Nous étudions la stabilité de l'écoulement de films superposés de fluides newtoniens ou non newtoniens sur un plan incliné. La connaissance des conditions d'apparition des instabilités dans ce type d'écoulements intéresse particulièrement le secteur industriel faisant appel à des méthodes de couchage. Il est en effet intéressant de pouvoir maîtriser le déclenchement des instabilités en vue d'éviter qu'elles ne déteriorent la qualité du produit. Nous nous sommes intéressés au cas de fluides rhéofluidifiants, dont la viscosité est décrite par la loi de Carreau. <br />La première partie est consacrée au cas d'une seule couche. Trois approches complémentaires sont exploitées : une approche asymptotique, considérant un comportement faiblement non newtonien dans la limite des grandes longueurs d'onde, une approche phénoménologique basée sur les mécanismes de l'instabilité au niveau de la surface libre et une approche numérique. Cette dernière s'appuie sur la résolution sous forme d'un problème aux valeurs propres de l'équation d'Orr–Sommerfeld généralisée par la méthode spectrale de collocation de type Tau-Tchebychev. <br />Dans une deuxième partie, nous avons étendu l'étude à deux couches et étudié l'influence sur la stabilité de l'écoulement des principaux paramètres : propriétés rhéofluidifiantes, tensions de surface, rapport des débits, densités et viscosités. L'étude de stabilité est combinée à une approche énergétique qui nous a permis d'analyser le rôle de chaque terme de l'équation de l'énergie. Nous avons montré le rôle clé joué par le cisaillement aux interfaces pour expliquer l'influence des propriétés rhéofluidifiantes sur les différentes contributions du bilan énergétique.

La thèse concerne la modélisation de deux écoulements issus de problèmes géophysiques. Un premier problème a trait à la présence de tourbillons longitudinaux apparaissant dans les cours d'eau. L'origine de ces structures reste indéterminée. On aborde ce problème par une simulation numérique d'un écoulement turbulent cisaillé dans un canal ouvert utilisant un code pseudo-spectral. On tente de voir si un cisaillement de surface même faible est capable ou non de comprendre ces observations. Le second problème est lié à la resuspension des sédiments sur les bords d'une mer ou d'un lac par des ondes internes. Ces ondes existent à cause de la stratification en densité de la colonne d'eau. Lorsque elles s'approchent de la côte, elles se déstructurent générant un cisaillement sur le fond capable de resuspendre du sédiment. On a envisagé à nouveau cette étude par le biais de la simulation numérique directe. On examine comment l'onde interne se brise sur les bords en fonction de (a) la nature de la stratification, (b) la forme de la topographie du fond et (c) l'amplitude des ondes. On calcule dans chaque cas le cisaillement sur le fond. On en déduit le flux et le transport de sédiment dans toute la colonne d'eau. / This thesis studies the modeling of two problems that take their origin from a geophysical context. A first problem is related to the presence of longitudinal vortices which have been measured in rivers. The origin of these structures remains unknown. We address this problem by numerical simulations of a sheared turbulent flows in an open channel using a pseudo-spectral code. We try to determine if the presence of an imposed shear at the surface coupled with a pressure gradient is capable or not to explain these observations. The second study focuses on the sediment resuspension on shores of seas or lakes by the action of internal waves. These waves exist because of density stratification of the water column. When waves approach the shore, their patterns evolve generating a shear on the bottom capable to resuspend sediment. By direct numerical simulations, we analyse how internal waves breaking changes according to (a) stratification, (b) bottom topography and (c) wave amplitude. We compute for each case the shear exerted on the bottom, the sediment flux and transport throughout the water column.

