Η εν λόγω διπλωματική εργασία αναφέρεται σε κάποια γενικά στοιχεία των μεθόδων ελέγχου του οριακού στρώματος και εστιάζεται στον έλεγχο του οριακού στρώματος με εφαρμογή της μεθόδου απορρόφησης – έγχυσης. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο, με γενικό τίτλο “Οριακό Στρώμα”, αναφέρονται κάποια σύντομα ιστορικά στοιχεία και εισάγεται η έννοια του οριακού στρώματος. Στη συνέχεια, και αφού αποσαφηνιστεί η έννοια του οριακού στρώματος με τη βοήθεια εικόνων και γραφικών, εισάγονται τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτού. Το κεφάλαιο κλείνει με μια περιγραφή του φαινομένου της αποκόλλησης του οριακού στρώματος και των συνεπειών που η αποκόλληση αυτή επιφέρει στη ροή. Στο δεύτερο κεφάλαιο, με γενικό τίτλο “Έλεγχος του Οριακού Στρώματος”, περιγράφονται συνοπτικά οι βασικές μέθοδοι ελέγχου του οριακού στρώματος καθώς και τα πιο διαδεδομένα πεδία εφαρμογής της κάθε μιας εξ’ αυτών. Συγκεκριμένα, αναφέρονται οι μέθοδοι Κίνησης του Στερεού Ορίου (Motion of the Solid Wall), Επιτάχυνσης του Οριακού Στρώματος (Acceleration of the Boundary Layer - Blowing), Ψύξης του Τοιχώματος (Cooling of the Wall), Έγχυσης Διαφορετικού Αερίου (Injection of a Different Gas), Πρόληψης της μετάπτωσης της ροής σε τυρβώδη με κατάλληλη διαμόρφωση της γεωμετρίας του στερεού (Laminar Aerofoils) και η παράγραφος κλείνει με μια πιο εκτενή περιγραφή της μεθόδου της Απορρόφησης (Suction). Στο τρίτο κεφάλαιο, που φέρει το γενικό τίτλο “Εξισώσεις Κίνησης και Εξισώσεις Οριακού Στρώματος για Ομογενή, Ασυμπίεστα, Πραγματικά Ρευστά”, παρατίθενται οι εν λόγω εξισώσεις, ώστε να χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια, και γίνεται μια σύντομη αναφορά στον τρόπο που, ιστορικά, αυτές παρήχθησαν. Το τέταρτο κεφάλαιο, με τίτλο “Θεωρητική Μελέτη της Μεθόδου της Απορρόφησης”, προχωράει τη μελέτη της μεθόδου απορρόφησης/έγχυσης σε επίπεδο μαθηματικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, εισάγονται τα βασικά στοιχεία της θεωρίας και στη συνέχεια, με ένα συνδυασμό αναλυτικών και αριθμητικών διαδικασιών, πραγματοποιείται η μελέτη της απορρόφησης σε δύο συγκεκριμένα παραδείγματα. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, με τίτλο “Εφαρμογή Απορρόφησης/Έγχυσης σε Μαγνητοϋδροδυναμική Συμπιεστή Ροή Στρωτού Οριακού Στρώματος”, μελετάται η μόνιμη, στρωτή, διδιάστατη, μαγνητοϋδροδυναμική ροή, συμπιεστού οριακού στρώματος που δημιουργείται πάνω από λεπτή, επίπεδη επιφάνεια (πλάκα), με αντίξοη βαθμίδα πίεσης και μεταφορά θερμότητας και μάζας, καθώς και τα αποτελέσματα της εφαρμογής απορρόφησης ή έγχυσης στο παραπάνω πρόβλημα. Πιο συγκεκριμένα, μετά από μια σύντομη ιστορική εισαγωγή επί του θέματος, ακολουθεί η περιγραφή του προβλήματος, καθώς και η αδιαστατοποίηση των εξισώσεων που το διέπουν. Στη συνέχεια, ακολουθεί η περιγραφή της αριθμητικής μεθόδου που χρησιμοποιείται για την επίλυση των αδιαστατοποιημένων εξισώσεων και παρατίθενται τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τη διαδικασία αυτή της αριθμητικής επίλυσης. Το κεφάλαιο κλείνει με μια συνοπτική παράθεση των συμπερασμάτων της μελέτης του κεντρικού προβλήματος του κεφαλαίου. / This master thesis refers to some general elements of boundary layer control methods and focuses on the method of suction-injection. In particular, in Chapter I, which is simply entitled “Boundary Layer”, a short reference to some historical facts associated with this subject is being made and the general idea of boundary layer is being introduced. Following, the idea of boundary layer is being clarified with the aid of some pictures and some graphics. The chapter ends with an introduction to the phenomenon of boundary layer separation. In Chapter II, carrying the general title “Boundary Layer Control”, a short description of some of the most basic methods of boundary layer control is given and the general conditions under which each method is more effective are being briefly stated. In particular, the methods which are brought up are Motion of the Solid Wall, Acceleration of the Boundary Layer – Blowing, Cooling of the Wall, Injection of a Different Gas, Laminar Aerofoils, and the chapter ends with a more extensive description of the method of Suction. In Chapter III, entitled “Equations of Motion and Boundary Layer Equations for Homogenous, Non-Compressible, Real Fluids”, the above equations are described, with the purpose of further use in the following chapters and a short reference to the way those equations were historically introduced is being made Chapter IV, with the general title “Theoretical Study of the Method of Suction”, carries the study of the method of suction-injection to the context of mathematical equations. More specifically, basic elements of the theory are being introduced and, after that, with a combination of analytical and arithmetical techniques, two simple examples are being studied. Finally, in Chapter V entitled “Application of Suction-Injection to Magnetohydrodynamic Compressible Flow of a Laminar Boundary Layer”, the steady, laminar, two dimensional, magnetohydrodynamic flow of the compressible boundary layer which is formed over a thin flat plate, with an adverse pressure gradient and mass and heat transfer is being studied along with the results of suction-injection in the above problem. In particular, after a short historical introduction follows the description of the problem and the normalization of the equations which describe it. Then follows the description of the arithmetical method and the program being used, and the results of this procedure are stated in the next paragraph. The chapter closes with a brief description of the facts which result from the general study of the main problem of this chapter.

