Ο κλασματικός λογισμός είναι ο κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που μελετά παραγώγους και ολοκληρώματα κλασματικής τάξης, και επομένως επιτρέπει την διατύπωση κλασματικών διαφορικών εξισώσεων (FDEs). Aν και ο κλασματικός λογισμός εισήχθη για πρώτη φορά από τον Leibniz περισσότερα από 300 χρόνια πριν, εν τούτοις η εφαρμογή του σε προβλήματα της μαθηματικής φυσικής ξεκίνησε τις τελευταίες δεκαετίες. Συγκεκριμένα, η κλασματική ανάλυση ξεκίνησε βρίσκοντας εφαρμογή σε πολλούς τομείς των φυσικών επιστημών και της επιστήμης της μηχανικής, και μόλις το 2009 εισήχθη για πρώτη φορά στον τομέα της φαρμακοκινητικής. Η φαρμακοκινητική είναι η επιστήμη η οποία μελετά την κινητική της απορρόφησης, της κατανομής και της απομάκρυνσης των φαρμάκων, δηλαδή περιγράφει τη χρονική εξέλιξη του φαρμάκου στον ανθρώπινο οργανισμό και χρησιμοποιεί κυρίως διαμερισματικά μοντέλα. Έχει αποδειχθεί ότι συγκεκριμένα είδη φαρμάκων, μετά τη χορήγησή τους στο ανθρώπινο σώμα, ακολουθούν κινητική η οποία περιγράφεται καλύτερα με τη χρήση κλασματικών διαφορικών εξισώσεων. Ο κλασματικός λογισμός και οι εφαρμογές του είναι ένας αναπτυσσόμενος τομέας ενεργούς έρευνας. Σε ό,τι αφορά τη φαρμακοκινητική, πρόκειται για ένα πολλά υποσχόμενο εργαλείο και η αντίστοιχη βιβλιογραφία αυξάνεται ολοένα και περισσότερο. Στην παρούσα εργασία μελετάται η εφαρμογή του κλασματικού λογισμού στη φαρμακοκινητική. Συγκεκριμένα, δίνουμε αναλυτική λύση σε γραμμικά συστήματα κλασματικών διαφορικών εξισώσεων, τα οποία αντιπροσωπεύουν φαρμακοκινητικά μοντέλα που έχουν προκύψει από την έως τώρα βιβλιογραφία. Όλα τα φαρμακοκινητικά μοντέλα που έχουν μελετηθεί δίνουν μόνο αριθμητικές λύσεις. Aυτό που επιχειρείται για πρώτη φορά στην παρούσα εργασία, είναι να δοθούν οι αναλυτικές λύσεις των μοντέλων αυτών, έστω και αν η μορφή τους είναι πολύπλοκη. Αναλυτικότερα, το πρώτο κεφάλαιο της εργασίας περιέχει μια ανασκόπηση των βασικότερων στοιχείων της θεωρίας της κλασματικής ανάλυσης που θα χρησιμοποιήσουμε, όπως: συναρτήσεις Mittag-Leffler, βασικές ιδιότητες αυτών και υπολογισμός μετασχηματισμού Laplace συγκεκριμένων μορφών αυτών των συναρτήσεων, καθώς επίσης και ορισμός του κλασματικού ολοκληρώματος και της κλασματικής παραγώγου συναρτήσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύεται η σύνδεση της διαμερισματικής ανάλυσης με την φαρμακοκινητική. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφεται η σύνδεση του κλασματικού λογισμού με τη φαρμακοκινητική, καθώς και οι λόγοι για τους οποίους υπερτερεί η προσέγγιση αυτή έναντι των προσεγγίσεων που χρησιμοποιούνταν έως και το 2009. Tο τέταρτο κεφάλαιο αφορά εφαρμογές του κλασματικού λογισμού, ενώ δίνονται οι αναλυτικές λύσεις των γραμμικών συστημάτων κλασματικών διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν. Ακόμη, στο Παράρτημα Α αναφέρονται κάποια στοιχεία που αφορούν στο ισοζύγιο μάζας, στο Παράρτημα Β δίνονται τα αποτελέσματα και οι γραφικές παραστάσεις των εφαρμογών που μελετήθηκαν στο τέταρτο κεφάλαιο, και, τέλος, στο Παράρτημα Γ δίνονται οι εντολές του Mathematica που χρησιμοποιήθηκαν για την απεικόνιση των αναλυτικών λύσεων. / Fractional calculus is the sector of mathematical analysis that deals with derivatives and fractional order integrals, resulting the derivation of Fractional Differential Equations (FDEs). Fractional calculus was first introduced by Leibniz more than 300 years ago. Nevertheless, its application on mathematical physics problems has just started the last few decades. In particular, fractional analysis started being applied on sciences of physics and mechanics . Furthermore, fractional analysis was introduced in the field of pharmacokinetics only a few years ago (2009). Pharmacokinetics is the science that deals with the kinetics of the absorption, the distribution and the excretion of drugs. In other words, it describes the time course of the drug inside the human body. Pharmacokinetics mostly uses compartmental models . It has been demonstrated that several types of drugs, follow a kinetic operation after entering in the human body, which is better described by Fractional Differential Equations. Fractional calculus and its applications is a developing sector of active research. Pharmacokinetics, in particular, is a promising tool and the corresponding literature is increasingly growing. The present thesis deals with the application of fractional calculus in pharmacokinetics. In particular, we provide an analytical solution in fractional differential equations linear systems, which represent pharmacokinetic models that have emerged of the existing literature. All the pharmacokinetic models that have been studied provide only arithmetical solutions. The new aspect of the present thesis is an attempt to provide the analytical solutions of these models, even if their form is complicated. In more detail, the first chapter of the study contains a review of the most fundamental fractional-analysis-theory elements that we will use, such as: Mittag-Leffler functions, their basic properties, calculation of Laplace transformation for specific forms of these functions, definition of the fractional integral and the fractional derivative of functions. In the second chapter the binding of compartmental analysis with pharmacokinetics is analyzed. In the third chapter the binding of fractional calculus with pharmacokinetics is described, as well as the reasons why this approach is superior to the previous approaches that were used until 2009. The fourth chapter contains applications of fractional calculus. The analytical solutions for the fractional differential equations linear systems that arise are also given. Furthermore, Appendix A includes some elements related to the mass balance, while Appendix B contains the results and graphs of the applications that were studied in the fourth chapter. Finally, Appendix C provides the Mathematica code that were used for the illustration of the analytical solutions.