Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται την θεωρία παιγνίων και το πώς αυτή εφαρμόζεται στην οικονομική επιστήμη. Συγκεκριμένα, στόχος μας είναι να απαντήσουμε στο ερώτημα: «Πως αποφασίζονται οι τελικές στρατηγικές που θα επικρατήσουν σε ένα παίγνιο με την πάροδο του χρόνου;». Η εργασία είναι χωρισμένη σε δύο μέρη. Αρχικά αναφερόμαστε στην κλασσική θεωρία παιγνίων και αναλύουμε τα βασικά της στοιχεία και στη συνέχεια περνάμε στην ανάλυση της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων. Στο 1ο μέρος της παρούσας εργασίας, λοιπόν, αναφέρουμε τα όσα είναι σχετικά με την κλασσικά θεωρία παιγνίων. Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία σύντομη ιστορική αναδρομή της θεωρίας αυτής και στο δεύτερο κεφάλαιο την ορίζουμε ως την επίσημη μελέτη που εξετάζει την ορθολογικότητα σε ένα επιχειρηματικό περιβάλλον και παρουσιάζουμε τα βασικά στοιχεία ενός παιγνίου. Αναφέρουμε τα δύο επίπεδα περιγραφής των παιγνίων, δηλαδή τα παίγνια συνεργασίας και μη-συνεργασίας, καθώς και τους δύο τρόπους αναπαράστασής τους που είναι η στρατηγική ή αλλιώς κανονική μορφή (μήτρες) και η εκτεταμένη ή αλλιώς αναλυτική μορφή (δέντρα παιγνίων). Στο τρίτο κεφάλαιο ορίζονται οι κυρίαρχες στρατηγικές και η αντίστοιχη ισορροπία κυρίαρχης στρατηγικής και στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζεται η Ισορροπία Nash, η οποία αποτελεί τη στάνταρ έννοια της ισορροπίας στα οικονομικά. Στα δύο αυτά κεφάλαια (3 και 4) υπάρχουν παραδείγματα εφαρμογής που στοχεύουν στην καλύτερη κατανόηση, και αναλύεται και το Δίλημμα του Φυλακισμένου που αποτελεί το πιο κλασσικό παράδειγμα στη θεωρία παιγνίων. Στην περίπτωση, τώρα, όπου δεν υπάρχει Ισορροπία Nash (κάτι το οποίο συμβαίνει σε παίγνια στρατηγικής μορφής) το παίγνιο λύνεται με τη βοήθεια των μικτών στρατηγικών οι οποίες αναλύονται στο πέμπτο κεφάλαιο. Συνεχίζουμε με το έκτο κεφάλαιο, όπου παρουσιάζονται τα εκτεταμένα παίγνια πλήρους πληροφόρησης και αναλύεται η μέθοδος της προς τα πίσω επαγωγής (αναδίπλωση). Στο έβδομο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης και στο όγδοο κεφάλαιο αναφέρονται τα παίγνια μηδενικού αθροίσματος (π.χ. σκάκι) και το πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν μαζί με τους τυχαιοποιημένους αλγόριθμους για την ανάλυση προβλημάτων στον απευθείας σύνδεσης υπολογισμό. Το 1ο μέρος κλείνει με ένα παράδειγμα εφαρμογής της θεωρίας παιγνίων, τις δημοπρασίες. Τι γίνεται όμως όταν ένα παίγνιο επαναλαμβάνεται και παίζεται περισσότερες από μία φορές; Το ερώτημα αυτό έρχεται να μας το απαντήσει η εξελικτική θεωρία παιγνίων στο 2ο μέρος της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Στα δύο πρώτα κεφάλαια, του μέρους αυτού, ορίζονται τα εξελικτικά παίγνια, γίνεται αναφορά για το που μπορούν να βρουν εφαρμογή καθώς και στους λόγους που δεν είναι ακόμη γνωστές οι οικονομικές εφαρμογές τους. Το τρίτο και το πέμπτο κεφάλαιο αποτελούν τα πιο σημαντικά κεφάλαιο του 2ου μέρους. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά το μοντέλο των εξελικτικών παιγνίων και τα στοιχεία που το αποτελούν (αναμενόμενες ανταμοιβές, πληθυσμός, καταστάσεις). Περιγράφεται το στάδιο παιγνίου το οποίο ορίζεται από μία συνάρτηση καταλληλότητας και δίνεται έμφαση στις δύο γραμμικές προδιαγραφές που έχουν οι συναρτήσεις αυτές. Στη συνέχεια, αναλύεται πλήρως το πιο αντιπροσωπευτικό παράδειγμα της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων, το παίγνιο Hawk-Dove, που αποτελεί ένα γενικό μοντέλο καταστάσεων με επιθετικές και αμυντικές αγορές. Το παίγνιο αυτό έχει δύο ειδών παίκτες, αυτοί που επιλέγουν να είναι επιθετικοί (Hawk) και αυτοί που επιλέγουν να είναι αμυντικοί (Dove), και ερευνάται το ποιο είδος παικτών θα επικρατήσει τελικά. Μέσα από την διαφορική εξίσωση που αναλύεται στο πέμπτο κεφάλαιο, στις