Ο σκοπός της διατριβής αυτής είναι η γενίκευση και η μελέτη των προβλημάτων ελέγχου του δυαδικού οριακού στρώματος σε ένα γενικότερο πρόβλημα στο οποίο το μαγνητικό πεδίο και η έγχυση ξένου ρευστού συνυπάρχουν και αλληλεπιδρούν, ενώ ταυτόχρονα η ροή χαρακτηρίζεται ως ροή ολίσθησης, λόγω της αραίωσης του μέσου. / --

Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ), σε πολλές περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, δέχονται μια επίλυση μέσω της "μεθόδου ομοιότητας". Σε αντίθεση με τη γνωστή μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών, η μέθοδος ομοιότητας βασίζεται σε έναν εύστοχο συνδυασμό των μεταβλητών, μετατρέποντας την αρχική ΜΔΕ σε μια συνήθη διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) μιας και μοναδικής συνδυασμένης μεταβλητής. Η μετατροπή αυτή όχι μόνο αποτελεί το πλέον καθοριστικό βήμα προς τη ζητούμενη λύση αλλά ταυτόχρονα μας αποκαλύπτει και πολλά χαρακτηριστικά από την ουσιαστική φύση του ίδιου του προβλήματος. Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε μερικά αντιπροσωπευτικά παραδείγματα της μεθόδου από τη Μηχανική των Ρευστών, όπως το "πρώτο πρόβλημα του Stokes" (περί της ροής πάνω από μια οριζόντια πλάκα που μέσω μιας ξαφνικής ώθησης τίθεται σε μια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση) και το "πρόβλημα του Blasius" περί του συνοριακού στρώματος. Τέλος, στο πλαίσιο του βασικού ερωτήματος πότε ένα πρόβλημα ΜΔΕ δέχεται μια λύση ομοιότητας και πότε όχι, θα συζητήσουμε και το "δεύτερο πρόβλημα του Stokes", περί της ροής πάνω από μια οριζόντια πλάκα που ταλαντώνεται περιοδικά από τα αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα. Αυτό το πρόβλημα αποτελεί ένα αντιπαράδειγμα για την καθολικότητα της μεθόδου, δείχνοντας ότι αυτή δεν εφαρμόζεται όταν υπάρχουν προκαθορισμένες χωρικές ή χρονικές κλίμακες στο σύστημα. / --

Το αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η μαθηματική μοντελοποίηση της εφαπτομενικής ροής του ψυχρού αέρα, ο οποίος παρέχεται εξωτερικά της διεργασίας εκβολής πολυμερούς με εμφύσηση (film blowing) και η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων που προκύπτουν. Η διεργασία εκβολής πολυμερών με εμφύσηση είναι η βασική μέθοδος παραγωγής φύλλων πλαστικού μεγάλης επιφάνειας τα οποία χρησιμοποιούνται κυρίως ως υλικά συσκευασίας και σε θερμοκήπια. Στην παρούσα εργασία αναπτύχθηκε μεθοδολογία η οποία επιτρέπει την μοντελοποίηση της ροής και της μεταφοράς θερμότητας του αέρα καθώς και του πολυμερούς και μας δίνει τη δυνατότητα να μελετήσουμε την επίδραση που έχει τόσο η ροή όσο και η ψύξη που προκαλεί ο αέρας στο φιλμ που σχηματίζει το πολυμερές. Αρχικά οι διέπουσες εξισώσεις του αέρα και του πολυμερούς απλοποιήθηκαν με την βοήθεια της θεωρίας των διαταραχών. Η μαθηματική ανάλυση και οι παραδοχές που έγιναν είχαν ως αποτέλεσμα i) η ροή και η παραμόρφωση του πολυμερούς να περιγράφεται από τις εξισώσεις του “λεπτού φιλμ” και ii) η ροή του αέρα να προσομοιάζεται με συνοριακό στρώμα, του οποίου η λύση προκύπτει με την μέθοδο ομοιότητας. Η επίδραση της θερμοκρασίας του αέρα στο πολυμερές μελετήθηκε θεωρώντας την αρχικά σταθερή, ενώ στην περίπτωση που και ο αέρας θεωρείται ότι θερμαίνεται από το πολυμερές, η κατανομή της θερμοκρασίας του προσεγγίζεται με ένα πολυώνυμο 4ου βαθμού στην ακτινική διεύθυνση. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν εξαιτίας της ψύξης του φιλμ δείχνουν ότι οι παραμορφώσεις και οι μεταβολές του πάχους μειώνονται επιτρέποντας στο φιλμ που σχηματίζει το πολυμερές να αποκτά σωληνοειδή μορφή. Η λύση της εφαπτομενικής ροής του αέρα κατά μήκος του φιλμ έδειξε ότι στο φιλμ ασκούνται τάσεις οι οποίες μετατοπίζουν το φιλμ προς τον άξονα συμμετρίας και έτσι λαμβάνονται πιο ομοιόμορφα σχήματα σε σχέση με τα σχήματα που λαμβάνονται χωρίς την επίδραση του αέρα. Η επίδραση της ροής του αέρα φαίνεται να συμβαίνει στο χαμηλότερο τμήμα του φιλμ και κυρίως μέχρι ύψους . Τέλος, η σύγκριση μεταξύ του θεωρητικού μοντέλου που αναπτύχθηκε με πειραματικά αποτελέσματα δείχνει ότι υπάρχει, τουλάχιστον ποιοτικά, συμφωνία. / The object of present work is the mathematical modelling of tangential flow of cold air, which is provided externally to the polymer film produced in the well-known industrial process for manufacturing biaxial stretched films, Film Blowing Process, and the numerical solution of equations as well. In the present work was developed methodology which describes the flow and heat transfer of air as well as polymer. This analysis gives us the possibility of studying the effect of the flow as well as refrigeration that causes the air in the film of the polymer. Initially the governing equations of air and polymer were simplified with the help of theory of perturbations. The mathematic analysis and the assumptions that became had as result i) the flow and deformation of polymer described with the equations of "thin film" and ii) the flow of air simulated as a boundary layer, which its solution obtained by method of similarity. The effect of temperature of air in polymer was studied considering initially constant, while in the case where also the air is considered that is heated from polymer, the temperature distribution is approached with a polynomial of 4th degree in the radial direction. The results that arise because of refrigeration of film show that the deformations and the changes of thickness are decreased allowing in the film makes solenoids shape. The solution of tangential flow of air along the film showed that stresses in the film shift the film to the axis of symmetry and thus are received more uniform shapes in regard the shapes which are received without the air effect. The air flow effect appears to happen in the lower part of film and mainly until height . Finally, the comparison between the theoretical model that was developed with experimental results shows that exists qualitatively agreement.

