Η υποστήριξη μικρών ομάδων, (που απαρτίζονται από 2-6 μέλη), οι οποίες συνεργάζονται για την επίτευξη κοινών στόχων, αποτελεί αντικείμενο έρευνας τόσο ανθρωπιστικών όσο και τεχνολογικών επιστημονικών πεδίων. Σήμερα, η τεχνολογία διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στη συνεργασία ομάδων με διάφορους τρόπους: ως μέσο που επιτρέπει τo διάλογο από απόσταση ή εκ του σύνεγγυς, το διαμοιρασμό πόρων, τη συντήρηση και καθοδήγηση των μελών της ομάδας, το συντονισμό τους κλπ. Επιπλέον, μπορεί να υποστηρίξει σε μεγάλο βαθμό τον ερευνητή στην ανάλυση των δεδομένων που προκύπτουν από δραστηριότητες αυτού του τύπου με κατάλληλες μεθόδους και εργαλεία. O όρος groupware ή collaborative software (Ellis, Gibbs, Rein, 1991), ο οποίος αποδίδεται στη διατριβή αυτή ως συνεργατικό λογισμικό, περιλαμβάνει υπολογιστικά συστήματα τα οποία προορίζονται για την υποστήριξη ομάδων ανθρώπων διαφορετικών μεγεθών, οι οποίες εμπλέκονται σε δραστηριότητες με κοινούς στόχους. Συστήματα αυτού του τύπου μπορεί να είναι είτε γενικού σκοπού, όπως ηλεκτρονικό ταχυδρομείο, chat, συστήματα τηλεδιάσκεψης, φόρουμ συζητήσεων, wiki κλπ., είτε ειδικά λογισμικά που έχουν κατασκευαστεί για να υποστηρίζουν τη συνεργασία και κάποιες συνεργατικές δραστηριότητες στο χώρο εργασίας ή μάθησης. Προβλήματα που σχετίζονται με τη σχεδίαση συνεργατικού λογισμικού αφορούν αφενός την καλύτερη υποστήριξη των συνεργατικών δραστηριοτήτων, την κατανόηση της τυπικής συμπεριφοράς των μελών των ομάδων και της υποστήριξης που η τρέχουσα τεχνολογία είναι σε θέση να τους προσφέρει. Για το σκοπό αυτό είναι σημαντικό να γίνουν κατανοητοί οι παράγοντες που επηρεάζουν τη συμπεριφορά των ομάδων με αυτά τα χαρακτηριστικά. Η Ψυχολογία (και ειδικότερα η Γνωστική Ψυχολογία) και η Κοινωνιολογία είναι δύο επιστημονικοί κλάδοι που ασχολούνται με την μελέτη της συμπεριφοράς ατόμων που συνεργάζονται σε μικρές ομάδες. Οι επιστήμες αυτές προτείνουν μοντέλα τα οποία περιγράφουν χαρακτηριστικά των συμπεριφορών αυτών. Από αυτές τις επιστημονικές περιοχές αναδεικνύονται στα επόμενα κεφάλαια ορισμένοι από τους παράγοντες που επηρεάζουν τη συμπεριφορά των ατόμων κατά τη συνεργασία ούτως ώστε να διατυπωθεί τελικά πρόταση για το ρόλο της τεχνολογίας στον έλεγχο των παραγόντων αυτών. Η παρούσα διατριβή ασχολείται με το θέμα αφενός της ανάλυσης της συμπεριφοράς και αφετέρου της υποστήριξης με κατάλληλο συνεργατικό λογισμικό μικρών ομάδων που εμπλέκονται σε συνεργατικές δραστηριότητες με στόχο τη μάθηση. Στα πλαίσια αυτά έχουν τεθεί επί μέρους στόχοι, οι οποίοι επιτρέπουν την εμβάθυνση στην περιοχή αυτή: Πρώτος στόχος αποτελεί η ανάλυση