δυναμικές, φαίνεται πως το αποτέλεσμα εξαρτάται από τρεις παραμέτρους: από τον αρχικό πληθυσμό, από την πιθανότητα να παιχτεί η καθεμία στρατηγική και από τον πίνακα με τις ανταμοιβές των παικτών. Έτσι απαντάται το αρχικό μας ερώτημα και προκύπτει η στρατηγική που τελικά θα επικρατήσει, που ονομάζεται εξελικτική στρατηγική (evolutionary stable strategy-ESS). Στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζεται η Ισορροπία Nash (I.N.), η Εξελικτική Σταθερή Στρατηγική (ESS) και η Εξελικτική Ισορροπία (E.E.) και στο έκτο κεφάλαιο αναφέρουμε την τοπική κατάταξη συστημάτων με χαμηλές διαστάσεις και συγκεκριμένα τα γραμμικά παίγνια μίας-διάστασης, τα συστήματα δύο μεταβλητών και άλλα συστήματα δύο-διαστάσεων και μη-γραμμικά. Κλείνοντας το 2ο μέρος και γενικά την παρούσα εργασία, παρουσιάζουμε τρία παραδείγματα στα οποία φαίνεται η εφαρμοσιμότητα των όσων αναφέραμε. Συγκεκριμένα αναλύονται τρία γνωστά παίγνια τα οποία χρησιμοποιήθηκαν από την πολιτική και παραλληλίστηκαν με καταστάσεις που είχαν να αντιμετωπίσουν εκείνη τη στιγμή. / This thesis deals with the evolutionary game theory and how it applies to economics. First of all, it is necessary to refer the original game theory and to analyze the key elements and then move to the analysis of evolutionary game theory. In the first part of this study, therefore, we indicate what is on game theory. Specifically, in the first chapter is a brief history of game theory and the second chapter defined game theory as a formal study examining the rationality in a business environment and presents the basics elements of a game. Also, at this chapter i reffer to the description of games, namely, games of cooperation and non-cooperation, and the two ways of representing their strategy, the normal form (matrix) and the extensive form (game tree). The third chapter sets out the dominant strategy and the corresponding dominant strategy equilibrium and in the fourth chapter we define the Nash Equilimbrium, which is the standard notion of equilibrium in economics. In these two chapters (third and fourth) there are examples of the application for better understanding, and we analyze the prisoner's dilemma, which is the most classic example of game theory. If there is no Nash Equilimbrium (this could happen at narmal strategy games) the game is solved by mixed strategies, which are analyzed in the fifth chapter. Continuing, at the sixth chapter we can see the extensive games with perfect information and we analyze the method of backward induction. In the seventh chapter, we can see the extensive games with imperfect information and the eighth chapter refers to the zero-sum games and how they can be used together with randomized algorithms for the analysis of problems on-line calculation. Finally, the first part closes with an example application of game theory, the auctions. The question is “What happens when a game is played more than once?” The answer comes from the second part of this thesis in which we analyse the evolutionary game theory. In the first two chapters of this part we define evolutionary games, we refere where evolutionary games might be applicable and why economic application aren’t common already. The third and fourth chapter are the most important chapters of the second part. At the third chapter we present the model of the evolutionary game and its elements (expected payoffs, population, states). We describe the stage game which is defined by a fitness function and we emphasize at its two linear specifications. Then we make a full analysis one of the most representative example of evolutionary game theory, the Hawk-Dove game. This game has two types of players, aggressive (Hawk) and defensive (Dove), which reflects the situation where