Τα τελευταία χρόνια πολλοί ερευνητές της διδακτικής των μαθηματικών έχουν εστιάσει στον ρόλο της πολλαπλής επίλυσης προβλήματος (επίλυση προβλήματος με περισσότερους από έναν τρόπους) στην ανάπτυξη της μάθησης του αντικειμένου. Δύο είδη πολλαπλής επίλυσης προβλήματος που μπορούν να ενταχθούν στη διδακτική πρακτική είναι καταρχήν αυτό με βάση το αποκαλούμενο “πρόβλημα πολλαπλών επιλύσεων” (“multiple solution task”) (Leikin et al., 2006) και δεύτερον αυτό με απαρχή το “πρόβλημα διασύνδεσης” (“interconnecting task”) (Kondratieva, 2011). Η διπλωματική αυτή εργασία θα περιέχει μια κριτική παρουσίαση των ποιοτικών χαρακτηριστικών των δύο προαναφερθέντων ειδών προβλημάτων, στο πλαίσιο των βασικών προσεγγίσεων επίλυσης προβλήματος που ανέπτυξαν οι Schroeder & Lester (1989) και Mamona-Downs & Papadopoulos (2006), καθώς και τα αποτελέσματα μιας πρώτης διερευνητικής προσπάθειας εφαρμογής αυτής της διδακτικής πρακτικής, σε τρεις τάξεις μαθηματικών σε σχολεία των Πατρών. Στην διπλωματική εργασία παρουσιάζονται ερευνητικά αποτελέσματα, αναφορικά με τις αιτίες της μη συστηματικής ένταξης της πολλαπλής επίλυσης προβλήματος στη διδακτική πρακτική. Επιπλέον, αναφέρονται συγκεκριμένες διδακτικές προσεγγίσεις για την πραγμάτωση της πολλαπλής επίλυσης προβλήματος στη διδασκαλία των μαθηματικών. Τέλος, σχολιάζονται κριτικά επιλεγμένες απαντήσεις συμμετεχόντων στην έρευνα, που αναδεικνύουν αφενός τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της πολλαπλής επίλυσης προβλήματος, αφετέρου τον προσεκτικό σχεδιασμό που απαιτεί αυτή η πρωτοεμφανιζόμενη στην ελληνική βιβλιογραφία διδακτική πρακτική. / In recent years many researchers of mathematics’ education have focused on the role of multiple problem solving (problem solving in more than one ways) in the development of subject knowledge. Two types of multiple problem solving, that can be integrated into teaching practice, are firstly the "multiple solution task" (Leikin et al., 2006) and secondly the "interconnecting task" (Kondratieva, 2011). This thesis contains a critical presentation of the qualitative characteristics of these two types of problems, within the framework of the basic problem solving approaches developed by Schroeder & Lester (1989) and Mamona-Downs & Papadopoulos (2006), and the results of a first exploratory effort to implement this teaching practice, in three mathematics’ classrooms in schools of Patras. In this thesis we present research results regarding the causes of non-systematic implementation of multiple problem solving in teaching practice. Moreover, we outline specific teaching approaches for the implementation of multiple problem solving in mathematics’ teaching. Finally, we critically comment selected responses of participants in the survey, that highlight both the qualitative characteristics of multiple problem solving and the careful planning that is required for this nascent teaching practice in the Greek literature.