El trabajo se centra en los juegos cooperativos con utilidad transferible, que son excelentes modelos matemáticos para analizar situaciones de conflicto y cooperación entre diversos agentes. Consta de dos partes.En la primera se utilizan el valor de shapley y su extensión, el valor coalicional de Owen, así como el índice de Banzhaf y su modificación por una estructura de coaliciones, para decidir cuando es ventajoso para un subconjunto de jugadores coaligarse y cuando no lo es.En la segunda se estudian los juegos cooperativos con múltiples alternativas, con los cuales es posible analizar situaciones cuya descripción no era factible usando juegos cooperativos tradicionales o carecía de la precisión deseable. Se extienden a este contexto todos lo valores lineales en el espacio vectorial de los juegos cooperativos clásicos con su correspondiente caracterización axiomática) en particular el valor de Shapley y el índice de Banzhaf.

En esta memoria se estudian diferentes problemas dinámicos relacionados con la termomecánica racional. En el primer capitulo se hace un breve repaso a los distintos tipos de problemas a estudiar y de las herramientas a utilizar, que son básicamente la teoría de semigrupos de operadores lineales.En el segundo capítulo se estudian las ecuaciones para el problema incremental para la termoelasticidad de materials que ocupan una región no acotada del espacio.Las teorías incrementales son linealizaciones de las ecuaciones de evolución en el caso en que el estado primario esta pretensionado. Para este problema se obtienen resultados de existencia, unicidad y dependencia continua respecto de parámetros iniciales. Estos resultados son validos bajo la hipótesis de que el tensor de elasticidades es fuertemente elíptico que es más débil que la usual de asumir que dicho tensor RD definido positivo. En el apéndice a este capitulo se analizan algunos ejemplos donde la hipótesis de elipticidad se satisface pero la de positividad No.En el siguiente capitulo se analiza el problema incremental para materiales porosos. Los materiales porosos están compuestos por un esqueleto elástico y por intersticios vacíos. Para este tipo de sólidos la densidad se puede descomponer como producto de dos campos escalares: y, que depende únicamente de la naturaleza del material, y la fracción volumica, v, que depende de la geometría de los poros. Los resultados obtenidos son de unicidad de soluciones para condiciones de frontera generales y de existencia para condiciones de frontera homogéneas.En los dos últimos capítulos se consideran teorías viscoelasticas que estudian el problema en que el material presenta mecanismos de disipación debidos a sus estados pasados. Esta dependencia en los estados pasados se refleja matemáticamente en las ecuaciones constitutivas del material que pasan a ser funcionales de la historia de las variables independientes

En esta tesis se presenta una metodología para la simulación numérica de procesos cuasistaticos en mecánica de sólidos no lineal, basada en una formulación arbitrariamente lagrangiana-euleriana (ale) del problema. Se hace un enfoque generalista, que abarca algunas cuestiones fundamentales en mecánica computacional y en análisis numérico: la resolución de sistemas no lineales de ecuaciones algebraicas y la integración de las ecuaciones constitutivas no lineales. Como entorno de trabajo se utiliza un código orientado al objeto, una herramienta muy útil en tareas de investigación pues proporciona un lenguaje interactivo de programación altamente conceptual. Este lenguaje permite implementar y estudiar los algoritmos numéricos de manera sencilla y eficaz.Las principales aportaciones del trabajo son: (1) La adaptación de distintos métodos para la resolución de sistemas no lineales de ecuaciones a la técnica de los multiplicadores de lagrange: desarrollo de algoritmos, análisis de convergencia e implementación numérica.(2) El desarrollo de una estrategia para el análisis del orden del error de esquemas numéricos de integración de las ecuaciones constitutivas no lineales en mecánica de sólidos con grandes deformaciones, y la aplicación de dicha estrategia a dos algoritmos.(3) El tratamiento unificado de la formulación ale de problemas cuasistaticos y dinámicos(4) El desarrollo de algoritmos para el tratamiento de los términos conectivos en las ecuaciones constitutivas ale.

