Αντικείμενο της παρούσης διπλωματικής εργασίας αποτελεί το Φωτοβαρυτικό Πρόβλημα των Τριών Σωμάτων, ένα άλυτο πρόβλημα που απασχόλησε και εξακολουθεί να απασχολεί τον τομέα των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και της Κλασικής Αστροφυσικής τουλάχιστον τους τελευταίους δύο αιώνες. Διεξάγεται μελέτη των σημείων ισορροπίας του συστήματος και προσδιορίζονται οικογένειες περιοδικών λύσεων, οι οποίες στην περίπτωσή μας διακρίνονται σε δύο κατηγορίες που χαρακτηρίζονται από το μέγεθος της περιόδου τους. / The topic of this thesis deals with the Restricted Photogravitational Three Body Problem, which is an unsolved problem in Astrophysics and Celestial Mechanics. Research is carried out concerning the equilibrium points, around which families of periodic solutions can be identified.

Στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με την μελέτη περιοδικών και ασυμπτωτικών λύσεων στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων. Πιο συγκεκριμένα: Στο κεφάλαιο 1 περιγράφουμε το πρόβλημα των τριών και των τεσσάρων σωμάτων, κάνοντας μια ιστορική αναδρομή και παραθέτουμε τις αρχικές εξισώσεις της κίνησης. Στο κεφάλαιο 2 μελετάμε αριθμητικά το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων, στην Lagrangian διαμόρφωση. Υπολογίζουμε τα σημεία ισορροπίας, καθώς και τις επιτρεπτές περιοχές κίνησης του τέταρτου σώματος. Στο κεφάλαιο 3 μελετάμε την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας. Επίσης υπολογίζουμε και παρουσιάζουμε τις περιοχές έλξης, για το δυναμικό σύστημα των τεσσάρων σωμάτων. Στο κεφάλαιο 4 μελετάμε οικογένειες απλών συμμετρικών και μη συμμετρικών περιοδικών τροχιών του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων. Υπολογίζουμε για κάθε περίπτωση τιμών των μαζών, σειρές κρίσιμων περιοδικών τροχιών κάθε οικογένειας ξεχωριστά. Τέλος στο κεφάλαιο 5 μελετάμε αριθμητικά οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων, έχοντας θέσει ως πρωτεύοντα σώματα τους ΄Ηλιο - Δία και έναν Τρωικό Αστεροειδή και θεωρώντας ως τέταρτο αμελητέας μάζας σώμα ένα διαστημόπλοιο. Τα πρωτεύοντα σώματα υπακούουν στην ευσταθή Lagrangian τριγωνική διαμόρφωση. Μελετήσαμε επίσης αναλυτικά και αριθμητικά τις λύσεις στην περιοχή των ευσταθών σημείων ισορροπίας του συστήματος, βρήκαmε οικογένειες περιοδικών λύσεων και μελετήσαμε την γραμμική ευστάθεια τους. Τα αποτελέσματα των κεφαλαίων 2,3,4 και 5 έχουν δημοσιευτεί σε τρία διεθνή περιοδικά και ένα κομμάτι του κεφαλαίου 5 παρουσιάστηκε σε διεθνές συνέδριο (με συγγραφείς τους Μπαλταγιάννη Α. και Παπαδάκη Κ.). Πιο συγκεκριμένα η μελέτη των κεφαλαίων 2 και 3 έχει δημοσιευτεί στο περιοδικό “International Journal of Bifurcation and Chaos, 21, 2011, pp. 2179-2193” με τον τίτλο: “Equilibrium Points and their stability in the restricted four-body problem”. Τα αποτελέσματα του κεφαλαίου 4 δημοσιεύτηκαν mε τον τίτλο: “Families of periodic orbits in the restricted four-body problem” στο περιοδικό “Astrophysics and Space Science, 336, 2011, pp. 357-367”. Επίσης το κεφάλαιο 5 υπό τον τίτλο “Periodic solutions in the Sun - Jupiter - Trojan Asteroid - Spacecraft system”, δημοσιεύτηκε στο περιοδικό ”Planetary and Space Science, 75, 2013, pp. 148-157”. Το διεθνές συνέδριο στο οποίο παρουσιάστηκε τμήμα του κεφαλαίου 5 ήταν το : “10th Hellenic Astronomical Conference, Proceedings of the conference held at Ioannina, Greece, 5-8 September 2011, pp. 23-24” και η εργασία είχε τίτλο: “Families of periodic orbits in the Sun - Jupiter - Trojan Asteroid system”. Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε με την οικονομική υποστήριξη του ερευνητικού προγράμματος του Πανεπιστημίου Πατρών: Κ. Καραθεοδωρή. / In this thesis we are concerned with the periodic and asymptotic solutions of the restricted four - body problem. In chapter 1 we describe the three - body and four - body problem, starting with historical information. We also present the needed equations of motion and integrals of the problem. In chapter 2 we study numerically the problem of four - bodies, according to the Lagrangian equilateral triangle configuration. We find the equilibrium points and the allowed regions of motion. In chapter 3 we study the stability of the relative equibrium solutions. We also illustrate the regions of the basins of attraction for the equilibrium points of the present dynamical model. In chapter 4 we present families of simple symmetric and non-symmetric periodic orbits in the restricted four-body problem. Series of critical periodic orbits of each family and in any case of the mass parameters are also calculated. In chapter 5 we study, numerically, families