Στη διπλωματική αυτή εργασία ορίζουμε δυο νέα μοντέλα τυχαίων γραφημάτων τομής ετικετών και εξετάζονται ως προς ορισμένες σημαντικές γραφοθεωρητικές ιδιότητές τους. Ένα τυχαίο γράφημα τομής ετικετών παράγεται αντιστοιχώντας σε κάθε κορυφή ένα \\\\emph{τυχαίο} υποσύνολο ενός πεπερασμένου) σύμπαντος $M$ από $m$ στοιχεία και βάζοντας μια ακμή μεταξύ δυο κορυφών αν και μόνον εάν τα αντίστοιχα σύνολά τους έχουν μη κενή τομή. Συγκεκριμενοποιώντας την κατανομή που ακολουθεί το τυχαίο υποσύνολο που αντιστοιχείται σε κάθε κορυφή παίρνουμε διαφορετικά μοντέλα τυχαίων γραφημάτων τομής. Στο γενικευμένο μοντέλο τυχαίων γραφημάτων τομής κάθε στοιχείο $i$ του $M$ επιλέγεται ανεξάρτητα από κάθε κορυφή με πιθανότητα $p_i$. Το ομοιόμορφο μοντέλο τυχαίων γραφημάτων τομής ετικετών αποτελεί μια ειδική περίπτωση του γενικευμένου μοντέλου όπου η πιθανότητα επιλογής των στοιχείων του $M$ είναι ίση με $p$, δηλαδή ίδια για όλα τα στοιχεία του $M$. Όπως θα δούμε, για ορισμένες τιμές των παραμέτρων $m$ και $p$, το ομοιόμορφο μοντέλο είναι ισοδύναμο με το μοντέλο $G_{n, \\\\hat{p}}$, δηλαδή με το μοντέλο τυχαίων γραφημάτων στο οποίο κάθε πλευρά εμφανίζεται στοχαστικά ανεξάρτητα με πιθανότητα $\\\\hat{p}$. Τέλος, στο κανονικό μοντέλο τυχαίων γραφημάτων τομής ετικετών το υποσύνολο του $M$ που αντιστοιχείται σε κάθε κορυφή έχει σταθερό αριθμό στοιχείων. Λόγω της στοχαστικής εξάρτησης που υποννοείται για την ύπαρξη πλευρών, τα γραφήματα αυτά θεωρούνται αρκετά ρεαλιστικά μοντέλα (σε σχέση με τα κλασσικά τυχαία γραφήματα) σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, ιδιαίτερα σε αλγοριθμικά θέματα δικτύων. Στην εργασία αυτή αρχικά παρουσιάζουμε μερικά χαρακτηριστικά αποτελέσματα από τη σχετική βιβλιογραφία για τα μοντέλα αυτά. Ακόμα, μελετάμε, για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία, την ύπαρξη ανεξάρτητων συνόλων κορυφών μεγέθους $k$ στο γενικευμένο μοντέλο τυχαίων γραφημάτων τομής ετικετών, υπολογίζοντας τη μέση τιμή και τη διασπορά του αριθμού τους. Επίσης, προτείνουμε και αναλύουμε τρείς πιθανοτικούς αλγόριθμους που τρέχουν σε μικρό πολυωνυμικό χρόνο (ως προς τον αριθμό των κορυφών και τον αριθμό των στοιχείων του $M$) για την εύρεση αρκετά μεγάλων συνόλων ανεξάρτητων κορυφών. / In this Master thesis we define and analyse two new models of random intersection graphs. A random intersection graph is produced by assigning to each vertex a random subset of a (finite) universe $M$ of $m$ elements and by drawing an edge between two vertices if and only if their corresponding subsets have some elements in common. By specifying the distribution of the subsets assigned to each vertex, we get various models of random intersection graphs. In the generalized random intersection graphs model each element $i$ in $M$ is chosen independently with probability $p_i$. The uniform random intersection graphs model is a special case of the generalized model where the probability of selecting an element of $M$ is $p$, i.e. the same for every element. As we will see, for some range of values of the parameters $m$ and $p$, the uniform model is equivalent in some sense with the model $G_{n, \\\\hat{p}}$, i.e. the random graphs model in which each edge appears independently with probability $\\\\hat{p}$. Finally, in the regular random intersection graphs model, the subset of $M$ assigned to each vertex has a fixed number of elements. Due to the dependence implied in the appearance of edges, these models are considered to be more realistic (than classic random graphs) in many applications. This thesis begins by presenting several important results concearning these models. Also, we study for the first time the existence of independent sets of size $k$ in the generalized random intersection graphs model, and we give exact formulae for the mean and variance of their number. Additionally, we propose three randomized algorithms, that run in small polynomial time (with respect to the number of vertices and the number of elements of $M$), for finding large independent sets of vertices.