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A partir del problema de los cuatro colores se inicia el estudio de coloraciones en grafos; teoría que ha existido ya por más de 150 años, y se ocupa del problema fundamental de partir un conjunto en clases de acuerdo con ciertas reglas. Con esta modesta base, dicha teoría se sitúa en un punto central de las matemáticas discretas con una gran cantidad de generalizaciones y aplicaciones contemporáneas. En esta tesis, centramos nuestro interés en dos áreas muy activas de investigación, que provienen de problemas en coloraciones: la teoría de Homomorfismos, y la teoría de Ramsey. La teoría de homomorfismos se ocupa del estudio de los morfismos naturales entre objetos pertenecientes a clases de estructuras combinatorias. El número cromático de un grafo simple G, se puede definir, en este contexto, como el orden mínimo de un grafo completo que admita un homomorfismo desde G. Por esta razón, la teoría de homomorfismos se ha estudiado extensamente como generalización de la teoría de coloraciones. Una excelente referencia en este tema es el libro de Hell y Nesetril {Graphs and homomorphisms, Oxf. Univ. Press, 2004}. La teoría de Ramsey estudia la existencia de ciertos patrones de color en estructuras coloreadas. A partir de los teoremas de Ramsey, Hilbert, Schur y van der Waerden, dicha teoría se ha desarrollado como una bella y amplia área de la combinatoria, donde se usan una gran variedad de técnicas provenientes de diversas ramas de la matemática, y cuyos resultados forman una parte muy importante de la teoría de grafos y la combinatoria en general. Una buena referencia en esta área es el libro de Langman y Robertson {Ramsey Theory on the Integers, Stud. Math. Lib. 24, AMS, 2003}. El trabajo en esta tesis está organizado en dos partes. La primera, se ocupa del estudio de homomorfismos de grafos mixtos coloreados, que son grafos con vértices unidos tanto por arcos coloreados como por aristas coloreadas. El número cromático de un grafo mixto coloreado G, se define como el mínimo orden do otro grafo mixto coloreado H, con la propiedad de que existe un homomorfismo (que preserva colores) de G en H. Estas nociones fueron introducidas por Nesetril y Raspaud en {Colored homomorphisms of colored mixed graphs, J. C. T. Ser. B 80 (2000)}. Generalizando algunos resultados de grafos orientados, estudiamos el número cromático mixto coloreado de las siguientes clases de grafos: caminos, árboles, grafos con número cromático acíclico acotado, k-árboles parciales, grafos planos, grafos outerplanos y grafos escasos en aristas. Motivados por la conjetura de la dicotomía en sistemas relacionales, nos interesamos en el estudio de la clases de grafos 2-coloreados en aristas y su relación con los grafos orientados. La segunda parte de la tesis se ubica dentro de la teoría de Ramsey aritmética. Estudiamos la existencia y enumeración de estructuras coloreadas, sobre todo monocromáticas y heterocromáticas, en coloraciones de grupos abelianos. Las estructuras que consideramos son soluciones de sistemas de ecuaciones en grupos, siendo los ejemplos más importantes las progresiones aritméticas y las ternas de Schur. En esta parte damos una descripción estructural de aquellas coloraciones en grupos abelianos que no contengan progresiones aritmeticas heterocromáticas de tamaño 3. Dicha descripción prueba una conjetura de Jungic et al. {Rainbow Ramsey Theory. Integers: E. J. C. N. T. 5(2) A9. (2005)} concerniente al tamaño de la clase cromática mas pequeña en dichas coloraciones de grupos cíclicos. / Starting with the four color problem, the theory of graph coloring has existed for more than 150 years. It deals with the fundamental problem of partitioning a set of objects into classes according to certain rules. From this modest beginning, the theory has become central in discrete mathematics, with many contemporary generalizations and applications. In this thesis, our particular interest is in two very active areas of research which have emerged from coloring problems: Graph Homomorphism Theory and Arithmetic Ramsey Theory. Graph Homomorphism Theory can be described as the study of classes of combinatorial structures under natural morphisms. The chromatic number of a simple graph G can be stated, in this context, as the smallest complete graph to which G admits a homomorphism. Thus Graph Homomorphism Theory has been extensively studied as a generalization of colorings. An excellent reference in the subject is the book by Hell and Nesetril {Graphs and homomorphisms, Oxf. Univ. Press, 2004}. Ramsey Theory studies the existence of particular color patterns in colored structures. Starting with the Theorems of Ramsey, Hilbert, Schur and van der Waerden, the theory has developed as a wide and beautiful area of combinatorics, in which a great variety of techniques are used from many branches of mathematics. Many of the