Titre de l'écran-titre (visionné le 22 mai 2023) / Les modèles mathématiques sont souvent employés en neurosciences pour mieux comprendre le comportement des neurones et des réseaux neuronaux. De nombreux outils mathématiques sont utilisés pour décrire les différents aspects de l'activité et des structures neuronales sur des échelles temporelles et temporelles s'étendant sur plusieurs ordres de grandeur. Par exemple, les systèmes d'équations différentielles ordinaires tels que le modèle de Hodgkin-Huxley sont utilisés depuis plusieurs décennies pour décrire les mécanismes de génération de potentiels d'action dans les neurones. À une échelle spatiale plus grande, les équations aux dérivées partielles (EDP) telles que les équations de Maxwell sont utilisées pour comprendre la distribution du champ électrique sur l'ensemble du cerveau. Un nombre moins important de recherches ont été consacrées à l'étude de la distribution des concentrations ioniques et du champ électrique dans les petites structures neuronales (∼ 1μm) telles que les nœuds de Ranvier, les épines dendritiques ou les vésicules présynaptiques. Une manière de modéliser ces structures est de résoudre le système EDP des équations de Poisson Nernst Planck. Ce système d'équations peut être utilisé pour calculer la distribution des concentrations ioniques en résolvant les équations de Nernst-Planck et résoudre la distribution des champs électriques par l'équation de Poisson. L'avantage d'une telle approche est qu'elle permet d'étudier des structures aux géométries arbitrairement complexes. L'objectif principal de cette thèse est d'utiliser le système d'équations de Poisson Nernst-Planck pour modéliser l'activité des épines dendritiques et des nœuds de Ranvier afin de mieux comprendre les les fluctuations des concentrations ioniques dans ces structures. Une contribution importante du projet projet est l'implémentation d'une méthode numériquement efficace pour résoudre ces équations. En effet, la résolution de l'EDP sur des géométries non triviales peut rapidement devenir coûteuse en termes de calcul ce qui rend important le choix d'une approche numérique efficace. Nous avons utilisé la méthode des éléments finis avec des éléments de second ordre. Notre code est implémenté sur le logiciel MEF++, un code développé par le groupe de recherche GIREF de l'Université Laval. Les deux structures d'intérêt, les épines dendritiques et les nœuds de Ranvier, ont été choisies parce qu'elles jouent des rôles importants dans la signalisation neuronale et parce que leurs fonctions sont susceptibles d'être modulées par des altérations de leurs géométries. Les épines dendritiques sont des structures en forme de champignon qui recouvrent les branches dendritiques. Une grande partie des synapses excitatrices sont situées sur les épines dendritiques et l'on pense donc que ces structures jouent un rôle dans la façon dont le signal électrique est transmis au corps cellulaire du neurone. Nous avons simulé des événements synaptiques se produisant sur des épines de géométries différentes afin de déchiffrer la relation entre leur forme et leur fonction. Les événements survenant au niveau des synapses excitatrices déclenchent deux types de réponses, une dépolarisation électrique et une augmentation de la concentration en calcium. Notre modèle décrit ces deux réponses. Nos simulations suggèrent que la forme des épines dendritiques est un déterminant important de la dynamique du calcium alors que son impact sur la signalisation électrique reste limité sur une large gamme de géométries. Les axones sont des structures filiformes qui transmettent des signaux électriques d'un neurone à d'autres. Les axones sont isolés électriquement par des gaines de myéline qui accélèrent la propagation des signaux. Les nœuds de Ranvier sont de petites sections non myélinisées de l'axone, espacées à des intervalles à peu près réguliers. Ces structures sont caractérisées par une forte densité de canaux commandés par le voltage qui maintiennent l'amplitude du potentiel d'action pendant sa propagation. Nous étudions numériquement l'effet de la longueur du nœud, de l'épaisseur de la myéline et de l'angle que fait la myéline avec le nœud de Ranvier sur la propagation du potentiel électrique dans la membrane de l'axone. Nous montrons que la perte de myéline dans le nœud de Ranvier pourrait avoir un impact important sur les potentiels extracellulaires. La méthodologie développée dans cette thèse pourrait être appliquée à de nombreuses autres structures telles que la fente synaptique ou les vésicules présynaptiques. / Mathematical models are often employed in neuroscience to better understand the behaviour of neurons and neural networks. Many mathematical tools are used to describe the different aspects of neural activity and structures over temporal and time scales spanning over several order of magnitudes. For example, systems of ordinary differential equations (ODE's) such as the Hodgkin-Huxley model have been used for several decades to describe the spike generating mechanisms in neurons. On a larger spatial scale, partial differential equations (PDE's) such as Maxwell equations are used to understand the distribution of the electrical field over the whole brain. A lesser amount of research has been devoted to the investigation of the distribution of ionic concentrations and electrical field in small neural structures (∼ 1 μm) such as nodes of Ranvier, dendritic spines or presynaptic vesicles. One way to perform such investigations is to solve the PDE system of Poisson Nernst Planck equations. This system of equations can be used to compute the distribution of ionic concentrations by solving the Nernst-Planck equations and resolve the distribution of electric fields through the Poisson equation. The advantage of such an approach is that it allows the investigation of structures with arbitrarily complex geometries. The main aim of this thesis is to use the Poisson Nernst-Planck system of equations to model the electrical activity of dendritic spines and nodes of Ranvier and to better understand the fluctuations of ionic concentrations in these structures. A significant contribution of the project is the implementation of a numerically efficient way to solve these equations. Indeed, the resolution of PDE on non trivial geometries can rapidly become computationally expensive making the choice of an efficient numerical approach important. We used the finite element method with second order elements. Our code is implemented on the MEF++ software, a code developed by the GIREF research group at Laval University. The two structures of interest, dendritic spines and nodes of Ranvier were chosen because they play important roles in signaling in neural signaling and because their functions is likely to be modulated by alterations in their geometries. Dendritic spines are mushroom like structures covering dendritic branches. A large proportion of excitatory synapses are located on dendritic spines and it is thus believed that these structures play a role in how the electric signal is transmitted to the neuron's cell body. We simulated synaptic events occurring on spines with many different geometries to decipher the elusive relationship between their shape and function. Events at excitatory synapses trigger two types of responses: an electrical depolarization and an increase in calcium concentration. Our model describes these two responses. Our simulations suggest that the shape of the spine is an important determinant of calcium dynamics while its impact on electric signaling remains limited over a wide range of geometries. Axons are wire like structures transmitting electric signals from one neuron to others. Axons are electrically insulated by myelin sheaths which accelerates signal propagation. Nodes of Ranvier are small unmyelinated sections of the axon spaced at roughly regular intervals. Theses structures are characterized by a high density of voltage gated channels which maintain the amplitude of the action potential during its propagation. Numerically, we investigate the effect of the node length, myelin thickness and the angle which the myelin makes with the node of Ranvier on the propagation of electric potential in the membrane of the axon. We show that loss of myelin in the node of Ranvier might have an important impact on extracellular potentials. The methodology developed in this thesis could be applied to many other structures such as the synaptic cleft or presynaptic vesicles.