ορισμένων κοινωνικών και τεχνολογικών παραμέτρων που επηρεάζουν τη συνεργασία μικρών ομάδων, εν συνεχεία η σχεδίαση και ανάπτυξη ενός πρωτότυπου συνεργατικού λογισμικού το οποίο επιτρέπει τη ρύθμιση των παραμέτρων αυτών, ούτως ώστε να είναι δυνατή η σχεδίαση συνεργατικών δραστηριοτήτων με διαφορετικά χαρακτηριστικά και να είναι δυνατός ο έλεγχος ισχύος των σχετικών θεωρητικών υποθέσεων που αφορούν στην επίδραση τους στη συνεργασία. Για την εξακρίβωση των υποθέσεων αυτών, επιδιώκεται η υποστήριξη της ανάλυσης της συνεργατικής δραστηριότητας της ομάδας όπως καταγράφεται από το ίδιο το συνεργατικό λογισμικό με κατάλληλα εργαλεία και μεθόδους ανάλυσης. Με σχετικές εμπειρικές μελέτες γίνεται έλεγχος της αποτελεσματικότητας των συστημάτων που έχουν αναπτυχθεί είτε ως προς την δυνατότητα υποστήριξης της συνεργατικής συμπεριφοράς, είτε ως προς τη δυνατότητα ανάλυσης της συμπεριφοράς αυτής. Η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε για την επίτευξη των στόχων αυτών είναι η εξής. 1. Σχεδιάστηκε και υλοποιήθηκε αρχικά μία πλατφόρμα η οποία επιτρέπει την ανάπτυξη συνεργατικών εφαρμογών με παραμετρικά χαρακτηριστικά. Ο όρος «παραμετρικός» αναφέρεται στο γεγονός ότι στις εφαρμογές αυτές ορισμένοι όροι της συνεργασίας μπορεί κάθε φορά να μεταβάλλονται ώστε να υποστηρίζουν προσδοκώμενη συμπεριφορά των μελών της ομάδας. 2. Κατόπιν δημιουργήθηκε ένα μοντέλο καταγραφής της συνεργατικής δραστηριότητας και μια μεθοδολογία ανάλυσης αυτής. Η μοντελοποίηση αυτή βοηθάει, εκτός των άλλων, στην δημιουργία μετρικών για την υποστήριξη του αναλυτή της συνεργασίας. Τελικά, αναπτύχθηκαν συγκεκριμένα εργαλεία που υποστηρίζουν την μοντελοποίηση αυτή και τα οποία δημιουργούν οπτικοποιήσεις της συνεργατικής δραστηριότητας. 3. Τέλος, με τη βοήθεια δύο διαφορετικών παραμετρικών εφαρμογών (του συνεργατικού λογισμικού ModellingSpace και Synergo) και της μεθοδολογίας ανάλυσης των δεδομένων που προέκυψαν από τη χρήση των εφαρμογών αυτών, διατυπώθηκαν υποθέσεις σε σχέση με συγκεκριμένες παραμέτρους και τον τρόπο που επηρεάζουν τη συνεργασία και διεξήχθησαν εμπειρικές μελέτες για την επιβεβαίωση των υποθέσεων αυτών. Τα συμπεράσματα που προέκυψαν από τις μελέτες αυτές απέδειξαν αφενός ότι η παραμετρική πλατφόρμα που σχεδιάστηκε είναι πράγματι ικανή να βοηθήσει στη δημιουργία ποικίλων συνεργατικών εφαρμογών με παραμετρικούς όρους συνεργασίας και αφετέρου ότι η μεθοδολογία ανάλυσης των συνεργατικών δεδομένων μπορεί πράγματι να βοηθήσει την ανάλυση δεδομένων από συνεργατικές δραστηριότητες και να υποστηρίξει την περαιτέρω κατανόηση των σύνθετων φαινομένων που παρατηρούνται κατά τη συνεργασία μικρών ομάδων με στόχο τη μάθηση. / -