Ένα από τα σπουδαιότερα προβλήµατα της σύγχρονης αεροδυναµικής και διαστηµικής τεχνολογίας, αν όχι το σπουδαιότερο, είναι αυτό του ελέγχου (control) του οριακού στρώµατος (boundary layer) που αναπτύσσεται (περιβάλλει) ένα στερεό σώµα που κινείται µέσα σ’ ένα ρευστό. Παρ’ όλο που στην αρχή του αιώνα που διανύουµε συµπληρώνονται εκατό περίπου χρόνια από την διατύπωση της έννοιας του οριακού στρώµατος από τον L. Prandtl (1904), η έρευνα στο πρόβληµα αυτό εξακολουθεί να παραµένει επιτακτική και αναγκαία όσο και κατά τα πρώτα χρόνια της ανάπτυξης της αεροπορικής και διαστηµικής τεχνολογίας. Με τον όρο έλεγχο του οριακού στρώµατος εννοούµε την ανάπτυξη µεθόδων - τεχνικών η εφαρµογή των οποίων πάνω στην ροή θα της µεταβάλλει την δοµή και θα της προσδώσει επιθυµητά χαρακτηριστικά. Από τις αρχές του εικοστού αιώνα (1904) ο Prandtl περιέγραψε αρκετές πειραµατικές διατάξεις µέσω των οποίων πραγµατοποιούσε έλεγχο του οριακού στρώµατος. Με την ανάπτυξη της αεροπορικής τεχνολογίας κατά και µετά τον ∆εύτερο Παγκόσµιο Πόλεµο, και αργότερα της διαστηµικής, το πρόβληµα του ελέγχου του οριακού στρώµατος απέκτησε τεράστια σηµασία, ειδικά για την αποφυγή του διαχωρισµού ή της αποκόλλησης (separation) αυτού, της ελάττωσης της αντίστασης (drag) και την αύξηση της άντωσης (lift). Μεταξύ των σπουδαιότερων και πιο αποτελεσµατικών µεθόδων – τεχνικών που αναπτύχθηκαν για τον σκοπό αυτό µπορεί να αναφερθούν: 1. Η κίνηση του στερεού τοιχώµατος (motion of the solid wall) 2. Η επιτάχυνση του οριακού στρώµατος (blowing) 3. Η απορρόφηση (suction) 4. Η έγχυση ίδιου ή διαφορετικού ρευστού (injection, binary boundary layers) 5. Πρόληψη της µετάπτωσης της ροής από στρωτή σε τυρβώδη µε διαµόρφωση κατάλληλων σχηµάτων των στερεών τοιχωµάτων (laminar airfoils) 6. Ψύξη των τοιχωµάτων (cooling) Η προσπάθεια υπολογισµού του σηµείου αποκόλλησης και των συνθηκών που οδηγούν σ’ αυτήν οδήγησε στην επινόηση διαφόρων µεθόδων για την τεχνική της παρεµπόδιση. Σε µια ροή η αποκόλληση µπορεί να εµποδιστεί ή να καθυστερήσει, όπως αναφέρθηκε, µε την εφαρµογή ενεργητικών ή παθητικών µεθόδων ελέγχου, όπως απορρόφηση, έγχυση, παθητικές διατάξεις, ψύξη ή θέρµανση, κλπ. Τέτοιες τεχνικές ελέγχου χρησιµοποιούνται στις άκρες των πτερύγων των αεροσκαφών της Boeing (γεννήτριες στροβίλων), στα αεροσκάφη παλαιότερης γενιάς στις πίσω επιφάνειες καµπυλότητας (flaps) ή στην οδηγούσα ακµή της πτέρυγας στις νεώτερες γενιές, µε τις εµπρόσθιες επιφάνειες καµπυλότητας (slats). Η πιο αποδεκτή τεχνική ελέγχου του οριακού στρώµατος είναι η τεχνική της έγχυσης/απορρόφησης. Σαν τεχνική ελέγχου χρησιµοποιείται από παλιά. Κατά την δεκαετία του ’60 δοκιµαστικές πτήσεις του πειραµατικού αεροσκάφους X-21 έδειξαν ότι η στρωτή ροή διατηρείται πάνω από την πτέρυγα µε την χρήση απορρόφησης µέσα από πολλές σχισµές πάνω σ’ αυτήν. Πρόσφατες δοκιµαστικές πτήσεις ενός µετασκευασµένου αεροσκάφους F-16XL, που χρησιµοποιεί την τεχνική της απορρόφησης πάνω σε ειδικές διατάξεις LERX (LEading Root eXtensions), έδειξαν διατήρηση της στρωτής ροής και µείωση της αντίστασης. Πρόσφατα πειράµατα εφαρµογής απορρόφησης κατά µήκος της οδηγούσας ακµής πτέρυγας έδειξαν ότι, κάτω από κατάλληλες συνθήκες, καθυστερεί η “µόλυνση” (contamination) της ακµής που οφείλεται στις γειτονικές µ’ αυτήν δοµές (κινητήρας, άτρακτος, λοιπές αεροδυναµικές διατάξεις) που συµµετέχουν στην ροή. Πολλοί είναι αυτοί που έχουν προτείνει διάφορες διατάξεις έγχυσης/απορρόφησης. Μεταξύ αυτών συγκαταλέγεται η υβριδική επιφάνεια απορρόφησης (hybrid suction surface) που αποτελείται από µια συστοιχία σχισµών κοντά η µια στην άλλη προς την διεύθυνση της µέσης ροής και η επιλεκτική απορρόφηση (selective suction), στην οποία