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, ασχολούµαστε µε ζητήµατα που ανακύπτουν σε ασύρµατα δίκτυα επικοινωνίας, δηλ. δίκτυα που βασίζονται σε τηλεπικοινωνιακή υποδοµή όπως τα κυψελικά δίκτυα κινητής τηλεφωνίας, δίκτυα αυτόνοµων ασύρµατων εκποµπών όπως τα ασύρµατα δίκτυα τύπου ad hoc, κτλ. Τα ασύρµατα δίκτυα επικοινωνίας διαφόρων τύπων έχουν εξελιχθεί σηµαντικά τα τελευταία χρόνια. Ειδικότερα, τα ασύρµατα αδόµητα δίκτυα (ή αλλιώς ασύρµατα δίκτυα τύπου ad hoc) έχουν προσελκύσει το έντονο εν­διαφέρον της επιστηµονικής κοινότητας λόγω των πολλών εφαρµογών που έχουν κυρίως σε περιπτώσεις όπου δεν είναι δυνατή ή επιθυµητή η ολική ή µερική κάλυψη µέσω υποδοµής µε βάση την ενσύρµατη δικτύωση (π.χ., επι­κοινωνία σε δυσπρόσιτες ή αποµακρυσµένες περιοχές, φυσικές καταστροφές, στρατιωτικές εφαρµογές, κλπ.). ΄Οπως και στα παραδοσιακά ενσύρµατα δίκτυα, σηµαντικό πρόβληµα αποτελεί η εγκαθίδρυση σχηµάτων επικοινωνίας όπως διάδοση (broadcasting, multicasting), επικοινωνία όλων µε όλους (gossiping, all-to-all communica­tion), και επικοινωνία σε οµάδες (group communication). Για την επικοινω­νία απαιτείται η κατανάλωση ενέργειας στους κόµβους του δικτύου και, λαµβ.άνοντας υπόψη ότι τα αδόµητα ασύρµατα δίκτυα χρησιµοποιούν κόµβους µε περιορισµένα αποθέµατα ενέργειας, είναι απαραίτητη η ορθολογιστική χρήση αυτής της ενέργειας κατά την επικοινωνία. Αυτό µπορεί να σηµαίνει ότι είναι επιθυµητή είτε η ελαχιστοποίηση της συνολικής ενέργειας που κα­ταναλώνεται στους κόµβους του δικτύου για επικοινωνία ή η ελαχιστοποίηση της µέγιστης ενέργειας ώστε να επιτυγχάνεται όσο το δυνατό µεγαλύτερος χρόνος ζωής όλων των κόµβων του δικτύου. Στη διατριβή εξετάζουµε αλγόριθ­µους για την εγκαθίδρυση διαφορετικών σχηµάτων επικοινωνίας σε αδόµητα ασύρµατα δίκτυα όπου βασικό κριτήριο για την εκτίµηση της απόδοσής τους θα είναι η κατανάλωση ενέργειας που επιφέρουν στο δίκτυο. Μοντελοποιούµε τα δίκτυα µε ειδικά γραφήµατα και τα αντίστοιχα προβλήµατα επικοινωνίας σαν προβλήµατα συνδυαστικής βελτιστοποίησης στα γραφήµατα αυτά. Τα αποτελέσµατά µας περιλαµβάνουν νέους αλγόριθµους που βελτιώνουν προηγούµενα γνωστά σχετικά αποτελέσµατα και νέα κάτω φράγµατα. Με κεντρικό στόχο την αποδοτική κατανοµή ενέργειας σε ασύρµατα δίκτυα, η µελέτη µας έχει διττό χαρακτήρα: από τη µια πλευρά, ασχολούµαστε µε µε­λέτη και ανάλυση θεµελιωδών προβληµάτων της Θεωρητικής Επιστήµης των Υπολογιστών (όπως, π.χ., το πρόβληµα Κάλυψης µε Σύνολα). Τέτοια προβλήµατα, και ειδικές περιπτώσεις τους, παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον αφού χρησιµοποιούνται (µεταξύ άλλων) συχνά για τη µοντελοποίηση προβλη­µάτων ενεργειακά αποδοτικής επικοινωνίας σε ασύρµατα δίκτυα. Επιπλέον, προτείνουµε και αναλύουµε νέους αλγόριθµους για συγκεκριµένα σενάρια επικοινωνίας σε σύγχρονα ασύρµατα δίκτυα. Από την άλλη πλευρά, µελετάµε και εκτιµούµε πειραµατικά την απόδοση αρκετών αλγορίθµων και τεχνικών (από τη βιβλιογραφία αλλά και νέων) για ενεργειακά αποδοτική επικοινωνία σε ασύρµατα δίκτυα. Ειδικότερα: Μελετάµε το πρόβληµα κάλυψης µε σύνολα και ενδιαφέρουσες παραλ­λαγές του. Παρουσιάζουµε νέους συνδυαστικούς προσεγγιστικούς αλγόριθµους για το πρόβληµα k-κάλυψης συνόλων. Προηγούµενες προσεγγίσεις έχουν βασισθεί σε επεκτάσεις του άπληστου αλγόριθµου µέσω αποδοτικού χειρισµού µικρών συνόλων. Οι νέοι αλγόριθµοι επεκτείνουν περαιτέρω τις προηγούµενες προσεγγίσεις χρησιµοποιώντας την ιδέα του υπολογισµού µεγάλων οµάδων στοιχείων και στη συνέχεια της οµαδοποίησής τους σε σύνολα µεγάλου µεγέθους. Τα αποτελέσµατά µας βελτιώνουν τα καλύτερα γνωστά φράγµατα προσέγγισης για το πρόβληµα k-κάλυψης συνόλων για κάθε τιµή