Σε αυτήν την εργασία, προσεγγίζουμε την συνύπαρξη δύο βασικών αλγεβρικών δομών για τις ανάγκες επίλυσης πολλών προβλημάτων των σύγχρονων Μαθηματικών. Οι δομές αυτές είναι οι ομάδες και τα γραφήματα, που με την ταυτόχρονη χρήση τους μας οδήγησαν στην μελέτη των G-γραφημάτων. Ειδικότερα θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο η θεωρία ομάδων βοηθά στην μελέτη των γραφημάτων και πως η θεωρία γραφημάτων ανταποδίδει τη βοήθεια αυτή. Όλα αυτά, προσδιορίζονται-μελετώνται και επεκτείνονται με την υποστήριξη που προσφέρει στις μέρες μας η Υπολογιστική Άλγεβρα. Ο κλάδος αυτός των μαθηματικών υποβοηθούμενος από αλγορίθμους και υπολογιστικά αλγεβρικά συστήματα καθοδήγησε και υποστήριξε την μελέτη «δύσκολων» προβλημάτων. Αναμένεται να επεκτείνει τη μελέτη και την επίλυση και άλλων ανοικτών προβλημάτων στο μέλλον. Αναδεικνύεται κατά αυτό τον τρόπο, η αξία και η σπουδαιότητα της χρήσης υπολογιστικών μεθόδων ως σημαντικού εργαλείου στην μελέτη γραφημάτων και ομάδων. Η εργασία έχει οργανωθεί σε εννέα κεφάλαια. Αρχικά γίνεται αναφορά στην Υπολογιστική Άλγεβρα. Υπολογιστική Άλγεβρα είναι ο κλάδος των Μαθηματικών ο οποίος ασχολείται με τις τεχνικές που εκτελούν τους αλγεβρικούς υπολογισμούς με την βοήθεια των υπολογιστών. Η λογική διαδικασία που χρησιμοποιεί φτιάχνεται από τις βασικές θεωρίες των μαθηματικών θεμάτων που επεξεργάζονται και επεκτείνονται από : 1) αλγορίθμους και δομές δεδομένων 2) γλώσσες προγραμματισμού και συστήματα λογισμικού 3) μέσα διασύνδεσης ανάμεσα στα αλγεβρικά υπολογιστικά συστήματα και τους χρησιμοποιούμενους αλγορίθμους. Οι «υπολογισμοί» πάνω σε διάφορα θέματα, είχαν απασχολήσει τον άνθρωπο από τα παλιά χρόνια γιατί πάντα ήθελε να δώσει λύσεις στα προβλήματά του. Στις μέρες μας, υπολογίζουμε περισσότερο για ερευνητικούς λόγους, για να επεκτείνουμε τους ήδη υπάρχοντες αλγορίθμους σε ευρύτερες περιοχές και για να επιλύσουμε σύγχρονα προβλήματα της επιστήμης. Πολλά από τα προβλήματα που σήμερα είναι “μη επιλύσιμα” στα Μαθηματικά, αφορούν στις Ομάδες. Στα Μαθηματικά Ομάδα (group) είναι ένα σύνολο, μαζί με μία διμελή πράξη (όπως ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση) που ικανοποιούν βασικά αξιώματα που περιγράφονται λεπτομερώς στο κεφάλαιο 2 της εργασίας. Η σημασία των ομάδων στα Μαθηματικά είναι μεγάλη. Πολλά από τα αντικείμενα που ερευνώνται στα μαθηματικά είναι ομάδες. Γνωστά σύνολα αριθμών, όπως οι ακέραιοι, οι ρητοί, οι πραγματικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί εφοδιασμένα με την πράξη της πρόσθεσης είναι ομάδες. Η θεωρία ομάδων θεμελιώνει