there is a competitive and an uncompetitive business, and the point is to find which of the two types will eventually prevail. Based on a differential equation, we conclude that the result depends on three parameters: the initial population, the probability with which each strategy is played and the payoff matrix. All this leads in a strategy which is known as evolutionary stable (ESS). In chapter five, we define the Nash Equilibrium, the Evolutionary Stable Strategy (ESS) and Evolutionary Equilibrium (EE) and in chapter six we analyze the local classification of low dimensions systems. To make clear the applicability of all those we mention at this thesis, we are closing with three examples. More specific we analyze three well-known games which were used by the political and paralleled with situations they had to face with.

Σκοπός: Η θυμεκτομή αποτελεί κοινώς αποδεκτή θεραπεία της μυασθένειας με τις διάφορες προσπελάσεις να αναφέρονται ως ανάλογης αξίας για την επίτευξη ύφεσης της νόσου. Έχοντας πλέον την μόνιμη σταθερή ύφεση ως καθαρή και μετρήσιμη νευρολογική έκβαση των μυασθενικών ασθενών μετά θυμεκτομή και γνωρίζοντας ότι η ύφεση της νόσου αποτελεί χρόνο-εξαρτώμενο γεγονός, πραγματοποιήσαμε μια αναδρομική μελέτη των ασθενών με μυασθένεια που αντιμετωπίστηκαν χειρουργικά με σκοπό τον πιο αξιόπιστο καθορισμό του ρόλου των μεγίστων θυμικών εκτομών και την ταυτοποίηση προγνωστικών παραγόντων για ύφεση της νόσου μετά θυμεκτομή. Υλικό και μέθοδος. Η μελέτη περιλαμβάνει 78 ασθενείς που υποβλήθηκαν σε τροποποιημένη μέγιστη θυμεκτομή από το 1990 έως το 2007. Οι ενδείξεις θυμεκτομής περιελάμβαναν: οφθαλμική μυασθένεια ανθιστάμενη στη φαρμακευτική αγωγή, γενικευμένη μυασθένεια και μυασθένεια με θύμωμα. Τα στοιχεία που συλλέχθηκαν αφορούσαν τη βαρύτητα της νόσου (τροποποιημένη Osserman ταξινόμηση), την προεγχειρητική φαρμακευτική αγωγή, την ηλικία έναρξης της νόσου (≤ 40/ > 40 έτη), το χρονικό διάστημα που μεσολάβησε από τη διάγνωση στη θυμεκτομή (≤ 12/ > 12 μήνες), το φύλο, την ιστολογία του θύμου αδένα, τη θνητότητα και τις επιπλοκές. Στους ασθενείς με θύμωμα περαιτέρω στοιχεία που ελήφθησαν υπόψη αφορούσαν τον ιστολογικό τύπο του θυμώματος κατά την Παγκόσμια Οργάνωση Υγείας και το στάδιο του όγκου κατά Masaoka. Η εκτίμηση της νευρολογικής έκβασης στο τέλος του μετεγχειρητικού follow up έγινε βάση της νέας ταξινόμησης του Αμερικανικού Ιδρύματος για τη Βαρεία Μυασθένεια με την πλήρη σταθερή ύφεση να λαμβάνεται υπόψη για τον καθορισμό της επάρκειας της διενεργηθείσας εκτομής και για τη σύγκριση των αποτελεσμάτων μας με αυτά προηγουμένων μελετών. Η στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων έγινε με το SPSS 17 και αφορούσε δύο ομάδες ασθενών ανάλογα με την παρουσία ή μη θυμώματος. Η μέθοδος Kaplan-Meier χρησιμοποιήθηκε για την εκτίμηση της επίπτωσης των υπό εκτίμηση προγνωστικών παραγόντων στην επίτευξη της πλήρους ύφεσης ενώ η Cox Regression ανάλυση αποτέλεσε το μοντέλο για την ανάλυση της ταυτόχρονης επίδρασης των υπό μελέτη παραμέτρων στην επίτευξη πλήρους σταθερής ύφεσης. Τιμές του p < 0.05 θεωρήθηκαν στατιστικά σημαντικές. Αποτελέσματα: 51 ασθενείς είχαν μυασθένεια χωρίς θύμωμα και 27 ασθενείς παρανεοπλασματική μυασθένεια. Δεν υπήρχαν στατιστικά σημαντικές διαφορές στα προεγχειρητικά κλινικά χαρακτηριστικά των ασθενών πλην της αναμενομένης εμφάνισης της νόσου σε απώτερη ηλικία στους ασθενείς με θύμωμα. Η θνητότητα ήταν μηδενική ενώ η χειρουργική νοσηρότητα, ανάλογη προηγουμένων μελετών θυμεκτομής με διαφορετικού τύπου προσπέλασεις, ανήλθε στο 7,7% και ήταν ως επί το πλείστον ήσσονος σημασίας. Το ποσοστό μετεγχειρητικής μυασθενικής κρίσης ήταν μόλις 3,8%. Οι ασθενείς με μυασθένεια και θύμωμα βίωσαν όψιμη νευρολογική έκβαση ανάλογη αυτής των ασθενών χωρίς θύμωμα (πιθανότητα ύφεσης 