του k >= 6. Η τεχνική που χρησιµοποιούµε για την ανάλυση παρουσιάζει επιπλέον ανεξάρτητα ενδιαφέρον: το πάνω φράγµα για τον παράγοντα προ­σέγγισης επιτυγχάνεται φράσσοντας την αντικειµενική τιµή ενός γραµµικού προγράµµατος η οποία ‘αποκαλύπτει’ το λόγο προσέγγισης του υπό εξέταση αλγορίθµου (factor-revealing). Παρουσιάζουµε έναν απλό αλγόριθµο για το πρόβληµα εύρεσης µέγιστου δάσους γεννητικού αστέρα. Λαµβάνουµε υπόψη το γεγονός ότι το πρόβληµα αποτελεί ειδική περίπτωση του συµπληρωµατικού προβλήµατος κάλυψης συ­νόλου και προσαρµόζουµε έναν αλγόριθµο των Duh και Furer για την επίλυ­σή του. Αποδεικνύουµε ότι ο αλγόριθµος αυτός υπολογίζει 193/240 που είναι περίπου ίσο με 0.804 ­προσεγγιστικά δάση γεννητικών αστέρων. Το αποτέλεσµα αυτό βελτιώνει ένα προηγούµενο άνω φράγµα µε τιµή 0.71 των Chen και άλλων. Αν και ο αλ­γόριθµος είναι καθαρά συνδυαστικός, η ανάλυσή µας ορίζει ένα γραµµικό πρόγραµµα που χρησιµοποιεί µια παράµετρο f το οποίο είναι επιλύσιµο για τιµές της παραµέτρου f που δεν είναι µικρότερες από το λόγο προσέγγισης του αλγορίθµου. Η ανάλυση είναι αυστηρή και, το ενδιαφέρον είναι ότι, µπορεί να εφαρµοστεί και σε συµπληρωµατικές εκδοχές του προβλήµατος κάλυψης συνόλου όπως η εξοικονόµηση χρωµάτων. Δίνει την ίδια εγγύηση προσέγγισης µε τιµή 193/240 που οριακά βελτιώνει το προηγούµενο γνω­στό κάτω φράγµα των Duh και Furer. Αποδεικνύουµε επίσης ότι, γενικά, µια φυσική κλάση αλγορίθµων τοπικής αναζήτησης δε δίνουν καλύτερα από 1/2-προσεγγιστικά δάση γεννητικών αστέρων. Μελετάµε προβλήµατα επικοινωνίας σε ασύρµατα δίκτυα που υποστηρί­ζουν πολλαπλά µέσα ασύρµατης διασύνδεσης. Σε τέτοια δίκτυα, δύο κόµβοι µπορούν να επικοινωνήσουν αν είναι αρκετά κοντά και διαθέτουν κάποιο κοινό µέσο ασύρµατης διασύνδεσης. Η ενεργοποίηση ενός µέσου ασύρµατης διασύνδεσης επιφέρει ένα κόστος που αντανακλά την ενέργεια που καταναλώ­νεται όταν κάποιος κόµβος χρησιµοποιεί το µέσο αυτό. Διακρίνουµε µεταξύ της συµµετρικής και της µη συµµετρικής περίπτωσης, µε βάση το κόστος ενεργοποίησης για κάθε ασύρµατο µέσο διασύνδεσης είναι το ίδιο για όλους τους κόµβους ή όχι. Για τη συµµετρική περίπτωση, παρουσιάζουµε έναν (3/2+ε)–προσεγγιστικό αλγόριθµο για το πρόβληµα πλήρους διασύνδεσης µε ελάχιστο κόστος ενεργοποίησης, βελτιώνοντας ένα προηγούµενο φράγµα µε τιµή 2. Για τη µη συµµετρική περίπτωση, αποδεικνύουµε ότι το πρόβληµα διασύνδεσης δεν είναι προσεγγίσιµο στα πλαίσια ενός παράγοντα υπολογα­ριθµικού ως προς το πλήθος των κόµβων και παρουσιάζουµε ένα λογαριθµι­κό προσεγγιστικό αλγόριθµο για µια γενικότερη περίπτωση που µοντελοποιεί την οµαδική επικοινωνία. Επίσης, µελετάµε αλγόριθµους για τον υπολογισµό αποδοτικών ως προς την ενέργεια δένδρων µετάδοσης (multicasting) σε ασύρµατα αδόµητα δί­κτυα. Τέτοιοι αλγόριθµοι είτε ξεκινούν από µια κενή λύση η οποία σταδιακά επαυξάνεται για να δώσει ένα δένδρο µετάδοσης (επαυξητικοί αλγόριθµοι ­augmentation algorithms) είτε λαµβάνουν σαν είσοδο ένα αρχικό δένδρο µε­τάδοσης και εκτελούν ‘περιπάτους ’ σε διαφορετικά δένδρα µετάδοσης για πεπερασµένο αριθµό βηµάτων µέχρι να επιτευχθεί κάποια αποδεκτή µείωση στην κατανάλωση της ενέργειας (αλγόριθµοι τοπικής αναζήτησης -local search algorithms). Εστιάζουµε τόσο σε επαυξητικούς αλγόριθµους όσο και σε αλγό­ριθµους τοπικής αναζήτησης και συγκεκριµένα έχουµε υλοποιήσει