τις ιδιότητες αυτών των συστημάτων και ανακαλύπτει πολλές άλλες. Τα αποτελέσματά της είναι ευρέως εφαρμόσιμα. Σημαντική αναφορά γίνεται στην ομάδα των μεταθέσεων n αντικειμένων (συμμετρική ομάδα) και την εναλλακτική ομάδα (είναι η ομάδα άρτιου αριθμού μεταθέσεων η αντικειμένων). Ενδιαφέρον θέμα είναι η δημιουργία νέων ομάδων από τις παλιές. Έτσι γίνεται σημαντικός ο ρόλος της υποομάδας, αλλά και των διαμερίσεων των ομάδων, πράγμα που επιτυγχάνεται ικανοποιητικά με την βοήθεια των «συνσυνόλων», της υποομάδας και των τροχιών (orbits). Ιδιαίτερο ρόλο στην θεωρία των ομάδων παίζουν οι μορφισμοί που μελετούν τις σχέσεις ανάμεσα στις ομάδες και ορίζονται με ειδικές συναρτήσεις οι οποίες παίρνουν αντικείμενα από μία ομάδα και τα αντιστοιχούν σε μία άλλη Εξετάζοντας τους μορφισμούς μας επιτρέπεται να κάνουμε σημαντική ανάλυση των σχέσεων ανάμεσα στις ομάδες. Επίσης οι μορφισμοί με τις αντιστοιχίσεις τους συνδέουν τις ομάδες με τα γραφήματα. Οι ομάδες υπογραμμίζουν πολλές άλλες αλγεβρικές δομές όπως τα πεδία και τα διανύσματα χώρου. Είναι επίσης σημαντικά εργαλεία για την μελέτη της συμμετρίας σε όλους τους τύπους. Η άποψη ότι η συμμετρία ενός αντικειμένου σχηματίζει μια ομάδα είναι θεμελιώδης για πολλά Μαθηματικά. Γι αυτές τις αιτίες η Θεωρία ομάδων είναι μια σημαντική περιοχή στα μοντέρνα μαθηματικά και με πολλές εφαρμογές σε άλλους κλάδους όπως η φυσική. Τα γραφήματα(graphs), τα κατευθυνόμενα γραφήματα (directed graphs) και τα δέντρα (trees) εμφανίζονται σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών και της επιστήμης των Υπολογιστών. Το κεφάλαιο 3 καλύπτει αυτά τα θέματα. Το γράφημα πολλών προβλημάτων, που αναφέρονται σε διακριτά αντικείμενα και διμελείς σχέσεις, είναι μία πολύ βολική μορφή αναπαράστασης. Αυτό μας οδήγησε στην μελέτη της θεωρίας των γραφημάτων. Τα γραφήματα έπαιξαν και παίζουν σημαντικότατο ρόλο στην ανάπτυξη αλγορίθμων, καθώς είναι τα μόνα εργαλεία στα μαθηματικά που μπορούν να παραστήσουν μία αλληλουχία σκέψεων. Στη θεωρία των γραφημάτων ορίζονται οι “περίπατοι”(walks), οι “αποστάσεις” (distances), τα “υπογραφήματα” (subgraphs) και τέλος οι “μορφισμοί” (morphisms) που είναι ανάλογοι με εκείνους των ομάδων. Ιδιαίτερο ρόλο παίζει η συνδεσιμότητα (connectivity), κυρίαρχη δε για τους αλγορίθμους είναι η έννοια του “δέντρου” (tree). Δύο σημαντικά αλγοριθμικά προβλήματα που απασχολούν τους επιστήμονες είναι Α) ο έλεγχος δύο γραφημάτων ως προς τον ισομορφισμό Β) η εύρεση της ομάδας αυτομορφισμού ενός γραφήματος Τα παραπάνω προβλήματα δεν είναι πάντοτε επιλύσιμα. Εντούτοις σε μερικές περιπτώσεις μπορούν να επιλυθούν με τη βοήθεια αλγορίθμων