µικρής έντασης απορρόφηση εφαρµόζεται σε σχισµές τοποθετηµένες σε κατάλληλες θέσεις. Τέλος, και η τοπική απορρόφηση (localized suction) που εφαρµόζεται σ’ ένα µικρό τµήµα της επιφάνειας. Επίσης, µε την ανάπτυξη της µαγνητοϋδροδυναµικής (MHD), της επιστήµης δηλαδή που µελετά τα ροϊκά φαινόµενα όταν το ηλεκτρικά αγώγιµο ρευστό υπόκειται στην επίδραση ενός ηλεκτρικού ή και µαγνητικού πεδίου, προστέθηκε στα µέσα ελέγχου του οριακού στρώµατος ένα επιπλέον. Από την δεκαετία του ’60 το µαγνητικό πεδίο χρησιµοποιείται επίσης σαν τεχνική ελέγχου στην σύγχρονη αεροδυναµική, λόγω της ικανότητας του να σταθεροποιεί την ροή και να εµποδίζει την µετάπτωση της. Χρησιµοποιήθηκε σαν τεχνική ελέγχου στα διαστηµικά οχήµατα που επανέρχονται στην ατµόσφαιρα από το διάστηµα και σε αεροσκάφη που πετούν σε µεγάλα ύψη µε µεγάλες ταχύτητες. Βρίσκει όµως εφαρµογές και στις MHD ροές µέσα σε σήραγγες όπου κι εκεί οι ροές είναι συµπιεστές (γεννήτριες πλάσµατος, MHD επιταχυντές, συσκευές πυρηνικής σύντηξης). Εφαρµογές της MHD υπάρχουν επίσης στα αέρια των νεφελωµάτων που συνθέτουν τα άστρα, στην κίνηση του υδρογόνου του Ήλιου ή ακόµα και στον ηλιακό άνεµο που µεταφέρει τα ιονισµένα σωµατίδια στην επιφάνεια της Γης. Η παρούσα διατριβή αναφέρεται στην µελέτη της χρονοανεξάρτητης διδιάστατης µαγνητοϋδροδυναµικής (MHD) συµπιεστής ροής οριακού στρώµατος πάνω από επίπεδη επιφάνεια µε αντίξοη βαθµίδα πίεσης και µεταφορά θερµότητας και µάζας. Το ερευνητικό µέρος της εργασίας αυτής µπορεί να χωριστεί σε δύο κύρια µέρη (Κεφάλαια ΙΙ και ΙΙΙ). Στο πρώτο µέρος (Κεφάλαιο ΙΙ) γίνεται µελέτη της MHD συµπιεστής ροής στρωτού οριακού στρώµατος µε αντίξοη βαθµίδα πίεσης και µεταφορά θερµότητας και µάζας πάνω από επίπεδη πλάκα. Στο δεύτερο µέρος (Κεφάλαιο ΙΙΙ) µελετάται η MHD συµπιεστή ροή τυρβώδους οριακού στρώµατος µε αντίξοη βαθµίδα πίεσης και µεταφορά θερµότητας και µάζας πάνω από επίπεδη πλάκα. Αρχικά, σε ένα εισαγωγικό Κεφάλαιο (Κεφάλαιο Ι), παρουσιάζονται, πολύ περιληπτικά, οι βασικές έννοιες που είναι απαραίτητες για την κατανόηση της διατριβής καθώς και οι θεµελιώδεις εξισώσεις της µαγνητοϋδροδυναµικής που διέπουν την κίνηση ηλεκτρικά αγώγιµου ρευστού που κινείται υπό την επίδραση µαγνητικού πεδίου. Στο πρώτο µέρος της διατριβής (Κεφάλαιο ΙΙ), όπως αναφέρθηκε, µελετάται αριθµητικά η MHD συµπιεστή ροή στρωτού οριακού στρώµατος µε αντίξοη βαθµίδα πίεσης και µεταφορά θερµότητας και µάζας. Το ρευστό (αέρας) θεωρείται ιδανικό, νευτώνειο, ηλεκτρικά αγώγιµο και το µαγνητικό πεδίο είναι σταθερό και κάθετα εφαρµοζόµενο ως προς την πλάκα και συνεπώς ως προς την κατεύθυνση της ροής. Η αντίξοη βαθµίδα πίεσης, που επιβάλλεται στην ροή, γνωστή ως ροή τύπου Howarth, προκύπτει από µια γραµµικά ελαττούµενη ταχύτητα. Το σύστηµα των µερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν το πρόβληµα έχει αδιαστατοποιηθεί µε τον µετασχηµατισµό των Falkner-Skan, για συµπιεστή ροή, και επιλύεται αριθµητικά χρησιµοποιώντας την µέθοδο του Keller. ix Τα αποτελέσµατα του Κεφαλαίου αυτού αναφέρονται σε τρία είδη ροής: (i) αδιαβατική ροή ρευστού πάνω από την πλάκα, (ii) σε ροή πάνω από θερµαινόµενη πλάκα και (iii) σε ροή πάνω από ψυχόµενη πλάκα. Γίνονται αριθµητικοί υπολογισµοί για κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις εφαρµόζοντας συνεχή ή τοπική έγχυση/απορρόφηση, για διάφορες τιµές της έντασης του µαγνητικού πεδίου και για διάφορες τιµές αριθµού Mach του ελεύθερου ρεύµατος πάνω από την επίπεδη επιφάνεια. Εξετάζεται η επίδραση των ανωτέρω µεγεθών σε αυτόν τον τύπο της ροής. Αναλυτικότερα, δείχθηκε µετά τους αριθµητικούς υπολογισµούς, ότι η τεχνική της απορρόφησης διατηρεί την ροή για περισσότερο διάστηµα πάνω από την πλάκα