Η ευαισθησία των συστημάτων είναι ένα σημαντικό θέμα της Θεωρίας Συστημάτων, το οποίο καλύπτεται σε εισαγωγικό επίπεδο με αυτή την εργασία. Η ευαισθησία αφορά τις διαφορές ανάμεσα στο πραγματικό σύστημα και στο μαθηματικό μοντέλο: αν κάποιες παράμετροι διαφέρουν αρκετά ανάμεσα στο πραγματικό σύστημα και στο μαθηματικό μοντέλο και η συμπεριφορά του συστήματος εξαρτάται κατά μεγάλο βαθμό από αυτές τις παραμέτρους, τότε η χρησιμότητα του μαθηματικού μοντέλου θα είναι πολύ μικρή αν δεν γνωρίζουμε ταυτόχρονα την παραμετρική ευαισθησία του συστήματος, δηλαδή την επίδραση των μεταβολών των παραμέτρων πάνω στην δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Βασικό ρόλο παίζει η προσομοίωση των εξισώσεων ευαισθησίας κατάστασης. Καθορίζουμε αρχικά τις εξισώσεις ευαισθησίας κατάστασης για παραμέτρους τύπου α και δείχνουμε ότι οι συναρτήσεις ευαισθησίας κατάστασης ενός συνεχούς συστήματος με χρονικά αμετάβλητες παραμέτρους καθορίζονται πάντα από ένα γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μηδενικές αρχικές συνθήκες. Στην συνέχεια θα επεκταθούμε και στην εύρεση των συναρτήσεων ευαισθησίας κατάστασης για την περίπτωση που έχουμε παραμέτρους τύπου β και θα δούμε ότι και εδώ οι εξισώσεις ευαισθησίας κατάστασης είναι πάντα γραμμικές και οι αρχικές συνθήκες είναι ή μηδέν ή μονάδα. Στη συνέχεια προχωράμε στην εύρεση των συναρτήσεων ευαισθησίας κατάστασης για την περίπτωση που έχουμε παραμέτρους τύπου λ, αφού δούμε πρώτα το πότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μειωμένο ονομαστικό μοντέλο. Επί πλέον, εξετάζουμε εν συντομία και τον καθορισμό των εξισώσεων ευαισθησίας εξόδου. Για την περίπτωση που έχουμε να μελετήσουμε και να συγκρίνουμε την παραμετρική ευαισθησία συστημάτων ανοικτού και κλειστού βρόχου καθώς επίσης και στην σύνθεση συστημάτων "αναίσθητων" σε παραμετρικές μεταβολές, είναι αναγκαίο να έχουμε έναν ορισμό ευαισθησίας που να είναι ανεξάρτητος από την μορφή του σήματος εισόδου, αλλά να εξαρτάται μόνο από την δομή του συστήματος. Αυτή η απαίτηση ικανοποιείται με τους ορισμούς ευαισθησίας στο πεδίο συχνότητας, οι οποίοι βασίζονται στην συνάρτηση μεταφοράς ή στον πίνακα μεταφοράς του συστήματος. Εξετάζουμε τη συνάρτηση ευαισθησίας του Bode, τη συνάρτηση ευαισθησίας του Horowitz και τη συγκριτική συνάρτηση ευαισθησίας των Perkins και Cruz. Η τελευταία μπορεί να γενικευθεί και σε μη γραμμικά, χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα. / The sensitivity of systems is an important theme of Systems Theory, which is covered to an introductory level in this work. The sensitivity concerns differences between the real system and the mathematical model: if some parameters are quite different between the real system and the mathematical model and the behavior of the system depends strongly on these parameters, the utility of the mathematical model will be very little if we do not know both the parametric sensitivity of the system, i.e. the effect of changes in parameters on the dynamic behavior of the system. A key role is played by simulating the state sensitivity equations. First we determine the state of sensitivity equations for parameters of type a and show that the state of sensitivity functions of a continuous system with time invariant parameters are always determined by a linear system of differential equations with zero initial conditions. Then we expand and find the state sensitivity functions for the case where we have parameters of type b and we see that here the situation sensitivity equations are always linear and the initial conditions are zero. Then we move on finding state sensitivity functions for the type lambda parameters, after we look when the reduced nominal model can use. Moreover, we look briefly at the output sensitivity equations. In case we have to study and compare the parametric sensitivity of open and closed-loop systems as well as in the synthesis systems "unconscious" to parametric changes, it is necessary to have a definition of sensitivity that is independent of the input signal format, but can depend only on the structure of the system. This requirement is satisfied by the definitions of sensitivity in the frequency domain, which are based on the transfer function or the system operator panel. We examine the sensitivity function of Bode, the sensitivity function of Horowitz and the comparative context sensitivity of Perkins and Cruz. The latter can be generalized to nonlinear, time-varying systems.

Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι μια μεθοδολογία της Επιχειρησιακής Έρευνας η οποία ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των περιορισμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες μεταξύ τους δραστηριότητες με τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Από μαθηματικής σκοπιάς το πρόβλημα αφορά τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης σύμφωνα με κάποιους γραμμικούς περιορισμούς. Τόσο η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος, όσο και μια συστηματική διαδικασία επίλυσής του, η μέθοδος Simplex, οφείλεται στον G.B. Duntzig στα 1947. Την ίδια εποχή ο J. Von Neuman διατύπωνε το αργότερα γνωστό ως δυϊκό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Το πρώτο κεφάλαιο της παρούσης εργασίας ξεκινά με τη γενική μαθηματική θεώρηση των δύο προβλημάτων και συνεχίζει με τα βασικά θεωρήματα τα οποία αφορούν τη διαδικασία λύσης, τις ιδιότητές τους καθώς επίσης και τις σχέσεις που τα συνδέουν. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται διάφοροι τύποι ανάλυσης ευαισθησίας του γραμμικού μοντέλου, της μελέτης δηλαδή των αλλαγών που επιφέρουν στην άριστη λύση, αλλαγές σε διάφορα μεγέθη -παράμετροι- του προβλήματος. Στο ίδιο κεφάλαιο παρουσιάζεται η ανάλυση ευαισθησίας μιας ειδικής κλάσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, του προβλήματος καταμερισμού εργασίας (εκχώρησης). Τέλος γίνεται μια σύντομη αναφορά στον υπολογισμό των δυϊκών τιμών στην περίπτωση των εκφυλισμένων λύσεων. / Linear programming is a method of Operations Research which deals with the problem of distribution of limited resources of a system to rivaling activities -with each other - in the best possible way. From mathematics point of view the problem concerns the maximization or minimization of a linear function according to certain linear restrictions. Not only the mathematic formulation of the problem, but also a systematic procedure of solution (gradualism), the Simplex method, are due to G. B. Duntzig (1947). At the same time J. Von Neuman formulated the later known as dual problem of linear programming. The first chapter of this paper starts with the general mathematical regard of these two problems and steps to the essential theorems used for the solution procedure, their attributes as well as the relations that bind them. In the second chapter various types of linear model’s sensitivity analysis are presented, the study of changes that lead to the most efficient solution, changes in various elements - parameters of the problem. At the same chapter the sensitivity analysis of special group of linear programming problems is presented, the assignment problem. Finally a brief note is made at the calculation of dual values in case of degenerated solutions.

The aim of the present thesis is to evaluate fast scintillator materials, in both single-crystal and powder form, for possible usage in dedicated gamma ray imaging applications as well as in X-ray imaging techniques, requiring high frame rates. Powder scintillators are traditionally used in conventional X-ray imaging due to their property to produce high resolution images. This is because laterally directed optical photons, originating from the point of X-ray interaction, are strongly attenuated by light scattering effects on powder grains. This property however is their principal drawback for routine Nuclear Medicine applications. In these applications, photon counting accuracy rather than spatial resolution is required and to this aim high transparency crystals are used. In the present study we have tried to estimate whether the use of powder phosphors can improve the image quality in a dedicated gamma-ray system where spatial resolution than sensitivity is of primary significance. Evaluation was performed in thin and thick phosphor layers easily produced in the laboratory. In addition we present a low cost solution – consisting of a thick continuous powder scintillator screen – for use in dedicated high resolution small gamma imager. The advantages and disadvantages of proposed powder detector performance were compared to two standard 3 x 3 x 5mm3 and 2 x 2 x 3mm3 pixellated CsI:Tl scintillator detector configurations. System performance in terms of system sensitivity, system