classical results in the area are arithmetic versions of the theory and we are interested in this particular branch of Ramsey Theory. A good reference in the area is the book of Langman and Robertson {Ramsey Theory on the Integers, Stud. Math. Lib. 24, AMS, 2003}. This thesis is organized in two parts. The first part deals with the study of homomorphisms in the class of colored mixed graphs, which are graphs with vertices linked by both colored arcs and colored edges. The chromatic number of such a graph G is defined as the smallest order of a colored mixed graph H such that there exists a (color preserving) homomorphism from G to H. These notions were introduced by Nesetril and Raspaud in {Colored homomorphisms of colored mixed graphs, J. C. T. Ser. B 80 (2000)}. Generalizing known results for the class of oriented graphs we study the colored mixed chromatic number of paths, trees, graphs with bounded acyclic chromatic number, graphs of bounded treewidth, planar graphs, outerplanar graphs and sparse graphs. In particular we give the exact chormatic number of planar graphs and of partial 2-trees with appropriately large girth. Motivated by the dichotomy conjecture for relational structures we focuss on the class of 2-edge colored graphs and study its relationship with the class of oriented graphs. In particular we consider the characterization of cores and of duality pairs in this class. The second part of the thesis is related to Arithmetic Ramsey Theory. We consider the existence and the enumeration of colored structures, mainly monochromatic or rainbow structures, in colorings of finite groups. The structures under consideration can be described as solutions of systems of equations in the group, the main examples being arithmetic progressions and Schur triples. We give a structural description of those colorings in abelian groups which do not contain 3-term arithmetic progressions with its members having pairwise distinct colors. This structural description proves a conjecture of Jungic et al. {Rainbow Ramsey Theory. Integers: E. J. C. N. T. 5(2) A9. (2005)} on the size of the smallest chromatic class of such colorings in cyclic groups.

One alternative to overcome the main drawbacks of plain concrete in tension (its brittleness and weakness) is Steel Fiber Reinforced Concrete (SFRC), a technique introduced in the 70's, which consists of adding steel fibers into the concrete matrix. Due to the presence of the steel fibers into the concrete matrix, the residual strength and the energy dissipation of the material increase. Moreover, once a crack appears in the concrete, the steel fibers sew this fissure. The shape, the length and the slenderness of the fibers influence on the SFRC behavior. Moreover, the distribution and the orientation of the fibers into the concrete domain must be taken into account for characterizing the material. In order to characterize the behavior of SFRC, a numerical tool is needed. The aim is to simulate the most standard and common tests (direct and indirect tension tests, flexural test, double punch tes,¿) and more complex setups. This thesis proposes a numerical tool for modeling SFRC avoiding homogenized models (not accurate enough) and conformal meshes (too expensive). Therefore, the numerical tool accounts for the actual geometry of the fibers, discretized as 1D bars nonconformal with the concrete bulk mesh (2D or 3D domains). The two materials, corresponding to the concrete bulk and the fiber cloud, are defined independently, but coupled by imposing displacement compatibility. This compatibility is enforced following the ideas of the Immersed Boundary methods. Two different models are considered for modeling the concrete bulk (a continuous one and a discontinuous one). The parametric study of each model is done for only plain concrete, before the addition of the steel fibers. A phenomenological mesomodel is defined for modeling steel fibers, on the basis of the analytical expressions describing the pullout tests. This phenomenological mesomodel not only describes the behavior of the steel fibers, but also accounts for the concrete-fiber interaction behavior. For each fiber, its constitutive equation is defined depending on its shape (straight or hooked) and the angle between the fiber and the normal direction of the failure pattern. Both 2D and 3D examples are reproduced with the proposed numerical tool. The obtained results illustrate the presence of the steel fibers into the concrete matrix. The shape of the fiber influences of the SFRC behavior: the residual strength is higher for hooked fibers than for straight ones. Moreover, increasing the quantity of fibers means increasing the residual strength of the material. The obtained numerical results are compared to the experimental ones (under the same hypothesis). Therefore, the proposed numerical approach of SFRC is validated experimentally.