µετατοπίζοντας το σηµείο αποκόλλησης προς το χείλος εκφυγής. Τα αντίθετα αποτελέσµατα δίνει η εφαρµογή έγχυσης. Το µαγνητικό πεδίο που εφαρµόζεται στην πλάκα βοηθά την ροή και την διατηρεί στρωτή πάνω από αυτήν για µεγαλύτερο διάστηµα κατά µήκος της πλάκας. Τα αποτελέσµατα αυτά επιβεβαιώθηκαν για τις τρεις περιπτώσεις της στρωτής ροής (αδιαβατική ροή, θερµαινόµενη και ψυχόµενη πλάκα) και για διάφορους αριθµούς Mach. Στο δεύτερο µέρος (Κεφάλαιο ΙΙΙ) µελετάται αριθµητικά η MHD συµπιεστή ροή τυρβώδους οριακού στρώµατος µε αντίξοη βαθµίδα πίεσης και µεταφορά θερµότητας και µάζας. Για το ρευστό (αέρας) και το µαγνητικό πεδίο ακολουθούνται οι ίδιες παραδοχές µε την περίπτωση της στρωτής ροής. Οι εξισώσεις που περιγράφουν το πρόβληµα προκύπτουν από τις εξισώσεις που έχει προτείνει ο Reynolds για την τυρβώδη ροή οριακού στρώµατος, κατάλληλα τροποποιηµένες για την περίπτωση MHD ροής. Οι εξισώσεις αυτές αδιαστατοποιούνται µε τον µετασχηµατισµό των Falkner-Skan για συµπιεστή ροή και επιλύονται µε την ίδια µέθοδο µε την στρωτή MHD ροή (µέθοδος Keller). Για το τυρβώδες κινηµατικό ιξώδες χρησιµοποιούνται δύο διαφορετικά αλγεβρικά µοντέλα τύρβης, αυτά των Cebeci-Smith και Baldwin-Lomax. Τα µοντέλα αυτά τροποποιήθηκαν ώστε να περιγράφουν το τυρβώδες κινηµατικό ιξώδες και στην περίπτωση της έγχυσης/απορρόφησης. Για τον τυρβώδη αριθµό Prandtl χρησιµοποιήθηκε µια τροποποίηση του µοντέλου των Kays και Crawford. Αριθµητικοί υπολογισµοί έγιναν για τον αέρα, για την περίπτωση που η ροή πάνω από την οριακή επιφάνεια ήταν αδιαβατική ή η επιφάνεια θερµαινόταν ή ψυχόταν. Για κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις εξετάζεται η επίδραση του µαγνητικού πεδίου, της τοπικής ή συνεχούς έγχυσης/απορρόφησης και του αριθµού Mach του ελευθέρου ρεύµατος πάνω στο τυρβώδες οριακό στρώµα. Μετά τους αριθµητικούς υπολογισµούς, τα συµπεράσµατα που προκύπτουν για την τυρβώδη ροή είναι παρόµοια µε την στρωτή. Η τεχνική της απορρόφησης βοηθάει στην διατήρηση του τυρβώδους οριακού στρώµατος πάνω από την πλάκα σε αντίθεση µε την έγχυση. Ο συνδυασµός αρχικά έγχυσης και έπειτα απορρόφησης βοηθά στην διατήρηση της ροής για µεγαλύτερο διάστηµα πάνω από την πλάκα, δηλαδή στην µετατόπιση του σηµείου αποκόλλησης προς το χείλος εκφυγής ελαττώνοντας ταυτόχρονα την συνολική αντίσταση σε αυτήν. Αυτό το αποτέλεσµα ισχύει και στην στρωτή ροή. Το µαγνητικό πεδίο βοηθάει την τυρβώδη ροή µετατοπίζοντας το σηµείο αποκόλλησης προς το χείλος εκφυγής. Το αποτέλεσµα αυτό είναι λιγότερο έντονο στην τυρβώδη ροή από ότι στην στρωτή. Τα παραπάνω αποτελέσµατα παρουσιάζονται για τις τρεις περιπτώσεις της τυρβώδης ροής (αδιαβατική ροή, θερµαινόµενη και ψυχόµενη πλάκα), για διάφορους αριθµούς Mach () και για τα δύο µοντέλα τύρβης (C-S και B-L). Στο τέλος του Κεφαλαίου γίνεται σύγκριση των δύο τύπων ροών, στρωτής και τυρβώδους. Λόγω της απουσίας ερευνητικών αποτελεσµάτων πάνω στο συγκεκριµένο αυτό πρόβληµα, τα παραπάνω αποτελέσµατα εκτιµάται ότι είναι πολύ ενδιαφέροντα για την περιγραφή του µηχανισµού ελέγχου του στρωτού και τυρβώδους οριακού στρώµατος για συµπιεστές ροές. / In this thesis the steady two-dimensional magnetohydrodynamic (MHD), compressible boundary layer flow, over a flat plate is numerically studied. The flow is subjected to an adverse pressure gradient, due to a linearly retarded velocity, that is known as Howarth’s flow. The plate is electrically non-conducting and it is subjected to a suction/injection velocity, continuous or localized, normal to it. The case of an impermeable plate is also studied. The plate is parallel to the free stream of a heat-conducting perfect gas (air) flowing with velocity u∞ along the plate. The