spatial resolution, energy resolution and linear energy response were measured at energy of 140 keV for close-proximity nuclear emission imaging. All measurements were carried out in photon counting mode in planar imaging configuration. The investigation was divided into two parts: Fast powder scintillators: In this part, powder scintillator screens of LSO:Ce, YAG:Ce and GOS:Pr were prepared in various coating thicknesses. Measurements concerning determination of emission spectra and absolute luminescence efficiency were carried out under X-ray excitation from 22 to 140 kV. Related parameters giving informations on luminescence and intrinsic properties of the phosphors such as X-ray luminescence efficiency, quantum detection efficiency, energy absorption efficiency and intrinsic conversion efficiency were also examined. Low cost and high resolution detector module: The goal of this part was to propose and evaluate a low cost solution for detector module – consisting of a thick continuous powder scintillator screen – for use in dedicated high resolution small gamma imagers. For the latter purpose, we examined the performance of the aforementioned fast powder scintillators in the form of thick screens easily produced in the laboratory. System performance in terms of system sensitivity, system spatial resolution, energy resolution and linear energy response were measured and compared for two standard 3 x 3 x 5mm3 and 2 x 2 x 3mm3 pixellated CsI:Tl. / Ο σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η αποτίμηση φθοριζόντων υλικών υψηλής απόκρισης, τόσο σε κρυσταλλική όσο και σε κοκκώδη μορφή για πιθανή χρησιμοποίησή τους σε συγκεκριμένους τύπους ανιχνευτικών συστημάτων Πυρηνικής Ιατρικής όπως επίσης σε συστήματα απεικόνισης με ακτίνες Χ που απαιτούν πολύ γρήγορες λήψεις ιατρικής εικόνας. Τα φθορίζοντα υλικά κοκκώδους μορφής χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην απεικόνιση με ακτίνες-Χ λόγω της υψηλής διακριτικής ικανότητας που μπορεί να επιτευχθεί. Στην παρούσα διατριβή μελετήθηκε κατά πόσο η χρήση νέων, γρήγορων φθοριζόντων υλικών κοκκώδους μορφής μπορεί να βελτιώσει την απόδοση συγκεκριμένων τύπων ανιχνευτικών συστημάτων Πυρηνικής Ιατρικής (π.χ. dedicated small nuclear imagers), στα οποία η διακριτική ικανότητα του συστήματος είναι πιο σημαντική από την ευαισθησία. Η αποτίμηση έγινε σε φθορίζοντα μεγάλου πάχους που παρασκευάστηκαν στο εργαστήριο. Επιπρόσθετα στην παρούσα διατριβή παρουσιάζεται η εφαρμογή ενός χαμηλού κόστους συμπαγούς ανιχνευτικού υλικού κοκκώδους μορφής σε ένα εξειδικευμένο σύστημα Πυρηνικής Ιατρικής. Γίνεται συστηματική μελέτη και εκτενής αναφορά στα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα αυτού του συστήματος. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αντίστοιχα αποτελέσματα που ελήφθησαν με χρήση διακριτοποιημένων σπινθηριστών τύπου CsI:Tl, μεγέθους 3 x 3 x 5mm3 και 2 x 2 x 3 mm3. Η απόδοση του συστήματος ως προς την ευαισθησία (sensitivity), τη χωρική διακριτική ικανότητα (spatial resolution) και την ενεργειακή διακριτική ικανότητα (energy resolution) αποτιμήθηκε για ενέργεια 140 keV, που αντιστοιχεί στην ενέργεια του ισοτόπου 99mTc που χρησιμοποιείται ευρύτατα σε εξετάσεις Πυρηνικής Ιατρικής. Η πειραματική μελέτη χωρίστηκε σε δύο μέρη: Φθορίζοντα υλικά κοκκώδους μορφής: Στο πρώτο μέρος της παρούσας διδακτορικής διατριβής μελετήθηκαν τα φθορίζοντα υλικά κοκκώδους μορφής LSO:Ce, YAG:Ce και GOS:Pr σε διάφορα πάχη και για μεγάλη κλίμακα ενεργειών (Υψηλή τάση λυχνίας ακτίνων-Χ από 22 kV έως 140 kV). Ανιχνευτής χαμηλού κόστους και υψηλής διακριτικής ικανότητας: Ο τελικός στόχος της παρούσας διατριβής ήταν η κατασκευή ενός ενιαίου ανιχνευτή, βασισμένου σε σπινθηριστή κοκκώδους μορφής, χαμηλού κόστους και υψηλής διακριτικής ικανότητας, κατάλληλου για χρήση σε εξειδικευμένα συστήματα Πυρηνικής Ιατρικής. Για το σκοπό αυτό μελετήθηκε η συμπεριφορά των υλικών κοκκώδους μορφής LSO:Ce, YAG:Ce και GOS:Pr υπό διέγερση ακτίνων γάμμα με ισότοπο Τεχνητίου (99mTc), ενέργειας 140 keV, που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην Πυρηνική Ιατρική. Τα υλικά αυτά υπό την μορφή ενιαίου, μεγάλου πάχους ( ≥2mm) και διαμέτρου (9 cm), συμπαγούς ανιχνευτή αξιολογήθηκαν με τεχνικές απεικόνισης μονού φωτονίου (single photon counting mode).