Ce travail présente une discussion d'aspects mathématiques et <br /> physiques des solutions des équations d'Einstein et d'Einstein-Maxwell <br /> dans le cas stationnaire avec symétrie axiale, obtenues <br /> par des méthodes de la géométrie algébrique. <br /> Puisque dans ce cas les <br /> équations sont équivalentes aux systèmes <br /> d'Ernst complètement intégrables, les méthodes de <br /> Riemann-Hilbert peuvent être appliquées pour construire des <br /> solutions vérifiant des conditions aux limites données. <br /> Nous démontrons ici que des <br /> problèmes de Riemann-Hilbert avec des conditions analytiques peuvent <br /> être résolus sur des surfaces de Riemann. Sur des surfaces <br /> non-compactes, nous prouvons l'existence de solutions en utilisant la <br /> théorie des <br /> espaces fibrés. Les surfaces de Riemann<br /> sont compactes si les conditions aux limites du <br /> problème de Riemann-Hilbert sont des fonctions <br /> rationnelles ce qui permet de <br /> trouver des solutions explicites (dues à Korotkin) <br /> sous forme de fonctions thêta hyper-elliptiques. <br /> Grâce à <br /> l'identité de Fay, toutes les composantes de la métrique <br /> correspondant à ces solutions sont <br /> données sous forme de fonctions thêta. <br /> Nous discutons les singularités de ces solutions et nous <br /> identifions une sous-classe qui est régulière à <br /> l'extérieur d'un contour pouvant représenter la surface <br /> extrême <br /> d'une distribution de matière. Comme exemple astrophysique <br /> nous considérons le cas des <br /> disques de poussière qui peuvent servir de modèles pour <br /> certaines <br /> galaxies et pour la matière dans des disques d'accrétion autour <br /> de trous noirs. Les solutions sous forme de fonctions <br /> thêta et leurs dérivées sont reliées par des conditions <br /> algébriques qui déterminent les classes de problèmes <br /> aux limites <br /> pouvant être résolus sur une surface de Riemann donnée. <br /> Nous établissons ces relations qui sont <br /> utilisées pour <br /> résoudre des problèmes aux limites décrivant des disques de poussière. <br /> La solution explicite pour un disque de poussière avec deux <br /> composantes en contre-rotation est donnée. Cette solution contient <br /> un disque statique de Morgan et Morgan et le disque en rotation <br /> rigide avec une seule composante comme cas limites. Nous discutons la <br /> métrique, les cas limites, les moments multipolaires et le <br /> tenseur d'impulsion-énergie. Les fonctions thêta sont évaluées <br /> numériquement avec l'utilisation des méthodes spectrales. Le cas des trous <br /> noirs avec un disque annulaire statique est aussi discuté. Nous <br /> prouvons l'existence et l'unicité des solutions en appliquant un théorème <br /> dû à Poole, et nous donnons des solutions approchées. Des <br /> solutions explicites sont présentées pour des disques annulaires infinis. <br /> Dans le cas stationnaire, nous montrons que <br /> des solutions hyper-elliptiques sur des <br /> surfaces dégénérées ont le même horizon que la solution de <br /> Kerr avec un disque infini autour. <br /> Nous discutons le cas d'une surface de genre deux quand les solutions <br /> peuvent être données sous forme de fonctions élémentaires <br /> en détail. Pour les équations d'Einstein-Maxwell, nous <br /> construisons des solutions hyper-elliptiques avec charges. Nous <br /> exploitons la symétrie des équations pour construire ces solutions <br /> à partir des solutions sans champs <br /> électromagnétiques en utilisant une transformation de Harrison. Les <br /> disques de poussière avec charge en contre-rotation sont <br /> également discutés.

La théorie de la relativité générale décrit l'effet de la gravitation en termes de géométrie des espaces-temps. La courbure des variétés lorentzienne est liée à l'énergie et l'évolution de la matière (ou du vide) par les équations d'Einstein, un système d'équations différentielles non-linéaires. Dans les années 1950, l'existence locale de solutions des équations d'Einstein a été établie. Motivé par ce résultat, j'étudie l'évolution ainsi que la régularité des espaces-temps. Il est démontré que certaines estimations d'énergie peuvent être contrôlées par des limites unilatérales portant uniquement sur la géométrie. Les estimations de l'énergie Bel-Robinson, par exemple, sont indispensables pour le calcul des critères d'effondrement pour les solutions des équations d'Einstein. Comme un important espace-temps, des modèles astrophysiques avec des sources de fluides parfaits sont considérés. Une théorie d'existence de solutions à symétrie sphérique pour l'équations Einstein-Euler est présenté et on identifie une classe de données initiales non-piégées qui conduit à la formation dynamique de surfaces piégées. Pour permettre des ondes de choc, des solutions à variation bornée sont considérées. Dans ce cadre de là et dans d'autres domaines de la relativité générale, il est crucial de comprendre si et comment la régularité des métriques influe sur la géométrie des espaces-temps. Je propose aussi quelques résultats généraux sur les métriques riemanniennes continues et sur l'algèbre des fonctions généralisées. Cette thèse montre donc que l'espace-temps de faible régularité présentent un large éventail de phénomènes intéressants au cours de leur évolution. / The general theory of relativity describes the effect of gravitation in terms of the geometry of spacetimes. The curvature of Lorentzian manifolds is related to the energy and momentum of matter (or vacuum) by the Einstein equations, a system of nonlinear partial differential equations. In the 1950s the initial value formulation and local existence of solutions to the Einstein equations were established. As of yet the global structure of spacetimes is much less understood. Motivated by this I investigate the evolution as well as the regularity of spacetimes. I show that certain energy estimates can be controlled by one-sided bounds on the geometry only. Estimates of the Bel-Robinson energy, for example, play a crucial role in the derivation of breakdown criteria for solutions of the vacuum Einstein equations. As an important astrophysical model spacetimes with perfect fluid sources are considered. An existence theory for spherically symmetric solutions to the Einstein-Euler equations is presented, and, above all, I identify for the first time a class of untrapped initial data that leads to the dynamical formation of trapped surfaces. To allow for shock waves, solutions are regarded to be of bounded variation. The distributional framework is essential here and in other areas of general relativity, and it is crucial to understand if and how the regularity of metrics influences the geometry of spacetimes. I account for this by deriving some general results on continuous Riemannian metrics and algebras of generalized functions. This thesis thus illustrates that spacetimes of low regularity exhibit a wide range of interesting phenomena during their evolution.