flow field is subjected to the action of a constant magnetic field which acts normal to the plate. The fluid (air) is considered Newtonian, compressible and electrically conducting. The fundamental equations of MHD flow are presented in Chapter I as well as the characteristic quantities of the boundary layer which are used in this study. The laminar flow is studied in Chapter II where as the turbulent flow is studied in Chapter III. For both cases (laminar and turbulent) the partial differential equations and their boundary conditions, describing the problem under consideration, are transformed using the compressible Falkner-Skan transformation and the numerical solution of the problem is obtained by using a modification of the well known Keller’s box method. The obtained numerical results for the velocity and temperature field, as well as for the associated boundary layer parameters, are shown in figures for different free-stream Mach numbers M∞ and for the case (i) of an adiabatic flow (0wS′=), (ii) heating of the wall () and (iii) cooling of the wall (1wS>1wS<), followed by an extensive discussion. For turbulent flow, in Chapter III, the Reynolds-averaged boundary layer equations are used. Two different turbulent models, namely the model of Cebeci-Smith and Baldwin-Lomax, are used to represent eddy kinematic viscosity and eddy diffusivity of heat. These models are the most simple with acceptable generality and their accuracy has been explored for a wide range of flows for which there are experimental data. It has also been found that they give results sufficiently accurate for most engineering problems. For the turbulent Prandtl number model a modification of the extended Kays and Crawford’s model is also used. In the case of laminar flow (Chapter II) the numerical calculations showed that the application of suction moves separation point downstream, whereas injection moves the separation point towards the leading edge of the plate. The presence of the magnetic field always increases frictional drag on the wall but moves the separation point downstream for every value of free-stream Mach number. Τhis displacement is greater for small values of M∞. The combined influence of the magnetic field, localized injection and localized suction moves separation point downstream reducing frictional drag. These results confirmed for the three cases (adiabatic flow, heating of the wall, cooling of the wall) of the laminar flow and for various free-stream Mach numbers. Since most flows, which occur in practical applications, are turbulent the results in this case (Chapter III) are more important and are similar with those in laminar flow. 162 Precisely, application of suction moves separation point downstream but injection moves separation point towards the leading edge of the plate reducing drag. Application of localized injection and localized suction moves the separation point downstream reducing total drag. The presence of the magnetic field moves separation point downstream increasing frictional drag. The combined influence of magnetic field, localized injection and localized suction moves separation point further downstream as regards the other cases. These results confirmed for the three cases (adiabatic flow, heating of the wall, cooling of the wall) of turbulent flow, for various free-stream numbers and for two turbulent models (C-S and B-L). It is hoped that, in the absence of detailed investigations of this problem, the obtained results, are very interesting and give a clearer insight into the mechanism of controlling a laminar or turbulent boundary layer compressible flow.