The goal of the thesis is the effective computation of the geometric monodromy, equivalently the monodromy in the fundamental group, for families of compact connected Riemann surfaces (complex algebraic curves) of genus 4. This extends previous work up to genus 2, by using the trigonal structure (triple cover of the Riemann sphere) of genus 4 curves: they have 2 such structures, so a 2:1 base change for any family of them allows the glueing of the trigonal structures to form a family of trigonal covers of the Riemann sphere. The generic trigonal genus 4 covering has branching in 12 simple points. In a family of trigonal covers these form a branching divisor of relative degree 12, whose braid monodromy determines the geometric monodromy of the family. The main theoretic result of the thesis is the construction of a universal family of trigonal genus 4 curves, inside the Hurwitz scheme of trigonal covers but with a lower dimension, computable geometric monodromy, and with a topological universality property: any family of trigonal genus 4 curves is obtained from this universal family by pullback plus deformation of a map to its base. This theorem is completed with the computation of the monodromy in the fundamental group for this universal family. The computation is derived from the braid monodromy of the branching divisor, which is then lifted to the trigonal covers. A gap remains in the computation of the monodromy for this universal family: it is a conjecture about the stabilizer of a braid group action on the Hurwitz scheme that remains open. If the conjecture is true then the computed geometric monodromy is that of the universal trigonal family. If the conjecture is false the monodromy computations in the thesis remain valid, but have to be completed with analogous computations to cover all the universal family. The theoretical results in the thesis are completed with effective computation tools for them. A library of functions for the program Singular is developed, to find the trigonal structure of genus 4 curves from their canonical equation, and with help of a Pari-GP procedure, to find the equation of the branching divisor in a family of canonical genus 4 curves. This library is applied to examples of geometric interest: - the Lefschetz pencil of hyperplane sections in the genus 4 projective K3 surface (whose geometric monodromy is necessary to prove Seidel¿s version of the Mirror Symmetry conjecture on these surfaces). - a 1-parameter deformation of the Bring curve. Moreover, a library of functions for the program Matlab is developed, in order to compute the braid monodromy of a divisor in C^2. It is based on the integration of a system of complex-valued ordinary differential equations which determines the branches of the divisor. This is done with a Runge-Kutta method with variable step size regulated by the equation of the divisor, used as a first integral. The ode system is integrated over a path system formed by the boundaries of the Voronoi cells of the branching values of the divisor. The braid monodromy is then determined from the evolution of the branches of the divisor along this path system. This library is successfully applied to compute the braid monodromy of academic examples of degrees 6-8 in the thesis. / El objetivo de la tesis es el calculo efectivo de la monodromía geométrica y en el grupo fundamental, de familias de superficies de Riemann compactas conexas (curvas algebraicas complejas) de género 4. Este estudio se extiende a otros desarrollados hasta la fecha en los marcos de la Geometría Algebraica, Topología Diferencial y Simpléctica, que estudian esta monodromía geométrica y en el grupo fundamental para familias de superficies de Riemann de hasta género 2, usando la estructura elíptica/hiperelíptica de tales familias. El salto de género 2 a género 4 se realiza para aprovechar la estructura trigonal (de recubrimiento triple de la esfera de Riemann) que tienen las curvas en género 4. Tal curva genérica tiene dos estructuras trigonales, en una familia genérica se puede hacer un cambio de base 