Σκοπός της παρούσας μελέτης είναι να εξετάσουμε πως οι παράμετροι σάρωσης και ανακατασκευής επηρεάζουν την ποιότητα της εικόνας. Καθόσον, ορισμένες από τις παραμέτρους, αυξάνουν την δόση στον εξεταζόμενο, μελετήσαμε σε ποιες περιπτώσεις θα πρέπει να τις τροποποιήσουμε, άλλοτε για λόγους ακτινοπροστασίας και άλλοτε για την βελτιστοποίηση της ποιότητα της εικόνας. Υλικό και μέθοδος : Το πείραμα μας έγινε σε ελικοειδή Υ .Τ (Philips 5000SR), χρησιμοποιώντας πρόγραμμα συμβατικής σάρωσης (τομής-τομής) και ελικοειδούς σάρωσης σε ομοίωμα που χρησιμοποιείται για τον ποιοτικό έλεγχο. Σαρώσαμε τα διαφορετικά τμήματα του ομοιώματος, εφαρμόζοντας όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των παραμέτρων σάρωσης και ανακατασκευής. Μετρήσαμε σε όλες τις εικόνες τον θόρυβο, την χωρική διακριτική ικανότητα (Χ.Δ.Ι ) και την αντιθετική διακριτική ικανότητα. Αποτελέσματα: Η Χ.Δ.Ι μεταβάλλεται περισσότερο από το πάχος τομής και τον αλγόριθμο ανακατασκευής, ενώ οι παράμετροι έκθεσης την επηρεάζουν λιγότερο σε εξεταζομένους με φυσιολογικές διαπλάσεις. Ο θόρυβος της εικόνας είναι μεγαλύτερος στο κέντρο της εικόνας και αυξάνει περισσότερο όταν μειώνουμε τους παράγοντες έκθεσης. Η αντιθετική διακριτική ικανότητα βελτιώνεται με αύξηση των παραμέτρων έκθεσης και με εφαρμογή κατάλληλου αλγόριθμου ανακατασκευής. Συμπέρασμα: Η σωστή επιλογή των παραμέτρων σάρωσης και ανακατασκευής μπορεί να οδηγήσει στην βελτίωση της ποιότητας της εικόνας ή στην βέλτιστη εικόνα με την λιγότερη δυνατή δόση στον εξεταζόμενο. / The purpose of the present study is to examine how the scanning and reconstruction parameters effect the quality imaging. While, some of the parameters increase the dose to the patient, we studied in which cases we have to modify them either for the benefit of the radiation protection or for the optimization of the quality imaging. Material and method. Our experiment was put into practice in conventional spiral CT (Philips 5000SR), using conventional scanning software ( slice-slice) and helical scanning at a phantom situable for quality control. We scanned the different parts of the phantom, by appling all the various combinations of the scanning and reconstruction parameters. We measured in all the images the noise, the spacial resolution and the low contrast resolution. Results. The spacial resolution is mainly influenced by the slice thickness and the reconstuction algorithm, while is less affected by the exposure parameters as far as it concerns patients with normal body mass. The noise of the image is greater at the center of the image and increases mostly when the exposure parameters are reduced. The low contrast resolution is improved by the increase of the exposure parameters and by the application of the suitable reconstruction algorithm. Conclusion. The reasonable choice of the scanning and reconstruction parameters results in the optimization of the quality imaging or in the best image with the less possible dose for the patient.

Έστω $V$ ένα σύνολο $n$ κορυφών και έστω ${\cal M}$ ένα πεπερασμένα αριθμήσιμο σύνολο $m$ ετικετών. Ένα γράφημα ετικετών προκύπτει αν αντιστοιχήσουμε σε κάθε κορυφή $v \in V$ ένα υποσύνολο $S_v$ του ${\cal M}$ και στη συνέχεια ενώσουμε όποιες κορυφές έχουν κοινά στοιχεία στα αντίστοιχα σύνολα ετικετών τους. Η παρούσα διδακτορική διατριβή ασχολείται με την εξέταση συνδυαστικών ιδιοτήτων και το σχεδιασμό και ανάλυση αλγορίθμων που σχετίζονται με δυο μοντέλα τυχαίων γραφημάτων που προκύπτουν από την επιλογή των συνόλων $S_v$ με βάση συγκεκριμένες κατανομές. Το πρώτο από αυτά τα μοντέλα ονομάζεται \emph{Μοντέλο Τυχαίων Γραφηματων Τομής Ετικετών} ${\cal G}_{n, m, p}$ (\textlatin{random intersection graphs model}) και κάθε σύνολο ετικετών $S_v$ διαμορφώνεται επιλέγοντας ανεξάρτητα κάθε ετικέτα με πιθανότητα $p$. Το δεύτερο μοντέλο ονομάζεται \emph{Ομοιόμορφο Μοντέλο Τυχαίων Γραφηματων Τομής Ετικετών} ${\cal G}_{n, m, \lambda}$ (\textlatin{uniform random intersection graphs model}) και κάθε σύνολο ετικετών $S_v$ επιλέγεται (ανεξάρτητα για κάθε κορυφή) ισοπίθανα ανάμεσα σε όλα τα υποσύνολα του ${\cal M}$ μεγέθους $\lambda$. Τα μοντέλα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μοντελοποιήσουν καταστάσεις που αφορούν θέματα ασφάλειας σε δίκτυα αισθητήρων, αλλά και για την αναπαράσταση των συγκρούσεων (\textlatin{conflicts}) που δημιουργούνται σε περιπτώσεις διαμοιρασμού πόρων. Ακόμα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μοντελοποίηση κοινωνικών γραφημάτων (\textlatin{social graphs}) στα οποία δυο οντότητες συνδέονται όταν έχουν κάποιο κοινό χαρακτηριστικό. Στο Μοντέλο Τυχαίων Γραφηματων Τομής Ετικετών ${\cal G}_{n, m, p}$ μελετάμε καταρχήν το πρόβλημα της ύπαρξης κύκλων \textlatin{Hamilton}. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα επιλογής ετικετών $p$ έτσι ώστε κάθε στιγμιότυπο του ${\cal G}_{n, m, p}$ να περιέχει ένα κύκλο \textlatin{Hamilton} με πιθανότητα που τείνει στο 1 καθώς το $n$ τείνει στο άπειρο. Ακόμα, αναλύουμε δυο πιθανοτικούς αλγορίθμους που, για ορισμένες τιμές των παραμέτρων $m, p$ του μοντέλου, καταφέρνουν να κατασκευάσουν ένα κύκλο \textlatin{Hamilton} με πιθανότητα που τείνει στο 1, δηλαδή σχεδόν πάντα. Επίσης, δείχνουμε ότι σχεδόν κάθε στιγμιότυπο του ${\cal G}_{n, m, p}$ έχει καλή επεκτασιμότητα (\textlatin{expansion}), ακόμα και για $p$ πολύ κοντά στο κατώφλι συνεκτικότητας του μοντέλου. Στη συνέχεια, δίνουμε βέλτιστα άνω φράγματα (που ισχύουν με πιθανότητα που τείνει στο 1 σε ένα ευρύ πεδίο τιμών των παραμέτρων του μοντέλου) για σημαντικές ποσότητες που αφορούν τυχαίους περιπάτους σ ε στιγμιότυπα του ${\cal G}_{n, m, p}$ όπως ο χρόνος μίξης (\textlatin{mixing time}) και ο χρόνος κάλυψης (\textlatin{cover time}). Στο Ομοιόμορφο Μοντέλο Τυχαίων Γραφηματων Τομής Ετικετών ${\cal G}_{n, m, \lambda}$ μελετάμε την ύπαρξη κύκλων \textlatin{Hamilton} σε ένα ορισμένο πεδίο τιμών των παραμέτρων $m, \lambda$ του μοντέλου. Τέλος, υπολογίζουμε με τη βοήθεια της Πιθανοτικής Μεθόδου το κατώφλι ύπαρξης ανεξάρτητων συνόλων κορυφών. / Let $V$ be a set of $i$ vertices and let ${\cal M}$ be a finite set of $m$ labels. An intersection graph is then constructed by assigning to each vertex $v \in V$ a subset $S_v$ of ${\cal M}$ and then connecting every pair of vertices that have common labels in their corresponding label sets. This thesis concerns the study of combinatorial properties, as well as the design and analysis of algorithms on two kinds of random intersection graphs models that arise from different choices of the distribution that we use to construct the sets $S_v$. In the first of these models, called \emph{Random Intersection Graphs Model} ${\cal G}_{n, m, p}$, each set of labels $S_v$ is constructed by choosing independently each label with probability $p$. In the second model, called \emph{Uniform Random Intersection Graphs Model} ${\cal G}_{n, m, \lambda}$, each label set $S_v$ is selected equiprobably (and independently for each vertex $v$) among all subsets of ${\cal M}$ of size $\lambda$. These models can be used to abstract situations that concern the efficient and secure communication in sensor networks, but can also be used to model the conflicts that occur in oblivious resource sharing in distributed settings. Moreover, random intersection graph models can be used to model social graphs, in which two entities are connected when they have a common feature. In the Random Intersection Graphs Model ${\cal G}_{n, m, p}$, we first study the existence and efficient construction of Hamilton cycles. More specifically, we give an upper bound for the probability $p$ that is needed for almost every random instance $G_{n, m, p}$ of the model to have a Hamilton cycle. We also present two polynomial time, randomized algorithms for constructing Hamilton cycles in a wide range of the parameters $m, p$. Moreover, we show that almost every random instance of the ${\cal G}_{n, m, p}$ model is an expander, even for $p$ very close to the connectivity threshold. Finally, we give close to optimal bounds (that hold with probability that goes to 1 for a wide range of the parameters of the model) for important quantities (like the mixing time and the cover time) concerning random walks on random instances of ${\cal G}_{n, m, p}$. In the Uniform Random Intersection Graphs Model ${\cal G}_{n, m, \lambda}$ we study the existence of Hamilton cycles for a ce rtain range of the parameters $m, \lambda$. Finally, by using the probabilistic method we compute the independence number of ${\cal G}_{n, m, \lambda}$.

- / -