74,5% vs 85,7%, p= 0.632). Η μη χρήση στεροειδών στην προεγχειρητική φαρμακευτική αγωγή, ως έμμεσος δείκτης της βαρύτητας της νόσου, σχετίστηκε με στατιστικά καλύτερη πιθανότητα για πλήρη ύφεση των συμπτωμάτων τόσο στους ασθενείς με θύμωμα (95% CI 2.687-339.182, p= 0.006) όσο και σε αυτούς χωρίς θύμωμα (CI 95% 1.607-19.183, P= 0.007) στην πολυπαραγοντική ανάλυση. Αξιόλογη διαφορά, αν και στατιστικά μη σημαντική, για τη έκβαση της νόσου είχε η πρώιμη σε σχέση με την απώτερη χειρουργική αντιμετώπιση των ασθενών. Στη σύγκριση των 27 ασθενών με μυασθένεια και θύμωμα με 12 επιπλέον ασθενείς που υποβλήθηκαν στην ίδια επέμβαση για θύμωμα άνευ μυασθένειας η παρουσία των συμπτωμάτων μυϊκής αδυναμίας συνδυάστηκε με στατιστικά σημαντική βελτίωση της επιβίωσης των ασθενών (100% vs 38,8% στη 10ετία, p< 0.001). Στους ασθενείς με μυασθένεια χωρίς θύμωμα και απώτερης ηλικιακά έναρξης της νόσου το ποσοστό σημαντικής βελτίωσης των μυασθενικών συμπτωμάτων, εξαιρουμένης της πλήρους ύφεσης, ήταν 70%. Στους ασθενείς με μυασθένεια και θύμωμα η ιστολογική ταυτοποίηση των θυμωμάτων κατά την Παγκόσμια Οργάνωση Υγείας προέκυψε στατιστικά σημαντική τόσο στην μονοπαραγοντική όσο και στην πολυπαραγοντική ανάλυση με τα θυμώματα τύπου Β2, Α και Β3 να επιτυγχάνουν από πολύ καλή έως άριστη πιθανότητα πλήρους ύφεσης και τα θυμώματα τύπου ΑΒ, Β1 και C να έχουν απογοητευτική έκβαση όσον αφορά την ίαση. Συμπεράσματα: Η παρούσα μελέτη δείχνει ότι η τροποποιημένη μεγίστη θυμεκτομή είναι ασφαλής και σχετίζεται με υψηλή πιθανότητα για ίαση των μυασθενικών ασθενών με και χωρίς θύμωμα. Οι ασθενείς πρέπει να αντιμετωπίζονται χειρουργικά πρώιμα μετά τη διάγνωση με κυριότερο προγνωστικό παράγοντα για το απώτερο νευρολογικό αποτέλεσμα την προεγχειρητική βαρύτητα της νόσου. Η ασφαλής και πιο αξιόπιστη εκτίμηση της τελευταίας απαιτεί πιο αντικειμενικά κριτήρια όπως αυτά που θεσπίστηκαν από το Αμερικανικό Ίδρυμα για τη Βαρεία Μυασθένεια. Η ενσωμάτωση σε αυτά τα κριτήρια μοριακών παραμέτρων που φαίνεται να επηρεάζουν την πρόγνωση της νόσου, ενδεχόμενα να βελτιώσουν την αξιοπιστία της κλινικής σταδιοποίησης του MGFA και να αναδείξουν υποομάδες ασθενών με διαφορετική νευρολογική πρόγνωση μετά από θυμεκτομή. Επίσης η πρώιμη διάγνωση των θυμωμάτων εξαιτίας των συνυπαρχόντων μυασθενικών συμπτωμάτων μπορεί να οδηγήσει σε καλύτερη επιβίωση τους συγκεκριμένους ασθενείς. Τέλος η νευρολογική έκβαση των ασθενών με θυμωματώδη μυασθένεια σχετίζεται με τον ιστολογικό τύπο των θυμωμάτων, αλλά όχι αναγκαία και με την κακοήθη συμπεριφορά τους. / Objective: Thymectomy represents a widely accepted treatment for myasthenia gravis with different surgical approaches reported as comparably efficient in achieving disease’s remission. With the complete stable remission being currently accepted as a clear measurable outcome of patients with myasthenia undergoing surgical treatment and the knowledge that disease’s remission should be evaluated as a time dependent event we proceeded to a retrospective analysis of our experience on the surgical management of myasthenic patients. The objective was to access the effect of maximal resection on the neurological outcome and identify predictors of disease remission. Materials and methods: The study group consisted of 78 patients who underwent modified maximal thymectomy for myasthenia from 1990 to 2007. Indications for thymectomy included: ocular myasthenia refractory to medical treatment, generalized myasthenia and thymomatous myasthenia. The data collected included preoperative disease’s severity (modified Osserman classification), preoperative medical treatment, age at onset of the disease (≤ 40/ > 40 years), time elapsed between diagnosis and thymectomy (≤ 12/ > 12 months), gender, thymus gland histology, mortality and morbidity. In