που υποστηρίζονται από τα υπολογιστικά συστήματα GAP, NAUTY, και MAGMA Συνεχίζοντας στα κεφάλαια 4,5,6 κάνουμε μία μικρή περιγραφή στα κυριότερα για τους παραπάνω στόχους υπολογιστικά αλγεβρικά συστήματα. Η κύρια χρήση των υπολογιστικών αυτών συστημάτων είναι η σύνδεση των παραπάνω δομών (ομάδων και γραφημάτων). Εστιάζουν στους υπολογισμούς των μεταθέσεων n στοιχείων, τον υπολογισμό των μορφισμών των ομάδων, των συνσυνόλων, των τροχιών και των πυρήνων. Το αλγεβρικό Υπολογιστικό Σύστημα GAP, (Groups, Algorithms, Programming) περιέχει ένα «ανοικτό» λογισμικό στο χρήστη, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί κανείς να γράψει τα δικά του προγράμματα στη γλώσσα GAP και να τα χρησιμοποιήσει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως και τα προγράμματα τα οποία αποτελούν μέρος του συστήματος. Από την άλλη μεριά το ίδιο είναι εφοδιασμένο με μία μεγάλη βιβλιοθήκη συναρτήσεων η οποία υποστηρίζει αλγεβρικούς και άλλους αλγορίθμους. Αρχικά όλα τα προγράμματα της GAP βιβλιοθήκης ήταν γραμμένα στη γλώσσα προγραμματισμού C, τώρα όμως όλα τα προγράμματα έχουν γραφτεί στη γλώσσα GAP. Στο τέλος του κεφαλαίου 4, δίνονται παραδείγματα εφαρμογής προγραμμάτων του GAP πάνω στους ομοιομορφισμούς των ομάδων. To nauty (no automorphisms, yes?) είναι ένα σύνολο διαδικασιών για προσδιορισμό του αυτομορφισμού μιας ομάδας από ένα γράφημα χρωματισμένων κορυφών. Παρουσιάζει αυτήν την πληροφορία αφού του δοθεί ένα σύνολο γεννητόρων, το μέγεθος της ομάδας και ο αριθμός των τροχιών της ομάδας. Μπορεί επίσης να δώσει έναν ισομορφισμό του γραφήματος. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιεί το nauty είναι μία προς τα πίσω διαδρομή που μπορεί να περιγραφεί σε ομάδες ενός συνηθισμένου δέντρου αναζήτησης. Διάφορα μεγέθη και παράμετροι καθορίζουν την πορεία της διαδικασίας, της οποίας η έξοδος δίνεται σε επίπεδα. Το magma, είναι ένα υπολογιστικό αλγεβρικό σύστημα, σχεδιασμένο να επιλύει προβλήματα στην Άλγεβρα, στη Θεωρία Αριθμών, στη Γεωμετρία και σε συνδυασμούς των παραπάνω Μαθηματικών θεμάτων. Μπορεί να αναπτύξει «εκλεπτυσμένα Μαθηματικά», τα οποία είναι υπολογιστικά δύσκολα. Παρέχει ένα αυστηρό Μαθηματικό περιβάλλον, το οποίο δίνει έμφαση στον διαρθρωτικό υπολογισμό. Ένα χαρακτηριστικό κλειδί είναι η δυνατότητα να συναρμολογεί κανονικές αντιπροσωπεύσεις δομών. Τα κύρια χαρακτηριστικά του είναι: α) αλγεβρική φιλοσοφία σχεδιασμού, β) καθολικότητα, γ) ενοποίηση, δ) παρουσίαση. Το πρόγραμμα, παρέχει στο χρήστη μία συλλογή βιβλιοθηκών και αρχείων τεκμηρίωσης που βρίσκονται όλες σε έναν κατάλογο που το ίδιο περιέχει. Η μελέτη των G-graphs στο κεφάλαιο 