Η παρούσα εργασία μελετά τη διδασκαλία της Γεωμετρίας στα σχολεία και τον τρόπο που παρουσιάζεται στα σχολικά εγχειρίδια του Δημοτικού και του Γυμνασίου σε σχέση με το πρόσφατο παρελθόν. Πιο συγκεκριμένα, αντικείμενο της εργασίας είναι ο τρόπος διδασκαλίας των πολυγώνων και πολυέδρων στις παραπάνω βαθμίδες και η ανάδειξη της σημασίας της συμμετρίας στα σχολικά εγχειρίδια. Μάλιστα, μέσα από την παρουσίαση ενός πειράματος με δύο μαθήτριες του Δημοτικού, σχετικά με τα κανονικά πολύγωνα, προτείνεται η μαιευτική μέθοδος ως κατάλληλος τρόπος διδασκαλίας, ιδιαίτερα μεταξύ λίγων συμμετεχόντων. Η εργασία αυτή χωρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο αναφέρεται στη Γεωμετρία των αρχαίων χρόνων και τον τρόπο που αναδύθηκε, ιδιαίτερα κατά τη γεωμετρική εποχή. Συμπεριλαμβάνεται μία σύντομη αναφορά στα πολύγωνα και στα πολύεδρα με ορισμούς και σχετικά θεωρήματα από την εποχή πριν τον Ευκλείδη έως και σήμερα. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνεται η ιστορία της διδασκαλίας της Γεωμετρίας. Αναφέρονται τα αναλυτικά προγράμματα στην Ελλάδα τα οποία αφορούν στη διδασκαλία της Γεωμετρίας στο Δημοτικό και στο Γυμνάσιο, ιδιαίτερα όσο αφορά τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς και τα πολύγωνα, και τα πολύγωνα, και συγκρίνονται με τα αντίστοιχα προγράμματα της Αγγλίας και της Γαλλίας. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η έννοια της συμμετρίας και η ύπαρξή της στη φύση. Στη συνέχεια, περιγράφονται τα θέματα της συμμετρίας που διδάσκονται στις σχολικές τάξεις του Δημοτικού και του Γυμνασίου και τονίζεται η σημασία της εισαγωγής των γεωμετρικών μετασχηματισμών στις μικρές τάξεις. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία έρευνα μικρής κλίμακας στην Ε΄ Δημοτικού που αφορά στους μετασχηματισμούς βασικών σχημάτων, συγκεκριμένα στα στοιχεία συμμετρίας του ισοπλεύρου τριγώνου, του κανονικού εξαγώνου και του κανονικού δεκάγωνου. Ακολουθεί η ανάλυση των απαντήσεων και του ρόλου της «μαιευτικής μεθόδου» που ακολουθήθηκε στην εκπαιδευτική διαδικασία. / This study examines the teaching of geometry in schools and the ways it is presented in textbooks of primary and secondary schools in comparison with the past years. More specifically, the object of study is the method of teaching polygons in the above mentioned classes and the importance of including symmetry in textbooks. Moreover, through the presentation of an experiment with two schoolgirls, about geometric transformations of regular polygons, the Socratic dialogue is proposed, which is relevant especially when it is applied with a few participants. The study is divided into four chapters. The first chapter deals with the origins of geometry in ancient times, mainly through art. It includes a brief reference with definitions and theorems about polygons and polyhedra, dated from Euclid’s era until today. The second chapter includes the history of education of Geometry. The Elementary School and High School curriculum concerning geometry in Greece is compared, in what concerns geometric transformations, with the curricula of England and France. In the third chapter the concept of symmetry and its existence in nature is discussed. Then, the issues of symmetry taught in classrooms of elementary and middle school are outlined, and the importance of the introduction of geometric transformations in small classes is emphasized. In the fourth and final chapter, a small scale experiment is presented, which concerns transformations of regular shapes (equilateral triangle, regular hexagon and regular decagon). The role of the “Socratic Method” in the educational process is discussed in the analysis of the dialogue.

Η παρούσα διατριβή ερευνητικά εντάσσεται στην περιοχή της Μη Γραμμικής Ανάλυσης και ειδικότερα στην επίλυση Μη Γραμμικών Ελλειπτικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.) με υπερκρίσιμο εκθέτη. Η μη γραμμικότητα δεν επιτρέπει την επίλυση των εξισώσεων αυτών χρησιμοποιώντας τις συμπαγείς εμφυτεύσεις. Αξιοποιώντας τις ιδιότητες συμμετρίας που παρουσιάζει η πολλαπλότητα, αφενός παρακάμπτουμε το εμπόδιο αυτό και αφετέρου επιτυγχάνουμε να επιλύσουμε εξισώσεις αυτού του τύπου με υπερκρίσιμο εκθέτη. Στο πρώτο μέρος της Διατριβής υπολογίζουμε την πρώτη βέλτιστη σταθερά στη γενική ανισότητα Sobolev και στη γενική ανισότητα Sobolev με σύνορο στον στερεό τόρο, μελετάμε το φαινόμενο της συμπύκνωσης και επιλύουμε τα προβλήματα (P1) και (P2). Στο δεύτερο μέρος υπολογίζουμε την πρώτη βέλτιστη σταθερά στη γενική ανισότητα Sobolev και στη γενική ανισότητα Sobolev με σύνορο σε μια λεία, συμπαγή, n-διάστατη, n\geq 3, πολλαπλότητα Riemann (M,g) με σύνορο, που είναι αναλλοίωτη από τη δράση μιας οποιασδήποτε συμπαγούς υποομάδας G της ομάδας των ισομετριών Is(M,g) της Μ και της οποίας όλες οι G-τροχιές έχουν άπειρο πληθάριθμο και κάνουμε μια σύντομη παρουσίαση των λύσεων των προβλημάτων (P3) και (P4). / The present Thesis is incorporated in the research area of Nonlinear Analysis, especially solvability of Nonlinear Elliptic PDE’s with supercritical exponent.The nonlinear nature of the equations makes it impossible to be solved by means of compact imbeddings. Taking advantage of the symmetry properties of the manifold we overcome the obstacle as well as we succeed in solving equations of this type possessing supercritical exponent. In the first part of the Thesis we calculate the first best constant in the general Sobolev inequality and in the general Sobolev trace inequality on the solid torus, we study the phenomenon of concentration and solve problems (P1) and (P2).In the second part we calculate the first best constant in the general Sobolev inequality and in the general Sobolev trace inequality on a smooth, compact, n−dimensional Riemannian manifold (M, g), n _ 3, with boundary, which is invariant under the action of a subgroup G of the isometry group Is(M, g) of M, the orbits of which have infinity cardinality. We also present brief solutions of problems (P3) and (P4).