of simple non-symmetric periodic orbits of the restricted four-body problem, where we consider the three primary bodies as Sun, Jupiter and a Trojan Asteroid and as a massless fourth body, a spacecraft. The primary bodies are set in the stable Lagrangian equilateral triangle configuration. We also study analytically the solutions in the neighborhood of the stable equilibrium points and the linear stability of each periodic solution. The results of the chapters 2,3,4 and 5 have been published in three journals and a part of chapter 5 has been presented in an international conference. Chapters 2 and 3 have been published in “International Journal of Bifurcation and Chaos, 21, 2011, pp. 2179-2193” under the title of “Equilibrium Points and their stability in the restricted four-body problem”. Chapter 4 has been titled “Families of periodic orbits in the restricted four- body problem” and published in “Astrophysics and Space Science, 336, 2011, pp. 357-367”. Chapter 5 has been titled “Periodic solutions in the Sun - Jupiter - Trojan Asteroid - Spacecraft system,” and published in “Planetary and Space Science, 75, 2013, pp. 148-157”. The conference was the “10th Hellenic Astronomical Conference, Proceedings of the conference held at Ioannina, Greece, 5-8 September 2011, pp. 23-24” and part of the chapter 5 was presented under the title of “Families of periodic orbits in the Sun - Jupiter - Trojan Asteroid system”. This thesis was compiled while the author was in receipt of “K.Karatheodory” research grant.

Στην παρούσα διατριβή μελετάμε αγορές δημοπρασιών και εξετάζουμε διάφορες ιδιότητές τους καθώς και τον τρόπο που αυτές επηρεάζονται από τον τρόπο που συμπεριφέρονται και δρουν οι συμμετέχοντες. Η έννοια δημοπρασία αναφέρεται σε κάθε μηχανισμό, ή σύνολο κανόνων, που διέπει μια διαδικασία ανάθεσης αγαθών. Τέτοιοι μηχανισμοί είναι επιρρεπείς σε στρατηγικούς χειρισμούς (χειραγώγηση) από τους συμμετέχοντες, γεγονός που δικαιολογεί την έμφυτη δυσκολία στον σχεδιασμό τους. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι η μελέτη σε θεωρητικό επίπεδο των ιδιοτήτων μηχανισμών δημοπρασίας έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να προβλέψουμε, να εξηγήσουμε, ακόμα και να τροποποιήσουμε την απόδοσή τους στην πράξη. Εστιάζουμε την προσοχή μας σε δημοπρασίες χρηματοδοτούμενης αναζήτησης, οι οποίες αποτελούν την επικρατέστερη διαδικασία για την προβολή διαφημίσεων στο Διαδίκτυο. Υιοθετούμε παιγνιοθεωρητική προσέγγιση και υπολογίζουμε το Τίμημα της Αναρχίας για να φράξουμε την απώλεια αποδοτικότητας εξαιτίας της στρατηγικής συμπεριφοράς των παιχτών. Επίσης, αποδεικνύουμε εγγυήσεις εσόδων για να φράξουμε την απώλεια των εσόδων του μηχανισμού δημοπρασίας GSP (γενικευμένος μηχανισμός δεύτερης τιμής) σε αυτό το πλαίσιο. Για την ακρίβεια, ορίζουμε παραλλαγές του μηχανισμού δημοπρασίας GSP που δίνουν καλές εγγυήσεις εσόδων. Στη συνέχεια εξετάζουμε το πρόβλημα του σχεδιασμού της βέλτιστης δημοπρασίας ενός αντικειμένου. Αποδεικνύουμε ένα υπολογίσιμο φράγμα δυσκολίας στην προσέγγιση για την περίπτωση με τρεις παίχτες. Επίσης, αποδεικνύουμε ότι υπάρχει αξιοσημείωτη διαφορά ανάμεσα στα έσοδα που προκύπτουν από ντετερμινιστικούς φιλαλήθεις μηχανισμούς και πιθανοτικούς μηχανισμούς που είναι φιλαλήθεις κατά μέσο όρο. / In this dissertation we consider auction markets and examine their properties and how these are affected by the way the participants act. An auction may refer to any mechanism or set of rules governing a resource allocation process. Designing such a mechanism is not an easy task and this is partly due to their vulnerability to strategic manipulation by the participants. Our goal is to examine the theoretical properties of auction mechanisms in order to predict, explain, or even adjust their behavior in practice in terms of some desired features. We focus on sponsored search auctions, which constitute the leading procedure in Internet advertising. We adopt a game-theoretic approach and provide Price of Anarchy bounds in order to measure the efficiency loss due to the strategic behavior of the players. Moreover, we prove revenue guarantees to bound the suboptimality of GSP (generalized second price mechanism) in that respect. Ιn particular, we define variants of the GSP auction mechanism that yield good revenue guarantees. We also consider the problem of designing an optimal auction in the single-item setting. We prove a strong APX-hardness result that applies to the 3-player case. We furthermore give a separation result between the revenue of deterministic and randomized optimal auctions.