thymoma patients further analysis was carried out according the World Health Organization histological classification and the Masaoka stage of the tumors. The evaluation of the neurological outcome at the end of follow up was performed according the Myasthenia Gravis Foundation of America classification. Both the effectiveness of the resection performed and the comparison of our results with those of previous studies were done using the complete stable remission as the end point of the study. The statistical analysis of the results was carried out using the SPSS 17. Kaplan-Meier life table analysis was performed and the log rank test was used to evaluate the effect of the variables examined on the distribution of disease’s remission over time. The Cox proportional hazard model was also applied to verify the concurrent effect of the evaluated factors on the achievement of complete stable remission. P values < 0.05 were considered statistically significant. Results: 51 patients suffered of non thymomatous myasthenia while 27 patients had myasthenia with thymoma. The two groups were comparable in refer to the clinical features of the patients apart the more advanced age at the time of the diagnosis for thymoma patients. There was no perioperative mortality, while the surgical morbidity was comparable to the one reported in other series of patients with different surgical approaches and was 7.7%. The rate of postoperative myasthenic crisis was only 3.8%. Thymoma and non thymoma patients experienced comparable complete stable remission prediction (74.5% vs 85.7% at 15 years, p= 0.632). The absence of steroids in the preoperative medical regimen was statistically associated with the achievement of complete stable remission in both thymoma (95% CI 2.687-339.182, p= 0.006) and non thymoma patients (CI 95% 1.607-19.183, P= 0.007) in multivariate analysis. There was an important difference, although not statistically significant, for the neurological outcome between early and late surgical treatment. When the 27 patients with myasthenia and thymoma were compared with other 12 patients similarly operated for thymoma without symptoms and signs of muscular weakness we found that the presence of myasthenia was statistically associated with improved survival (100% vs 38.8% at 10 years, p< 0.001). Non thymoma patients presenting with late onset myasthenia, experienced high improvement (complete stable remission excluded) rate reaching up to 70% at the end of follow up. Among patients with thymomatous myasthenia gravis the World Health Organization histological classification was statistically associated with the late neurological outcome. Thymoma types A, B3 and B2 reached a high to excellent prediction of disease’s remission while types AB, B2 and C had a disappointing neurological outcome. Conclusons: The present study demonstrated that the modified maximal thymectomy is a safe procedure, associated with an excellent neurological outcome in both thymomatous and non thymomatous myasthenia. The patients should be operated early after the diagnosis is made with the disease’s severity being the prime determinant of the possibility to achieve complete remission of myasthenic symptoms. The evaluation of disease’s severity requires objective criteria like the ones proposed by the Myasthenia Gravis Foundation of America. The inclusion in these criteria of molecular markers related to myasthenia’s prognosis and its neurological outcome after thymectomy may further enhance its validity and may allow the identification of subgroups of patients with different disease prognosis after thymectomy. The presence of muscular weakness may lead to early diagnosis and surgical treatment of thymomas with improved survival. Finally the neurologic outcome in thymoma patients after thymectomy may be statistically associated with the World Health Organization classification subtypes but not necessarily with the aggressiveness of these tumors.

