Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων για την αριθμητική επίλυση τρισδιάστατων (3-D) στατικών προβλημάτων στα πλαίσια μιας θεωρίας βαθμοελαστικότητας, που στηρίζεται σε μια απλουστευμένης μορφής της θεωρίας του Mindlin και διατυπώθηκε από τους Vardoulakis and Sulem, η οποία λαμβάνει υπόψη και την επιφανειακή ενέργεια, και από τους Aifantis και συνεργάτες. Η διδακτορική διατριβή αποτελείται από δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα (κεφάλαια 1 και 2) γίνεται μία πλήρης ανασκόπηση της βιβλιογραφίας ως προς τις θεωρίες βαθμοελαστικότητας και στη συνέχεια, περιγράφεται διεξοδικά η παρούσα θεωρία βαθμοελαστικότητας με επιφανειακή ενέργεια. Στη δεύτερη ενότητα παρουσιάζεται η μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (ΜΣΣ) όπως αυτή εφαρμόζεται για την επίλυση τρισδιάστατων και αξονοσυμμετρικών βαθμοελαστικών προβλημάτων, αντίστοιχα. Η ΜΣΣ βασίζεται στη διατύπωση των ολοκληρωτικών εξισώσεων των βαθμοελαστικών προβλημάτων. Οι άγνωστοι των ολοκληρωτικών εξισώσεων είναι οι συνοριακές τιμές του βασικού πεδίου των μεταβλητών και οι παράγωγοί τους, που για τη βαθμοελαστικότητα είναι τα διανύσματα των μετατοπίσεων, των βαθμίδων τω μετατοπίσεων και τα διανύσματα των επιφανειακών τάσεων. Η προσέγγιση των συναρτήσεων αυτών πάνω στο σύνορο γίνεται με τη βοήθεια συναρτήσεων παρεμβολής από τις αντίστοιχες τιμές τους σε έναν επιλεγμένο αριθμό κόμβων. Η ταχύτητα και η ακρίβεια της ΜΣΣ κατά την εφαρμογή της επηρεάζεται σημαντικά από την ταχύτητα και την ακρίβεια του υπολογισμού των ιδιόμορφων και υπερ-ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων. Στην παρούσα διατριβή τα ιδιόμορφα και υπερ-ιδιόμορφα ολοκληρώματα υπολογίζονται με τη χρήση τεχνικών ιδιόμορφης και υπερ-ιδιόμορφης ολοκλήρωσης (Guiggiani (1992) και Huber et al. (1993)) αντίστοιχα. Στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής κατασκευάστηκε αλγόριθμος που επιλύει τρισδιάστατα στατικά προβλήματα βαθμοελαστικότητας καθώς και αλγόριθμος που επιλύει στατικά βαθμοελαστικά προβλήματα με αξονική συμμετρία. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου, επιλύονται αντίστοιχα στατικά βαθμοελαστικά προβλήματα με ή χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η επιφανειακή ενέργεια και με γνωστές αναλυτικές λύσεις. Τα αριθμητικά αποτελέσματα των παραπάνω προβλημάτων συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αναλυτικά. Τέλος, γίνεται μία ανακεφαλαίωση της διδακτορικής διατριβής και διατυπώνονται προτάσεις για μελλοντική έρευνα. / In the present Doctoral Thesis a boundary element methodology (BEM) is developed in order to solve numerically 3-D and axis-symmetric static gradient elastic problems. Microstructural effects on the macroscopic behavior of the considered materials have been taken into account by means of a simple strain gradient theory with surface energy obtained as a special case of the general one due to Mindlin, proposed by Vardoulakis and Sulem. All possible boundary conditions (classical and non-classical) have been determined with the aid of a variational statement of the problem. The fundamental solution of the gradient elastic with surface energy has been explicitly determined and used to establish the boundary integral representation of the solution of the problem with the aid of the reciprocal identity, specifically constructed for this gradient elastic with surface energy case. The boundary integral representation consists of one equation for the dispalcement and another one for its normal derivative. Also, the integral forms of the gradient of displacement as well as the Cauchy, relative, double and total stresses in the interior of the gradient elastic body have been derived and presented. The numerical implementation of the integral equations is accomplished with the aid of quadratic isoparametric line (axis-symmetry case) and surface (3-D case) boundary elements. The computation of the singular and hyper-singular integrals involved is done with the aid of highly accurate advanced algorithms.