2:1 para conseguir pegar las estructuras de recubrimiento trigonal de las fibras y obtener una familia de recubrimientos trigonales de la esfera de Riemann. El recubrimiento trigonal genérico para curvas de género 4 tiene 12 puntos de ramificación simple. Esto significa, en una familia de recubrimientos trigonales hay un divisor de grado relativo 12 en la familia de esferas de Riemann recubiertas, denominado divisor de ramificación, tal que la monodromía de trenzas de este divisor determina la monodromía geométrica y en el grupo fundamental de la familia. El resultado teórico principal de esta memoria es la construcción de una familia universal de curvas trigonales de género 4, bajo el esquema de recubrimientos trigonales de Hurwitz, pero de dimensión más reducida, monodromía geométrica calculable, y que mantiene una propiedad de universalidad topológica: toda familia de recubrimientos trigonales de género 4 se obtiene por pullback de una aplicación de la base a la de esta familia universal, más deformación. Completa el resultado teórico principal el cálculo de la monodromía geométrica y en el grupo fundamental de esta familia. Este cálculo se hace siguiendo la monodromía de trenzas del divisor de ramificación de la familia, y levantando esta monodromía de las esferas de Riemann a sus cubiertas triples. El cálculo de la monodromía en el grupo fundamental de la familia no ha podido ser completado desde el punto de vista lógico, debido a una conjetura sobre el estabilizador de una acción del grupo de trenzas en el esquema de Hurwitz de cubiertas triples. Sin embargo, los cálculos realizados permanecen válidos sea cual sea la respuesta; en caso de ser cierta implica que el cálculo realizado es toda la monodromía de la familia universal y lo contrario significaría que hay que añadir algunos cálculos de monodromía análogos a los aquí realizados. Los resultados teóricos de la tesis se completan con trabajo de computación para realizar cálculos efectivos de monodromía geométrica en el grupo fundamental en las familias de curvas de género 4. Primero, se desarrolla una librería de funciones para el programa Singular que hallan la estructura trigonal de curvas de género 4 a partir de su ecuación canónica y con la ayuda de un cálculo auxiliar en Pari-GP, determinan el divisor de ramificación relativo de una familia de curvas de género 4 canónicas (no hiperelípticas). En la tesis se aplica esta librería al cálculo de estructuras trigonales y divisores de ramificación en familias de curvas de género 4, tanto ejemplos académicos como familias de interés geométrico: - la familia de curvas de género 4 que describe un pincel de Lefschetz en la superficie K3 de género 4 (cuya monodromía geométrica es necesaria para demostrar la versión de Paul Seidel de la conjetura de la 'Mirror Symmetry'), - una familia de curvas de género 4 deformación de la curva de Bring (la única curva de género 4 que tiene grupo de simetrías de orden 5). Segundo, se desarrolla una librería de funciones para el programa MATLAB que calculan la monodromía de trenzas de un divisor en C^2. Este cálculo se inicia en la integración de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a valores complejos, que sigue la evolución de las ramas del divisor, para el que se ha desarrollado un integrador numérico de paso variable combinando un método de Runge-Kutta con el uso de la ecuación del divisor como integral primera de las soluciones para el control del paso. Este sistema de ecuaciones se integra sobre un sistema de generadores del grupo fundamental de la base obtenido a partir de una descomposición celular de Voronoi asociada a los valores de ramificación de la familia, y finalmente se identifica la monodromía de trenzas a partir del análisis de la posición de las ramas del divisor a lo largo de los caminos escogidos en la base. Esta librería funciona correctamente para divisores de grados hasta 6-8 en el plano. Se ilustra en la tesis mediante su aplicación a ejemplos académicos, completa con representación e identificación de las monodromías de trenzas en estos ejemplos.