7 έχει οργανωθεί ως εξής: Πρώτα δίνουμε τον ορισμό ενός G-graph. Έπειτα περιγράφουμε μερικούς βασικούς αλγορίθμους για συνδυασμούς ομάδων οι οποίοι χρησιμοποιούνται στην μελέτη των G-graphs. Μετά θα συζητήσουμε την αποτελεσματική αποθήκευση και δομή των G-graphs, και πώς να χρησιμοποιηθεί ένας μεταβαλλόμενος τύπος για να υπολογίζει αποτελεσματικά πολλές ιδιότητες ενός G-graph. Στη συνέχεια συγκεντρώνουμε τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται, με τη χρήση του NAUTY. Στο κεφάλαιο 8 μας απασχολεί η ταξινόμηση των γραφημάτων που είναι μεταβατικά ως προς την απόσταση (distance transitive graphs). Αυτά είναι τα γραφήματα των οποίων οι ομάδες αυτομορφισμού είναι μεταβατικές πάνω σε κάθε σύνολο ζευγαριών κορυφών σε απόσταση i, για i=0,1,2,.. Παρουσιάζεται μία εισαγωγή σε αυτήν την κατηγορία γραφημάτων και θεωρήματα από τα οποία διέπονται. Με τη χρήση της κατηγορίας των πεπερασμένων απλών ομάδων, φαίνεται πιθανό να βρεθούν όλα τα γραφήματα που είναι μεταβατικά ως προς την απόσταση. Τέλος στο κεφάλαιο 9 μελετάται η έννοια της απαρίθμησης συνσυνόλων (coset enumeration) που τα παραπάνω υπολογιστικά συστήματα προσπαθούν επίσης να αντιμετωπίσουν. Απαρίθμηση συνσυνόλων είναι το πρόβλημα της μέτρησης των συνσυνόλων μιας υποομάδας Η μιας ομάδας G. Η απαρίθμηση συνσυνόλων είναι μια από τις παλαιότερες και πιο χρήσιμες μεθόδους της υπολογιστικής θεωρίας ομάδων. Το 1936 οι Τodd και Coxeter ανακάλυψαν μία διαδικασία για να απαριθμούν τα συνσύνολα μιας υποομάδας από μία ομάδα. Αυτό αποδείχτηκε ένα ισχυρό εργαλείο για τη μελέτη των πεπερασμένων “παρουσιαζόμενων” ομάδων (presented groups) στην υπολογιστική θεωρία τoυς. Παλιότερα το 1911, ο Dehm πρότεινε την επίλυση του “Προβλήματος των λέξεων”. Αυτό είναι η εύρεση ενός αλγορίθμου που να αποφασίζει αν σε μία ομάδα που ορίζεται από ένα πεπερασμένο σύνολο γεννητόρων (generators) και σχέσεων (relators), μία λέξη (word) στους γεννήτορες παριστάνει το ταυτοτικό στοιχείο (identical element). Το πρόβλημα που έθεσε ο Dehn προσπάθησαν πολλοί αργότερα να επιλύσουν με τοπολογικούς στοχασμούς. Σήμερα, η περιοχή αυτή της Υπολογιστικής Θεωρίας των ομάδων έχει αναπτυχθεί γρήγορα μέσω του σχεδιασμού , της ανάπτυξης και της εφαρμογής των Αλγορίθμων, καθώς και εξαιτίας του αυξανομένου αριθμού των Μαθηματικών επιστημόνων που έχουν εργαστεί πάνω σε αυτά τα θέματα. Στο κεφάλαιο 9 δίνουμε μία μικρή περιγραφή του αλγορίθμου των Todd-Coxeter. Αξίζει να σημειωθεί ότι το πρόβλημα των λέξεων σήμερα είναι επιλύσιμο για πολλές όχι όμως όλες τις ομάδες. / This subject is a descrription of the computer algebric systems GAP,NAUTY, MAGMA.