In this thesis we design and develop algorithms for predicting the rheological behavior of polymer melts based on the results of detailed atomistic simulations and guided by theories of the Dynamics of Polymers and fundamental Principles of Science of the Non-Equilibrium Thermodynamics. More specifically: 1) We propose a new rheological constitutive model for the time evolution of the tensor conformation tensor C of chains in a polymer melt (and hence the stress tensor τ) using the generalized bracket formalism of Beris and Edwards. The new constitutive model includes terms that describe a whole range of phenomena and are successfully used to describe the rheological properties of commercial polyethylene resins. 2) We developed a new methodology that allows direct connection of the results of atomistic simulations with molecular reptation theory for entangled polymers. The final result of the methodology is the calculation of the function ψ(s,t) which expresses the probability that the segment s along the contour of the primitive path remain in the original tube after time t. 3) We extended the Rouse theory for systems without polymer chain ends, as the polymer rings. While there have been previous theoretical work, a comprehensive analysis of the Rouse model of cyclic polymers was still lacking; here we develop the theory in its entirety. / Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής σχεδιάσαμε και αναπτύξαμε αλγορίθμους πρόβλεψης της ρεολογικής συμπεριφοράς πολυμερικών τηγμάτων βασιζόμενοι στα αποτελέσματα λεπτομερών ατομιστικών προσομοιώσεων, καθοδηγούμενοι όμως από Θεωρίες της Δυναμικής των Πολυμερών αλλά και από θεμελιώδεις αρχές της Επιστήμης της Θερμοδυναμικής Εκτός Ισορροπίας. Πιο συγκεκριμένα: 1) Προτείνουμε αρχικά ένα νέο ρεολογικό καταστατικό μοντέλο για τη χρονική εξέλιξη του τανυστή διαμορφώσεων C των αλυσίδων σε ένα πολυμερικό τήγμα (και κατ’ επέκταση για τον τανυστή των τάσεων τ) κάνοντας χρήση του φορμαλισμού των γενικευμένων αγκυλών των Beris και Edwards. Το νέο καταστατικό μοντέλο περιλαμβάνει όρους που περιγράφουν ένα ολόκληρο φάσμα φαινομένων και χρησιμοποιήθηκε με επιτυχία για την περιγραφή των ρεολογικών ιδιοτήτων εμπορικών ρητινών πολυαιθυλενίου. 2) Αναπτύξαμε μια καινούργια μεθοδολογία που επιτρέπει την άμεση σύνδεση των αποτελεσμάτων των ατομιστικών προσομοιώσεων με τη μοριακή θεωρία του ερπυσμού για διαπλεγμένα πολυμερή. Το τελικό αποτέλεσμα της μεθοδολογίας είναι ο υπολογισμός της συνάρτησης ψ(s,t) που εκφράζει την πιθανότητα το σημείο s κατά μήκος του περιγράμματος του πρωτογενούς δρόμου των αλυσίδων να παραμένει στον αρχικό σωλήνα μετά από χρόνο t. Επεκτείναμε τη θεωρία Rouse και για συστήματα πολυμερικών αλυσίδων δίχως άκρα, όπως αυτά των πολυμερικών δακτυλίων. Παρότι στίγματα της θεωρίας είχαν παρουσιαστεί και σε προηγούμενες εργασίες από άλλους ερευνητές, στην παρούσα διατριβή αναπτύξαμε τη θεωρία στην ολότητά της.