Exocytosis is the cellular process whereby a product such as a hormone or a neurotransmitter is released as a response to stimulation. There are a lot of exocytotic cells in mammals, and each cell type has their specific subcellular mechanisms, needed to achieve the final substance release. Therefore, unveiling the role of subcellular mechanisms in secretion processes is highly relevant to understand disease evolution and possible therapies. The efficiency of the coupling between stimulus and secretion is mainly managed by an intracellular Ca2+ signal. In the present thesis, a modeling approach of Ca2+-triggered secretion is presented for some different cellular types. In particular, cells with different characteristic time scales were chosen in order to discuss about a multiscale approach for studying spatiotemporal features of secretion processes. The object of this piece of research ranges from a short temporal scale (fast secretion) up to a long temporal scale (slow secretion). The study also discuss the intermediate temporal scale, and the joining point between theoretical methodologies. Cellular Ca2+ and secretion dynamics have been studied in the abovementioned timescales for the calyx of Held presynaptic terminal, the pancreatic alpha cell, and the adrenal chromaffin cell, respectively. The aim of this work has been twofold: first, to develop mathematical models that follow actual sub-cellular mechanisms involved in secretion, and second, to make simulations on these models in order to reproduce the experimentally observed Ca2+ and secretory behaviour. The ultimate goal is to propose common methodologies and algorithms to support the theoretical approach for studying multiscale cellular processes. / Exocitosis es el proceso celular por el cual un producto, sea una hormona o un neurotransmisor, es liberado en respuesta a un estímulo. Existen muchas células exocitóticas en los mamíferos y cada una de ellas posee sus mecanismos específicos para llevar a cabo esta función. Por esta razón, es de gran relevancia descubrir cuáles son los mecanismos intracelulares involucrados en el proceso de secreción para comprender la evolución y posibles terapias asociadas a las enfermedades. La eficiencia del acople entre el estímulo y la secreción celular es controlada por una señal de Ca2+ intracelular. En esta tesis se presenta una investigación teórica de modelado sobre la secreción controlada por Ca2+ para diferentes tipos celulares. En particular, se han escogido células con diferentes tiempos característicos para darle un enfoque multiescala al estudio. Cada tipo celular presenta características espacio-temporales específicas involucradas en la secreción. El estudio cubre desde una escala temporal corta (secreción rápida) hasta una escala temporal larga (secreción lenta), discutiendo también la escala intermedia que provee el punto de convergencia entre las metodologías empleadas. Para estudiar estas escalas temporales, se han escogido la terminal presináptica del cáliz de Held, la célula alfa de páncreas y la célula cromafin de glándulas suprarrenales, respectivamente. Los principales objetivos del trabajo han sido: Primero, proponer modelos matemáticos de los mecanismos intracelulares reales que participan en la secreción para cada tipo celular, y segundo, desarrollar simulaciones que logren reproducir el comportamiento fisiológico del Ca2+ y la secreción celulares. La perspectiva se orienta a proponer metodologías y algoritmos multiescala que puedan ser comunes para el estudio teórico de los procesos celulares.

