Η μερική διαφορική εξίσωση Hamilton-Jacobi-Bellman παράγει τη λύση στο πρόβλημα του υπολογισμού της βέλτιστης ανάδρασης καταστάσεων σε μη γραμμικά δυναμικά συστήματα. Η προσπάθεια ανάπτυξης εύχρηστων και αξιόπιστων μεθόδων αριθμητικής ή προσεγγιστικής επίλυσης της εξίσωσης Hamilton-Jacobi-Bellman έχει τεράστια σημασία στη ρύθμιση διεργασιών γιατί μπορεί να οδηγήσει άμεσα σε εργαλεία σχεδιασμού μη γραμμικών ρυθμιστών. Ειδικότερα, στη ρύθμιση διεργασιών, η απόδοση ενός ρυθμιστικού συστήματος αξιολογείται βάσει ενός τετραγωνικού δείκτη απόδοσης σε άπειρο χρονικό ορίζοντα, και η βέλτιστη ανάδραση καταστάσεων μπορεί να υπολογισθεί μέσω της λύσης της εξίσωσης Hamilton-Jacobi-Bellman, μη εξαρτώμενης από το χρόνο. Στο πρόβλημα της επίλυσης της παραπάνω εξίσωσης παρουσιάζονται σοβαρές δυσκολίες, κυρίως λόγω υπολογιστικής πολυπλοκότητας. Για το λόγο αυτό, οι μέχρι στιγμής πρακτικές εφαρμογές υπήρξαν περιορισμένες. Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται υπολογιστική μέθοδος, βασισμένη στον αλγόριθμο επαναλήψεων Newton-Kantorovich, η οποία επιτυγχάνει πολυωνυμική προσέγγιση της λύσης της μερικής διαφορικής εξίσωσης Hamilton-Jacobi-Bellman υπό μορφή αναπτύγματος σε δυναμοσειρά Taylor. Με τον τρόπο αυτό επιταχύνονται σημαντικά οι υπολογισμοί για τον προσδιορισμό της βέλτιστης ανάδρασης καταστάσεων. Η μέθοδος εφαρμόζεται αρχικά σε ένα παράδειγμα ισοθερμοκρασιακού αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας με ανάδευση, ο οποίος παρουσιάζει δυναμική συμπεριφορά μη-ελάχιστης φάσης, με μία είσοδο, μία έξοδο και δύο καταστάσεις. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται σε παραδείγματα μη ισοθερμοκρασιακού αντιδραστήρα αντίστοιχης δυναμικής συμπεριφοράς, τριών καταστάσεων, πρωτίστως με μία είσοδο και μία έξοδο και κατόπιν με δύο εισόδους και δύο εξόδους. Με ανάπτυξη και εφαρμογή κώδικα MAPLE για κάθε μία περίπτωση χωριστά, υπολογίζονται προσεγγιστικά οι βέλτιστοι νόμοι ανάδρασης και σχεδιάζονται οι βέλτιστες αποκρίσεις των εισόδων και των εξόδων κάθε ενός από τα παραπάνω συστήματα, ενώ ταυτόχρονα γίνεται και καταγραφή των αντίστοιχων χρόνων εκτέλεσης κάθε κώδικα. Τέλος, στην περίπτωση του ισοθερμοκρασιακού αντιδραστήρα, γίνεται σύγκριση της προτεινόμενης μεθόδου με προϋπάρχουσες, κατά κύριο λόγο σε ζητήματα χρόνων εκτέλεσης, αλλά και σε ζητήματα απόδοσης στη ρύθμιση. / The partial differential equation Hamilton-Jacobi-Bellman produces the solution in the problem of calculation of optimal state feedback in non-linear dynamic systems. The effort of designing functional and reliable, numerical or approximate, methods for solving Hamilton-Jacobi-Bellman equation has enormous importance in process control because it can lead directly to tools of planning non-linear regulators. More specifically, in process control, the attribution of a regulating system is evaluated using a quadratic performance index in infinite time horizon, and the optimal state feedback can be calculated by the solution of the non time depended Hamilton-Jacobi-Bellman equation. The problem of solving the equation above encounters serious difficulties, mainly because of the calculation complexity. For this reason, the practical applications existed until now were very few. In the present work a calculating method is developed, based in the iterative algorithm Newton-Kantorovich, which achieves polynomial approach of the solution of partial differential equation Hamilton-Jacobi-Bellman under the form of Taylor series expansion. Thus the calculations for the determination of optimal state feedback are considerably accelerated. The method is initially applied in an example of continuous stirred tank reactor, with non-minimum phase dynamic behavior, with one input, one output and two state variables. Afterwards, it is applied in examples of not isothermal reactor of the same dynamic behavior, three state variables, firstly with one input and one output variables and then with two input and two output variables. Using the symbolic program MAPLE, a code was developed for each case separately, which calculates approximately the optimal feedback laws and designs the optimal responses of the inputs and outputs of each of the systems above, while the corresponding times of implementation of each code are simultaneously recording. Finally, in the case of isothermal reactor, a comparison is made between the proposed and preexisting methods, mainly in the base of the time of implementations and the regulation performance.

