme résultat du présent travail, un outil Excel est fourni, qui permettra de connaître le comportement des différents paramètres de vagues, inconnus pour l'instant pour les théories de vagues les plus utilisées.

Le présent travail sera consacré à l'étude de la contrôlabilité et l'observabilité de l'équation des ondes ainsi qu'à l'obtention de l'observabilité uniforme du système observable discrétisé. Dans un premier temps, les notions de bases ainsi que les résultats importants sur l'observabilité et la contrôlabilité de l'équation des ondes seront donnés pour l'équation des ondes aux conditions limites de Dirichlet. Par la suite, nous étudierons la semi-discrétisation du système observable par la méthode spectrale de Legendre-Galerkin. Finalement, nous tenterons d'obtenir une observabilité uniforme par rapport à la dimension de l'espace d'approximation par une méthode de filtre sur cet espace.