Most biological systems are complex and consist of several interconnected parts whose links can contain additional information which can be hidden from the observer. As a result of the interactions between elements, emergent properties that cannot be explained by the characteristics of isolated elements can arise. Current clinical applications record a high number of different signals that contain information about these physiological systems, providing multichannel data whose interactions can be studied by classical reference methods, generally linear, as the correlation analysis and spectral coherence, and other nonlinear methods that are being defined and developed during recent years, such as nonlinear prediction, entropies, mutual information and phase synchronization. The development, improvement and application of new analytical techniques is a field with obvious social and technological interest, especially when performed by noninvasive techniques, which can improve the processes of rehabilitation and clinical therapy, and also help the development of new diagnostic tools. In this thesis new indexes have been defined in order to evaluate: * The coordination of respiratory muscles in healthy subjects and patients with obstructive sleep apnea syndrome (OSAS) during an effort ventilatory protocol. * The effect on functional connectivity of the brain after administration of a psychoactive drug. * The changes caused by Alzheimer's disease (AD) in the connectivity of the brain. Respiratory muscles provide the mechanical energy that supports respiration. The evaluation of interactions between electromyographic (EMG) and mechanomiographic (MMG) signals of different respiratory muscles, genioglossus, sternomastoid and diaphragm, has allowed the discrimination of coordination patterns of OSAS patients with respect to healthy subjects at low, medium and high respiratory effort during while awake. Analysis and characterization of the electroencephalographic (EEG) and magnetoencephalographic (MEG) signals allows the understanding of brain function to assist in the process of clinical diagnosis of disorders in neurology, psychiatry and pharmacology. In this thesis the interactions within and between different brain regions have been assessed, using new nonlinear indexes which have managed to reflect changes over time in the brain after administration of alprazolam, and to characterize andto differentiate brain connectivity of AD patients with respect to healthy subjects. / La mayoría de sistemas biológicos son sistemas complejos que constan de diversas partes interconectadas cuyos vínculos pueden contener información adicional y oculta al observador. Como resultado de estas interacciones entre elementos surgen propiedades emergentes, que no pueden explicarse a partir de las características de los elementos aislados. Las aplicaciones clínicas actuales registran un elevado número de señales diferentes que contienen información sobre estos sistemas fisiológicos, cosa que permite disponer de datos multicanal, cuyas interacciones pueden ser estudiadas mediante métodos clásicos de referencia generalmente lineales, como el análisis de correlación y la coherencia espectral, u otros métodos no lineales que están siendo definidos y desarrollados durante los últimos años, como la predicción no lineal, las entropías, la información mutua o la sincronización de fase. El desarrollo, mejora y aplicación de nuevas técnicas de análisis constituye un campo con evidente interés social y tecnológico, en especial cuando se realiza mediante técnicas no invasivas, que puede proporcionar mejoras en los procesos de rehabilitación y terapia clínica, así como contribuir a desarrollar herramientas de ayuda al diagnóstico. En esta tesis se han definido nuevos índices no lineales que han permitido evaluar: * La coordinación de los músculos respiratorios en sujetos sanos y pacientes con síndrome de apnea obstructiva del sueño (SAOS) durante un protocolo ventilatorio de esfuerzo. * El efecto en la conectividad funcional del cerebro tras la administración de un fármaco psicoactivo. * Los cambios provocados por la enfermedad de Alzheimer (EA) en la conectividad del cerebro. La musculatura respiratoria proporciona la energía mecánica que soporta la respiración. La evaluación de las interacciones entre señales electromiográficas (EMG) y mecanomiográficas (MMG) de diferentes músculos respiratorios -geniogloso, esternocleidomastoideo y diafragma- ha permitido diferenciar el patrón de coordinación de los pacientes con SAOS de los sujetos sanos a niveles bajos, medios y altos de esfuerzo respiratorio durante vigilia. El análisis y caracterización de las señales electroencefalográficas (EEG) y magnetoencefalográficas (MEG) permite la comprensión de la función cerebral para ayudar en el proceso de diagnóstico clínico de disfunciones en neurología, psiquiatría y farmacología. En esta tesis se han evaluado las interacciones en y entre diferentes regiones cerebrales mediante nuevos índices no lineales que han conseguido reflejar los cambios producidos a lo largo del tiempo en el cerebro tras la administración del fármaco alprazolam, así como caracterizar y diferenciar la conectividad cerebral de los pacientes con EA con respecto a sujetos sanos. Las herramientas utilizadas en las aplicaciones mencionadas se basan en las siguientes técnicas de análisis no lineal: * La función de información mutua cruzada, el equivalente no lineal de la función de correlación cruzada, que cuantifica la información compartida entre dos variables aleatorias. * La entropía condicional corregida cruzada, una medida que cuantifica la información restante contenida en una variable aleatoria cuando se conoce totalmente otra variable relacionada, y por lo tanto es una medida complementaria de la información mutua. * La predicción no lineal basada en modelos localmente lineales, una herramienta matemática que permite deducir la evolución de una serie temporal en función de muestras anteriores. Los nuevos índices desarrollados han demostrado la necesidad de evaluar las interacciones en los sistemas biológicos y fisiológicos tanto con métodos lineales como no lineales, para obtener una evaluación más completa de la dinámica subyacente y ayudar en los procesos de diagnóstico de patologías y en el procedimiento de evaluación psicofarmacológica.