The problem of pile - soil interaction is examined in the Thesis at hand by means of both theoretical analyses and experimental investigations. Pile foundations in seismically prone areas are subjected to both direct loading, such as axial and lateral forces imposed at their heads, resulting from a phenomenon known as inertial interaction, and indirect loading along their body, such as imposed displacements due to the passage of various types of seismic waves, resulting from a phenomenon known as kinematic interaction. Along this vein, a family of analytical models of the Tajimi type are presented in the framework of linear elastodynamic theory to explore the effects of axial and lateral pile - soil interaction in homogeneous and inhomogeneous soil under static and dynamic (kinematic and inertial) loading. Apart from simplified two-dimensional models of the Baranov - Novak type, few analytical solutions are available to tackle these problems in three dimensions, the majority of which are restricted to the analysis of an elastic half space under static conditions. The proposed models are based on a continuum solution pioneered by Japanese investigators (notably Matuso & Ohara and Tajimi) in the 1960’s. In the realm of this approach the soil is modelled as a continuum, while the pile is conveniently modelled as a rod or a beam by strength-of-materials theory. Displacements and stresses are expressed through Fourier series in terms of the natural modes of the soil medium. Fundamental to the analysis presented in this study is that the influence of horizontal soil displacement on axial pile response and vertical displacement on lateral response, respectively, are negligible. However, their effect on stresses is not negligible which differentiates the proposed models from the classical Tajimi solutions in which the aforementioned displacements are set equal to zero. The above approximations are attractive, as they lead to a straightforward uncoupling of the equations of motions, even in inhomogeneous media, unlike the classical elastodynamic theory where the uncoupling is generally impossible in presence of inhomogeneity. Although approximate, the proposed models are advantageous over available analytical models and rigorous numerical schemes, as they require relative simple computations and provide excellent predictions of pile response at the frequency ranges of interest in earthquake engineering and geotechnics. In addition, they are advantageous over existing simplified analytical approaches of the Winkler type, as they are more accurate, self - standing, free of empirical constants and provide more realistic simulation of the problem. The main advantage over numerical methods (finite and boundary elements) lies in the derivation of the solution in closed form and the elucidation of complex mechanisms related to the dynamic interaction phenomenon, such as radiation damping and wave propagation in in homogeneous media. The main goal of the theoretical effort lies in the derivation of solutions in closed - form for: (i) the static stiffness and the dynamic impedances (dynamic stiffness and damping coefficients) at the pile head, (ii) translational and rotational kinematic response factors (pile head displacement or rotation over free-field response), (iii) actual, depth- dependent, Winkler moduli (spring and damping coefficients), (iv) corresponding average, depth- independent, Winkler moduli to match the pile head stiffness. In addition, simple approximate formulae for Winkler moduli to be used in engineering practice are proposed, to improve the predictions of Winkler models. Pile-to-pile interaction is investigated on the basis of the superposition method for axially loaded piles. Closed-form expressions for attenuation functions are derived to be used individually or in conjunction with more elaborate methods providing more accurate predictions for static and dynamic interaction factors to assess the vertical stiffness of pile groups. New dimensionless frequency ratios controlling pile response are introduced. Finally, new solutions are added in the context of analytical Winkler models for investigating the behaviour of piles under kinematic loading due to vertically-propagating S waves. Emphasis is given on the influence of boundary conditions of the pile. With reference to kinematic pile bending, insight into the physics of the problem is gained through a rigorous superposition scheme involving an infinitely-long pile excited kinematically, and a pile of finite length excited by a concentrated force and a moment at the tip. Contrary to the classical elastodynamic theory where pile response is governed by six dimensionless ratios, in the realm of Winkler theory three only ratios suffice to fully describe the interaction problem, from which the mechanical slenderness and the effective dimensionless frequency are introduced for the first time. The selection of an appropriate value for the Winkler modulus in the accuracy of the kinematic Winkler model is demonstrated. The theoretical results are compared to new experimental data obtained from a series of tests on piles carried out on scaled models performed on the shaking table at University of Bristol Laboratory (BLADE) within the framework of the Seismic Engineering Research Infrastructures (SERIES) program, sponsored by FP7, and contribute in the investigation of pile - soil interaction. / Στην παρούσα διατριβή εξετάζεται το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης πασσάλου - εδάφους μέσω συνδυασμένης θεωρητικής ανάλυσης και πειραματικής διερεύνησης. Οι