Για την αντιμετώπιση του προβλήματος ρύθμισης ενός συστήματος μη ελάχιστης φάσης είναι γνωστοί δύο τρόποι από τη θεωρία των γραμμικών συστημάτων. Ο ένας αφορά στην επιλογή βέλτιστης συνθετικής εξόδου ως προς την οποία το σύστημα είναι ελάχιστης φάσης. Ο δεύτερος τρόπος περιλαμβάνει άμεση κατασκευή βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων ως προς ένα σύνθετο δείκτη απόδοσης. Στην παρούσα εργασία αρχικά αναπτύσσεται μέθοδος για τη σύνθεση βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων για μη γραμμικές διεργασίες, όπου η είσοδος υπεισέρχεται μη γραμμικά στις διαφορικές εξισώσεις, με βάση ένα σύνθετο τετραγωνικό δείκτη απόδοσης. Ο δείκτης αυτός εξαρτάται τόσο από τη ρυθμιστική απόκλιση, όσο και από την απόκλιση της μεταβλητής χειρισμού. Για την επίλυση του προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις Hamilton – Jacobi μέσω των οποίων υπολογίζεται ο βέλτιστος νόμος ανάδρασης καταστάσεων. Η λύση των εξισώσεων Hamilton – Jacobi υπολογίζεται με βάση την επαναληπτική μέθοδο Newton – Kantorovich. Σε κάθε βήμα της επανάληψης επιλύεται προσεγγιστικά μια μερική διαφορική εξίσωση τύπου Zubov με τη βοήθεια αναπτύγματος σε δυναμοσειρά. Στο Νοστό βήμα της επανάληψης η μέθοδος παράγει τη Νοστής τάξης προσέγγιση του αναπτύγματος κατά Taylor του βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων. Η παραπάνω μέθοδος εφαρμόζεται σε προβλήμα ρύθμισης της συγκέντρωσης προϊόντος σε σύστημα δύο μη ισοθερμοκρασιακών αντιδραστήρων CSTR, όπου λαμβάνει χώρα εξώθερμη αντίδραση, στην περίπτωση που η είσοδος υπεισέρχεται μη γραμμικά στις δυναμικές εξισώσεις της διεργασίας. Επίσης μελετώνται οι ιδιότητες σύγκλισης της επαναληπτικής μεθόδου Newton – Kantorovich, όταν αυτή εφαρμόζεται για την επίλυση της εξίσωσης Hamilton – Jacobi – Bellman που αντιστοιχεί στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ενός σύνθετου τετραγωνικού δείκτη απόδοσης υπό τους περιορισμούς μιας μη γραμμικής δυναμικής όπου η είσοδος υπεισέρχεται γραμμικά στις διαφορικές εξισώσεις. Στη συνέχεια, για τη βέλτιστη ρύθμιση μη γραμμικών συστημάτων με ασταθή δυναμική μηδενιστών (συστήματα μη ελάχιστης φάσης), χρησιμοποιείται ο συνήθης τετραγωνικός δείκτης απόδοσης ISE. Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα δυναμικής βελτιστοποίησης είναι ιδιόμορφο. Για την επίλυση του προβλήματος αυτού το μη γραμμικό σύστημα μετασχηματίζεται στην κανονική μορφή Byrnes-Isidori, εφαρμόζεται η θεωρία Hamilton – Jacobi και υπολογίζεται στατικά ισοδύναμη συνθετική έξοδος με ευσταθή δυναμική μηδενιστών. Η ρύθμιση της συνθετικής εξόδου στο προκαθορισμένο σημείο επιτυγχάνεται με γραμμικοποίηση εισόδου/εξόδου. Για την επίλυση των σχετικών εξισώσεων Hamilton–Jacobi αναπτύσσεται η επαναληπτική μέθοδος Newton – Kantorovich, η οποία περιλαμβάνει την επίλυση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης τύπου Zubov σε κάθε βήμα της επανάληψης. Η μέθοδος εφαρμόζεται σε πρόβλημα ρύθμισης της συγκέντρωσης του επιθυμητού προϊόντος σε μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR με κινητική Van de Vusse που παρουσιάζει ασταθή δυναμική μηδενιστών. Τέλος, οι δύο μέθοδοι