αρκετούς υπάρχοντες αλγόριθµους από τη βιβλιογραφία αλλά και νέους. Συγκρίνου­µε πειραµατικά τους αλγόριθµους αυτούς σε τυχαία γεωµετρικά στιγµιότυπα του προβλήµατος και επιτυγχάνουµε αποτελέσµατα όσον αφορά στην αποδο­τικότητα ως προς την ενέργεια των λύσεων που λαµβάνουµε. Παρουσιάζουµε επίσης αποτελέσµατα σχετικά µε το χρόνο εκτέλεσης των υλοποιήσεών µας. Επίσης διερευνούµε το κατά πόσον οι λύσεις που λαµβάνουµε από επαυ­ξητικούς αλγόριθµους µπορούν να βελτιωθούν µέσω αλγορίθµων τοπικής αναζήτησης. Τα αποτελέσµατά µας αποδεικνύουν ότι ένας από τους νέους αλγόριθµους που προτείνουµε και οι εκδοχές του επιτυγχάνουν τις πιο απο­δοτικές ενεργειακά λύσεις και µάλιστα πολύ γρήγορα και, επιπλέον, υποδεικ­νύουν ιδιότητες γεωµετρικών στιγµιοτύπων του προβλήµατος που συντελούν στη βελτιωµένη απόδοση των επαυξητικών αλγορίθµων. / In this dissertation, we study issues arising in wireless communication networks, i.e., networks based on telecommunication infrastructure like cellular wireless networks, networks of autonomous wireless transmitters like ad hoc wireless networks, and so on. Wireless networks have received significant attention during the recent years. Especially, ad hoc wireless networks for which unlike traditional wired networks or cellular wireless networks, no wired backbone infrastructure is installed emerged due to their potential applications in emergency disaster relief, battlefield, etc. Like in traditional wired networks, an important problem concerns the establishment of communication patterns like broadcasting, multicasting, gossiping, all-to-all communication, and group communication. Communication then requires energy consumption at network nodes, and given that in ad hoc wireless networks energy is a scarce resource, it is of paramount importance to use it efficiently when establishing communication patterns. In such a setting, it is usually pursued that either the total energy consumed at networks nodes or the maximum energy consumed at any network node is minimized so that the network lifetime is prolonged as long as possible. Herein, we present and analyze theoretically and experimentally algorithms for guaranteeing the establishment of various communication patterns in ad hoc wireless networks and evaluate their performance in terms of their energy-efficiency. We represent these networks using graphs and model the corresponding communication problems as combinatorial optimization problems in such graphs. Our results include new algorithms which improve previously known relevant results as well as new lower bounds. Our main objective being the efficient energy allocation in wireless networks, our study is of dual character: on the one hand, we study and analyze fundamental problems of Theoretical Computer Science (like, e.g., Set Cover); such problems, as well as special cases of them, are highly interesting since they usually model energy-efficient communication problems in wireless networks. Furthermore, we propose and analyse new algorithms for particular communication scenaria in modern wireless networks. On the other hand, we experimentally study and evaluate several algorithms and techniques (both from the literature and new ones) for energy-efficient communication in wireless networks.