πάσσαλοι, ως μέσο θεμελίωσης σε σεισμογόνες περιοχές, υπόκεινται σε άμεση φόρτιση στην κεφαλή, μέσω δυνάμεων και ροπών, ως αποτέλεσμα του φαινομένου της αδρανειακής αλληλεπίδρασης, αλλά και σε έμμεση φόρτιση σε όλο τους το μήκος, μέσω επιβαλλόμενων εδαφικών μετακινήσεων, ως αποτέλεσμα του φαινομένου της κινηματικής αλληλεπίδρασης. Στην κατεύθυνση αυτή παρουσιάζεται η ανάπτυξη οικογένειας αναλυτικών προσομοιωμάτων τύπου Tajimi, στο πλαίσιο της γραμμικής ελαστοδυναμικής θεωρίας, για τη διερεύνηση της αξονικής και πλευρικής αλληλεπίδρασης πασσάλου - εδάφους σε ομοιογενείς και ανομοιογενείς εδαφικούς σχηματισμούς, υπό στατική και δυναμική φόρτιση κινηματικής και αδρανειακής μορφής. Εκτός από απλοποιημένα διδιάστατα προσομοιώματα τύπου Baranov - Novak, ελάχιστες αναλυτικές λύσεις είναι διαθέσιμες σε τρεις διαστάσεις, οι περισσότερες των οποίων περιορίζονται στην ανάλυση ελαστικού ημίχωρου υπό στατικές συνθήκες. Τα προτεινόμενα προσομοιώματα βασίζονται σε μια πρωτοποριακή λύση συνεχούς μέσου (κατά Matsuo & Ohara και Tajimi) η οποία αναπτύχθηκε στη δεκαετία του 1960, αλλά δεν επεκτάθηκε ουσιαστικά μέχρι την παρούσα εργασία. Στο πλαίσιο αυτής της προσέγγισης το έδαφος προσομοιώνεται ως συνεχές μέσο και ο πάσσαλος ως ράβδος ή δοκός σύμφωνα με τη τεχνική θεωρία της κάμψης (παραδοχή επιπεδότητας των διατομών), ενώ οι μετακινήσεις και οι τάσεις εκφράζονται μέσω αναπτυγμάτων Fourier σε όρους των φυσικών ιδιομορφών του εδαφικού μέσου. Θεμελιώδης παραδοχή της προτεινόμενης ανάλυσης είναι ότι η επιρροή της οριζόντιας εδαφικής μετακίνησης στην αξονική απόκριση του πασσάλου, αλλά και η επιρροή της κατακόρυφης μετακίνησης στην πλευρική απόκριση θεωρούνται αμελητέες, ωστόσο η επίδρασή τους στις τάσεις είναι μη μηδενική, πράγμα που τις διαφοροποιεί από τις κλασσικές λύσεις τύπου Tajimi στις οποίες οι ανωτέρω μετακινήσεις μηδενίζονται. Οι ανωτέρω προσεγγίσεις κρίνονται ως ιδιαίτερα ελκυστικές καθώς οδηγούν στην άμεση απόζευξη των εξισώσεων της κίνησης, ακόμη και σε ανομοιογενή μέσα, αντίθετα με την κλασσική ελαστοδυναμική θεωρία, η απόζευξη είναι γενικώς αδύνατη παρουσία εδαφικής ανομοιογένειας. Παρά τον προσεγγιστικό τους χαρακτήρα, τα προτεινόμενα αναλυτικά προσομοιώματα πλεονεκτούν ως προς διαθέσιμα αναλυτικά προσομοιώματα και αυστηρά αριθμητικά σχήματα, καθώς απαιτούν σχετικά απλούς υπολογισμούς και παρέχουν εξαιρετικές προβλέψεις της απόκρισης του πασσάλου για το εύρος συχνοτήτων που παρουσιάζει ενδιαφέρον στη σεισμική μηχανική και τα γεωτεχνικά. Επιπρόσθετα, υπερτερούν ως προς υφιστάμενες αναλυτικές προσεγγίσεις τύπου Winkler, καθώς είναι ακριβέστερα, αυτόνομα, απαλλαγμένα από εμπειρικές σταθερές και προσφέρουν ρεαλιστικότερη προσομοίωση του προβλήματος. Το κύριο πλεονέκτημα έναντι των αριθμητικών μεθόδων (πεπερασμένα και συνοριακά στοιχεία) έγκειται στην εξαγωγή της λύσης σε κλειστή μορφή και στη διερεύνηση πολύπλοκων φαινομένων που σχετίζονται με την αλληλεπίδραση πασσάλου - εδάφους, όπως αυτό της απόσβεσης ακτινοβολίας και της διάδοσης κυμάτων στο έδαφος - ειδικά παρουσία ανομοιογένειας. Ο κύριος στόχος της θεωρητικής διερεύνησης υλοποιείται με την εξαγωγή λύσεων σε κλειστή μορφή για: (i) τη στατική και δυναμική στιφρότητα και απόσβεση στην κεφαλή του πασσάλου, (ii) τους συντελεστές κινηματικής απόκρισης σε μετάθεση και στροφή, (iii) τους πραγματικούς, συναρτήσει του βάθους, συντελεστές Winkler (συντελεστής στιφρότητας ελατηρίων και συντελεστής απόσβεσης), (iv) τους αντίστοιχους μέσους, ανεξάρτητους από το βάθος, συντελεστές Winkler. Επιπρόσθετα, παρουσιάζονται ακριβέστερες των διαθέσιμων στη βιβλιογραφία απλές προσεγγιστικές σχέσεις για τον υπολογισμό του συντελεστή Winkler με σκοπό τη βελτίωση της ακρίβειας των προσομοιωμάτων Winkler. Διερευνάται η αλληλεπίδραση πασσάλου προς πάσσαλο στην περίπτωση αξονικά φορτισμένων πασσάλων με βάση την αρχή της επαλληλίας. Εξάγονται λύσεις σε κλειστή μορφή για τις συναρτήσεις εξασθένισης ώστε να χρησιμοποιηθούν αυτόνομα ή σε συνδυασμό με πιο εκλεπτυσμένες λύσεις δίνοντας με στόχο ακριβέστερες προβλέψεις για τους συντελεστές αλληλεπίδρασης, οδηγώντας έτσι σε πιο ρεαλιστικές εκτιμήσεις της κατακόρυφης στιφρότητας ομάδας πασσάλων. Εισάγονται νέοι αδιάστατοι λόγοι συχνοτήτων που καθορίζουν την απόκριση του πασσάλου. Τέλος, παρουσιάζονται νέες λύσεις σε αναλυτικά προσομοιώματα Winkler για τη διερεύνηση της συμπεριφοράς πασσάλων υποκείμενων σε φόρτιση λόγω της κατακόρυφης διάδοσης διατμητικών κυμάτων στο έδαφος, με έμφαση στην επίδραση των οριακών συνθηκών του προβλήματος. Σε αντίθεση με την κλασσική ελαστοδυναμική θεωρία που η απόκριση του πασσάλου καθορίζεται από έξι αδιάστατους λόγους, στο πλαίσιο της θεωρίας Winkler επαρκούν μόνο τρεις για την πλήρη περιγραφή της αλληλεπίδρασης πασσάλου - εδάφους, εκ των οποίων η μηχανική λυγηρότητα και η ενεργός αδιάστατη συχνότητα παρουσιάζονται για πρώτη φορά. Καταδεικνύεται η σημασία επιλογής της κατάλληλης τιμής του συντελεστή Winkler στην ακρίβεια των εν λόγω προσομοιωμάτων. Προτείνεται σύστημα υπέρθεσης που αποτελείται από ένα απειρομήκη πάσσαλο που διεγείρεται κινηματικά και έναν πάσσαλο πεπερασμένου μήκους που υπόκειται σε αδρανειακή φόρτιση για τη διαλεύκανση της λειτουργίας του θεμελιώδους μηχανισμού που καθορίζει την κινηματική κάμψη του πασσάλου. Τα θεωρητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με νέα πειραματικά δεδομένα από σειρά δοκιμών σε διάταξη πασσάλων υπό κλίμακα που εκτελέστηκαν στο σεισμικό προσομοιωτή του Πανεπιστήμιου του Bristol στο πλαίσιο του Ευρωπαϊκού Προγράμματος SERIES, το οποίο χρηματοδοτήθηκε από το κοινοτικό πλαίσιο FP7 που συμβάλλουν στην περαιτέρω διερεύνηση του φαινομένου της κινηματικής αλληλεπίδρασης εδάφους - πασσάλου.