The goal of this thesis is the study of homoclinic orbits in conservative systems (area-preserving maps and Hamiltonian systems). We consider homoclinic (bi-asymptotic) orbits either to saddle periodic orbits or to whiskered tori. Such type orbits, called homoclinic by Poincaré, are of great interest in the theory of dynamical systems since their presence implies complicated dynamics. The thesis is divided in two parts according to two quite different topics considered. In the first part, we study area-preserving maps (APMs) with a nontransversal homoclinic orbit (homoclinic tangency) to a saddle fixed point in order to know the behavior of orbits near the given homoclinic trajectory. To this end, we construct first return maps, for which we use finitely-smooth normal forms of the saddle maps and introduce cross-coordinates. The fixed points of the first return maps correspond to single-round periodic orbits of the maps under consideration. Applying rescaling methods we derive the first return maps to the Hénon-like maps whose bifurcations are well known. Thus, translating the results obtained for the fixed points of the return maps to the periodic orbits, we prove the existence of cascades of elliptic periodic points. We also study the phenomenon of the coexistence of infinitely many single-round periodic orbits of different large periods (called global resonance). We consider the related problems in different types of APMs (symplectic maps and non-orientable APMs) with quadratic or cubic tangencies. We also establish the structure of 1:4 resonance for some conservative Hénon-like maps. The second part of the thesis is dedicated to the study of exponentially small splitting of separatrices arising from a perturbation of a Hamiltonian system with a homoclinic connection (separatrix). We consider a perturbation of an integrable Hamiltonian system having whiskered tori with coincident stable and unstable whiskers. Generally, in the perturbed system, the whiskers do not coincide anymore and our goal is to detect the transverse homoclinic orbits associated to the persistent whiskered tori. The perturbed system turns out to be not integrable due to the presence of these homoclinic trajectories and, consequently, there is chaotic dynamics near them. We give a suitable parametrization to the whiskers to determine the distance between them. This distance is given by the splitting function, and the simple zeros of this function give rise to transverse homoclinic orbits. We use the classical Poincaré-Melnikov approach to measure the splitting, although in the case of exponential smallness we have to ensure that the first order approximation overcome the error term. We consider Hamiltonian systems possessing two-dimensional whiskered tori with quadratic frequencies and three-dimensional whiskered tori with cubic golden frequency. In the two-dimensional case, we find 23 new quadratic numbers for which the Poincaré-Melnikov method can be applied and establish the existence of 4 transverse homoclinic orbits. We also study the continuation of the homoclinic orbits for all values of the parameter of perturbation in the case of the silver number sqrt(2)-1. For the three-dimensional whiskered torus with frequency vector given by the so-called "cubic golden number", we establish the existence of exponentially small splitting of separatrices and detect the transversality of 8 homoclinic orbits.