Τα πρωτότυπα αποτελέσματα της διατριβής περιέχονται στα κεφ. 2, 3 και 4. Στο κεφ. 2 μελετούμε με αριθμητικές μεθόδους ένα 3-διάστατο διακριτό μοντέλο μακροοικονομίας με σταθερές ισοτιμίες. Χρησιμοποιώντας μια μέθοδο πλέγματος, βρίσκουμε την περιοχή ευστάθειας στον παραμετρικό χώρο, προσδιορίζουμε την καμπύλη διακλαδώσεων Hopf-Neimark και θεωρούμε σύντομα την εμφάνιση “γλωσσών” Arnold. Υπολογίζονται διαγράμματα διακλαδώσεων και εκθέτη Lyapunov που δίνουν πληροφορίες για τους επιχειρηματικούς κύκλους και την πολύπλοκη δυναμική του μοντέλου και. παρουσιάζουμε παραδείγματα κυκλικών και χαοτικών ελκυστών. Στο κεφ. 3 μελετούμε με τις ίδιες μεθόδους ένα διακριτό μοντέλο αλληλεπίδρασης περιοχών με σταθερές ισοτιμίες, επέκταση του προηγούμενου μοντέλου σε 5 διαστάσεις. Στόχος ήταν να δείξουμε πόσο εφικτή και αποτελεσματική είναι μία αριθμητική μελέτη για ηπίως πολυδιάστατα διακριτά δυναμικά συστήματα με πολλές παραμέτρους. Βρήκαμε ότι η κίνηση κεφαλαίων δεν αρκεί για τη δημιουργία κύκλων όταν είναι χαμηλή η εμπορική αλληλεπίδραση. Το κατώφλι εμπορίου προβλέπεται περίπου στο 15% των εμπορικών συναλλαγών. Αντίθετα, το μοντέλο δεν προβλέπει αναγκαίο ελάχιστο επίπεδο κίνησης κεφαλαίων για την εμφάνιση των κύκλων. Δίνουμε παραδείγματα διαγραμμάτων διακλάδωσης και εκθέτη Lyapunov που δείχνουν την εμφάνιση κύκλων ή ακολουθίας διπλασιασμού περιόδου, και παραδείγματα της ανάπτυξής τους. Το κεφ. 4 περιέχει σύντομη περιγραφή συμπληρωματικών αποτελεσμάτων στα παραπάνω μοντέλα, και στα αντίστοιχα μοντέλα μεταβλητής ισοτιμίας συναλλάγματος, καθώς και κατευθύνσεις μελλοντικής έρευνας. Στο κεφ. 5 περιγράφονται σύντομα οι υπολογιστικές τεχνικές που χρησιμοποιήσαμε. Η διατριβή δείχνει την αποτελεσματικότητα της αριθμητικής προσέγγισης για πολυδιάστατα διακριτά μοντέλα. / The original results of the dissertation are contained in ch. 2, 3 and 4, and concern mainly the problem of business cycles. In ch. 2 we explore numerically a 3D discrete Kaldorian macrodynamic model of open economy with fixed exchange rates. Using a grid search method we determine the stability region in parameter space, and the Hopf-Neimark bifurcation curve, and discuss briefly the occurrence of Arnold tongues. Bifurcation and Lyapunov exponent diagrams are computed providing information on the business cycles and illustrating the complex dynamics involved. Examples of cycles and chaotic attractors are presented. In ch. 3 we explore a 5D extension of the previous model using the same methods. The aim was to demonstrate the feasibility and effectiveness of the numerical approach for discrete dynamical systems of moderately high dimensionality and several parameters. We found that capital movement is not sufficient to generate interregional business cycles when trade interaction is low. The trade threshold is predicted at about 15% of trade transactions. By contrast, no minimum level of capital mobility exists as a requirement for the emergence of business cycles. Examples of bifurcation and Lyapunov exponent diagrams illustrating the occurrence of cycles or period doubling, and examples of their development, are given. Ch. 4 contains a short description of complementary results on the above models, and on two other models which extend the previous models to the case of flexible exchange rates, as well as some lines of future research. In ch. 5, the computational techniques employed in the present study are briefly described. The dissertation indicates the effectiveness of the numerical approach for high dimensional discrete models.