συγκρίνονται με βάση τους επιμέρους δείκτες απόδοσης ISE και ISC, των οποίων ο γραμμικός συνδυασμός συνιστά το σύνθετο δείκτη απόδοσης της πρώτης μεθόδου, ενώ τα αποτελέσματά τους συγκρίνονται όταν αυτές εφαρμόζονται σε πρόβλημα ρύθμισης της συγκέντρωσης του επιθυμητού προϊόντος σε μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR με κινητική Van de Vusse. / For the control of nonlinear nonminimum – phase systems, there are two possible lines of attack, originating from linear systems theory: a) direct calculation of the optimal state feedback with respect to a quadratic performance index that represents a combination of an error measure and a control effort measure (composite index), and b) calculation of the ISE-optimal minimum-phase output and subsequent input/output linearization on that output. This work develops a numerical algorithm for the calculation of an optimal nonlinear state feedback law for nonlinear systems. A quadratic performance index is used, which contains quadratic error terms and quadratic input penalty terms. The optimization problem is solved using the Hamilton-Jacobi equations, which determine the optimal nonlinear state feedback law. A Newton-Kantorovich iteration is developed for the solution of the pertinent Hamilton-Jacobi equations, which involves solving a Zubov partial differential equation at each step of the iteration, using a power series method. At step N of the iteration, the method generates the (N+1)-th order truncation of the Taylor series expansion of the optimal state feedback function. The method is applied to the problem of controlling a system of two non-isothermal continuous stirred tank reactors (CSTR), where an exothermic reaction takes place. Convergence properties of the algorithm are also developed independently of Kantorovich’s theorem, and the results are illustrated in a numerical example. For the optimal regulation of nonminimum-phase nonlinear systems, the performance index ISE (Integral of the Square of the Error) is used. The problem of minimizing ISE subject to the dynamics of the system and closed-loop stability is singular. The problem of calculation of an ISE-optimal, statically equivalent, minimum-phase output for nonminimum-phase compensation is formulated using Hamilton-Jacobi theory and the Byrnes-Isidori normal form representation of the nonlinear system. An input/output linearizing state feedback law is applied to regulate the synthetic output to a constant set point. A Newton-Kantorovich iteration is developed for the solution of the pertinent Hamilton-Jacobi equations, which involves solving a Zubov equation at each step of the iteration. The method is applied to the problem of controlling a nonisothermal CSTR with Van de Vusse kinetics, which exhibits nonminimum-phase behaviour. Finally, the two methods are compared with respect to the constituent indexes ISE and ISC (Integral of the Square of the Control), whose linear combination forms the composite performance index. The numerical results from both methods are compared in the control of a nonisothermal CSTR with Van de Vusse kinetics.