During this thesis, a Boundary Element Method (BEM) has been developed for the solution of static linear elastic problems with microstructural effects in two (2D) and three dimensions (3D).The second simplified form of Mindlin's Generalized Gradient Elasticity Theory (Mindlin's Form II)has been employed. The fundamental solution of the 4th order partial differential equation, that describes the aforementioned theory, has been derived and the integral equations that govern Mindlin's Form II Gradient Elasticity Theory have been obtained. Furthermore, a BEM formulation has been developed and specific Boundary Value Problems (BVPs) were solved numerically and compared with the corresponding analytical solutions to verify the correctness of the formulation and demonstrate its accuracy. Moreover, two new partially discontinuous boundary elements with variable order of singularity, a line and a quadrilateral element, have been developed for the solution of fracture mechanics problems. The calculation of the unknown fields near the crack tip (or front) demanded the use of elements that could interpolate abruptly varying fields. The new elements were created in a way that their interpolation functions were no longer quadratic but their behavior depended on the order of singularity of each field. Finally, the Stress Intensity Factor (SIF) of the crack has been calculated with high accuracy, based on the element's nodal traction values. Static fracture mechanics problems for Mode I and Mixed Mode (I & II) cracks, have been solved in 2D and 3D and the corresponding SIFs have been obtained, in the context of both classical and Form II Gradient Elasticity theories. / Κατά τη διάρκεια της παρούσας διδακτορικής διατριβής, αναπτύχθηκε Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων (ΜΣΣ) για την επίλυση στατικών προβλημάτων ελαστικότητας με επιδράσεις μικροδομής σε δύο και τρεις διαστάσεις. Η θεωρία στην οποία εφαρμόστηκε η ΜΣΣ είναι η δεύτερη απλοποιημένη μορφή της γενικευμένης θεωρίας ελαστικότητας του Mindlin. Για τη συγκεκριμένη θεωρία ευρέθη η θεμελιώδης της μερικής διαφορικής εξίσωσης 4ης τάξης που περιγράφει τη συμπεριφορά των συγκεκριμένων υλικών και κατασκευών. Επίσης διατυπώθηκε η ολοκληρωτική εξίσωση των αντίστοιχων προβλημάτων και έγινε η αριθμητική εφαρμογή μέσω της ΜΣΣ. Επιλύθηκα αριθμητικά συγκεκριμένα προβλήματα συνοριακών τιμών και έγινε σύγκριση των αποτελεσμάτων με τα αντίστοιχα θεωρητικά. Στη συνέχεια αναπτύχθηκαν δύο νέα ασυνεχή στοιχεία μεταβλητής τάξης ιδιομορφίας με σκοπό την επίλυση προβλημάτων θραυστομηχανικής, ένα για δισδιάστατα και ένα για τρισδιάστατα προβλήματα. Συγκεκριμένα, επειδή τα πεδία των τάσεων απειρίζονται στην κορυφή μιας ρωγμής και περιέχουν συγκεκριμένων τύπων ιδιομορφίες δεν ήταν δυνατός ο ακριβής υπολογισμός των πεδίων αυτών κοντά στη ρωγμή με τα συνήθη τετραγωνικά συνοριακά στοιχεία. Ως εκ τούτου τα νέα στοιχεία κατασκευάστηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε οι συναρτήσεις παρεμβολής τους να μην είναι τετραγωνικες, αλλά να εξαρτώνται από τον τύπο ιδιομορφίας του κάθε πεδίου. Έπειτα, έγινε ακριβής υπολογισμός του συντελεστή έντασης τάσης της ρωγμής με βάση τις τιμές του πεδίου των τάσεων κοντά σε αυτή. Τέλος επιλύθηκαν στατικά προβλήματα θραυστομηχανικής σε δύο και τρεις διαστάσεις και υπολογίστηκαν οι συντελεστές έντασης τάσης για ρωγμές σε υλικά με επίδραση μικροδομής.