Στην παρούσα διπλωματική εργασία, μελετάμε την έννοια και σημασία των εκθετών Lyapunov μέσω μεθόδων ανάλυσης πειραματικών δεδομένων που εφαρμόζονται στην φυσική, στην γεωλογία, στην αστρονομία, στην νευροβιολογία, στην οικολογία και στα οικονομικά. Οι εκθέτες Lyapunov παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο στην ανίχνευση χάους, το οποίο εμφανίζεται σε πολλούς τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Άρα, το θέμα τους ανήκει στην θεωρία των χαοτικών δυναμικών συστημάτων αλλά και γενικότερα όλων των δυναμικών συστημάτων, τα οποία πρέπει να αναλυθούν σωστά και με ακρίβεια για να πάρουμε τα σωστά συμπεράσματα όσον αφορά τους εκθέτες Lyapunov. Σκοπός της μελέτης είναι η εύρεση των εκθετών Lyapunov για διάφορα δυναμικά συστήματα και η εξήγηση των αποτελεσμάτων όσον αφορά την δυναμική συμπεριφορά του κάθε συστήματος. Επίσης, παρουσιάζονται εφαρμογές στην επιστήμη όπου οι εκθέτες Lyapunov παίζουν σημαντικό ρόλο και εξηγούνται οι κυριότεροι αλγόριθμοι υπολογισμού αυτών των εκθετών υπό διαφορετική υλοποίηση και σε διαφορετικά υπολογιστικά πακέτα, όπως το Matlab, το Mathematica και ακόμα σε γλώσα προγραμματισμού C με σκοπό την εύρεση του καλύτερου και πιο ακριβή αλγόριθμου. Επιπρόσθετα, παρουσιάζονται τα συμπεράσματα μετά την ανάλυση όλων των αλγορίθμων και των αποτελεσμάτων και προτείνεται ο καλύτερος και αποτελεσματικότερος αλγόριθμος όσον αφορά την απόδοση, τον χρόνο εκτέλεσης, αλλά και το μέγεθος των σφαλμάτων. Στο τέλος, υπάρχει παράρτημα με επιμέρους κώδικες που χρησιμοποιούνται, όπως ακόμα και η βιβλιογραφία από την οποία αντλήθηκαν πολύ σημαντικές πληροφορίες. / In this paper, we study the meaning and importance of Lyapunov exponents through experimental data analysis methods applied in physics, geology, astronomy, neurobiology, ecology and economics. The Lyapunov exponents play an important role in the detection of chaos, which occurs in many areas of science and technology. So, their issue concerns the theory of chaotic dynamical systems and generally all dynamical systems, which must be analyzed properly and accurately to get the right conclusions for the Lyapunov exponents. The purpose of this paper is to find the Lyapunov exponents for various dynamical systems and the explanation of the results concerning the dynamic behavior of each system. Also, several applications in science are presented where Lyapunov exponents play an important role and the main algorithms, which calculate these exponents under different implementation and in different computer packages such as Matlab, Mathematica, and even in programming language C, are explained to find the best and most accurate algorithm. Additionally, conclusions are drawn after analyzing all the algorithms and the results and it is suggested the best and most efficient algorithm regarding the performance, the execution time and also the magnitude of errors. In the end, there is an appendix with individual codes which are used, as even the bibliography from which very important information are derived.