Ce travail numérique porte sur le comportement de la lutocline (interface entre l'eau et la vase fluide) en écoulement cisaillé et vise à une meilleure compréhension des mécanismes de remise en suspension de sédiments cohésifs. La crème de vase, ou vase partiellement solidifiée, est modélisée par un fluide homogène équivalent miscible dans l'eau, de rhéologie newtonienne ou viscoplastique. Une étude de l'hydrodynamique de cet écoulement stratifié en densité ainsi qu'en viscosité est ensuite proposée. Considérant une crème de vase initialement non-turbulente, l'étude se focalise sur le développement des instabilités au niveau de la lutocline et de la transition vers une couche de mélange turbulente. La particularité de cet écoulement réside dans la forte viscosité de vase et son seuil de mise en mouvement lorsqu'elle présente un caractère viscoplastique. Une étude de stabilité linéaire permet d'évaluer l'influence des différents paramètres de l'écoulement, notamment les stratifications en densité et en viscosité. La stratification en viscosité augmente sensiblement le taux de croissance de l'instabilité pour des nombres de Reynolds intermédiaires. L'évolution non-linéaire de l'écoulement est ensuite étudiée en utilisant des simulations numériques directes, la stratification en viscosité entrainant un épaississement de la couche de mélange finale. Enfin, des simulations numériques directes basées sur un modèle de fluide de Bingham régularisé permettent d'étudier l'influence de la contrainte seuil sur le développement de l'instabilité. / This numerical study focuses on the behavior of the lutocline in a shear flow and aims to better understand the mechanism of resuspension of cohesive sediment. Mud flow, or mud partially consolidated, is modeled by an equivalent homogenous fluid miscible in water, with newtonian or viscoplastic rheology. A study of the hydrodynamics of this shear flow, stratified both in density and viscosity, is presented. Considering an initially laminar mud flow, the focus of the study is on the development of instabilities on the lutocline and the transition to a turbulent mixing layer. The specificity of this flow lies on the large viscosity of the mud and its threshold to be put in motion, when it presents a viscoplastic feature. A linear stability study assesses the influence of the various parameters of the flow, especially of density and viscosity stratification. The viscosity stratification slightly increases the growth rate of the instability for intermediate Reynolds numbers. Then, the non linear evolution of the flow is studied by using direct numerical simulations, viscous stratification leading to a thicker mixing layer. At last, direct numerical simulations based on a Bingham regularized model, permits to study the influence of the critical strain on the development of the instability.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique de quelques modèles d'évolution non-linéaires issus de la mécanique des fluides. Nous distinguons trois parties indépendantes. La première partie de la thèse traite essentiellement de l'existence des poches de tourbillon en rotation uniforme (appelées aussi V-states) pour un modèle quasi-géostrophique non visqueux. Notre étude est répartie sur deux chapitres où les poches présentent des structures topologiques différentes. Dans le premier chapitre nous étudions le cas simplement connexe et nous validons l'existence de ces structures dans un voisinage du tourbillon de Rankine en utilisant des techniques de bifurcation. Dans le deuxième chapitre nous abordons le cas doublement connexe où la poche admet un seul trou. Plus précisément, proche d'un anneau donné, nous décrivons cette famille par des branches dénombrables bifurquant de cet anneau à certaines valeurs explicites des vitesses angulaires liées aux fonctions de Bessel. Notre étude théorique a été complétée par des simulations numériques portant sur les V-states limites et un bon nombre de constatations ont été formulées ouvrant la porte à de nouvelles perspectives de recherche. La seconde partie concerne l'étude du problème de Cauchy pour le système de Boussinesq non visqueux 2D avec des données initiales de type Yudovich. Le problème est dans un certain sens critique à cause de quelques termes comportant la transformée de Riesz dans la formulation tourbillon-densité. Nous donnons une réponse positive pour une sous-classe comprenant les poches de tourbillon régulières et singulières. Dans la dernière partie nous analysons le problème de la limite incompressible pour les équations d'Euler isentropiques 2D associées à des données initiales très mal préparées et pour lesquelles les tourbillons ne sont pas forcément bornés mais appartiennent plutôt à des espaces de type ''BMO'' à poids. On utilise principalement deux ingrédients: d'un côté les estimations de Strichartz pour contrôler la partie acoustique. D'un autre côté, on se sert de la structure de transport compressible du tourbillon et on démontre une estimation de propagation linéaire dans l'esprit d'un travail récent de Bernicot et Keraani mené dans le cas incompressible. / In this dissertation, we are concerned with the study of some non-linear evolution models arising in fluid mechanics. We distinguish three independent parts. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case.