En el primer capítulo se introduce la función $H_{n}(z)=1+2^{iz}+3^{iz}+...+n^{iz}$ como aproximación de la función zeta de Riemann y se pondrá de relieve una de sus principales propiedades, que es la de ser una función entera de tipo exponencial de clase C. Se presenta, utilizando la noción de distribución de Levinson, una demostración de la densidad de ceros de este tipo de funciones distinta a la obtenida por los autores de [41]. Se dará también, con la condición de existencia de ceros sobre el eje imaginario, una fórmula sobre la distribución de dichos ceros. Después, se presentan algunos resultados sobre el número de ceros dentro de rectángulos de aproximaciones de la función zeta de Riemann y se expone cómo el uso de la función $H_{n}(z)$ permite obtener una fórmula precisa del número de ceros dentro de ciertos rectángulos. En el segundo capítulo se demuestra que para unas ciertas aproximaciones de la zeta de Riemann, es decir, las sumas parciales, hay densidad de las partes reales de sus ceros simples dentro de intervalos incluidos en sus bandas críticas. Los resultados de este capítulo aparecen en [14]. En el tercer capítulo se propone, utilizando aritmética y funciones completamente multiplicativas, un método para transportar una propiedad topológica de ceros de ciertos polinomios exponenciales, llamados polinomios de Dirichlet. Se utiliza el teorema de equivalencia de Bohr, muy conocido para las series de Dirichlet. Se demuestra que se puede aplicar este resultado a los polinomios de Dirichlet, lo cual nos da un método explícito para construir polinomios obteniendo la propiedad requerida y formando, al mismo tiempo, clases de equivalencia. En el cuarto capítulo, después de haber introducido el tema de las cuerdas fractales no reticulares, se demuestran conjeturas expuestas por Michel Lapidus y Machiel van Frankenhuysen en [30], relacionadas con la densidad de las partes reales de ceros de polinomios de Dirichlet asociados a dichas cuerdas. Se puede encontrar estos resultados en [13]. En el último capítulo se exponen algunos resultados sobre la relación entre los polinomios de Dirichlet y las ecuaciones en diferencias de tipo neutro. Demostramos un resultado de inestabilidad para dichas ecuaciones y, utilizando el resultado anterior, se propone la creación de clases de equivalencias de ecuaciones en diferencias inestables. Al final de cada capítulo, se presentan algunos temas abiertos que podrían ser desarrollados en el futuro. / In the first one we introduce the function $H_{n}(z)=1+2^{iz}+3^{iz}+...+n^{iz}$ as an approximation of the Riemann's zeta function and we focus on one of its most important properties, which is to be an entire function of exponential type of $\mathcal{C}$ class. We present, using the Levinson's notion of distribution, a demonstration of the density of the zeros of such functions. This proof is different to the authors one (see [41]). We also give a formula of the distribution of zeros on the imaginary axis (if they exist). Then, we show some results on the number of zeros in rectangles of approximations of the Riemann's zeta function and we will show how the use of the function $H_{n}(z)$ gives us a precise formula on the number of zeros in some specific rectangles. In the second chapter we prove that for some particular approximations of the Riemann's zeta functions, i. e., the partial sums, there is density in the real parts of its simple zeros in some intervals of their respective critical strips. The results of this chapter can be found in [14]. In the third chapter, using arithmetic and completely multiplicative functions, we offer a method to carry a topological property of the zeros of some exponential polynomials named Dirichlet polynomials. We use the Bohr-equivalence theorem which is usually used for Dirichlet series. We show that we can use it for Dirichlet poynomials too and we obtain an explicit method to construct polynomials with the desired property. In the fourth chapter we introduce the notion of nonlattice fractal strings and then we prove the conjetures of Michel Lapidus and Machiel van Frankenhuysen (see [30]), which have a relation with the density of the real parts of the zeros of Dirichlet polynomials associated to such strings. These results appear in [13]. In the last chapter we present some results on the relation between Dirichlet polynomials and differential equations in differences of neutral type. We prove a result on unstability for such equations and using the previous result we will create some equivalent classes of differential equations with unstability. At the end of each chapter, we present some open problems which could be further developed in future research.

Las t-estructuras en categorías trianguladas fueron introducidas a principios de los ochenta del último siglo por Beilinson, Bernstein y Deligne [BBD], en su estudio de los haces perversos sobre una variedad analítica o algebraica. El descubrimiento fundamental de este concepto era la existencia de una categoría abeliana “escondida”, llamada por ellos el corazón de la t-estructura, que permitía el desarrollo de una teoría de homología intrínseca dentro de la propia categoría triangulada en cuestión. Surge de manera natural las siguientes cuestiones: 1. ¿Cuándo el corazón de una t-estructura es una categoría de Grothendieck?. 2. ¿Cuándo es él una categoría de módulos?. Lo inabordable de la pregunta, ha hecho que sólo se estudien casos particulares de la misma, estableciendo condiciones en la t-estructura así como también en la categoría triangulada en cuestión. De hecho, todos los trabajos que conocemos en está dirección, están concentrados en la llamada t-estructura de Happel-Reiten-Smalo (ver [CGM], [CG], [CMT], [HKM] y [MT]). En esta tesis, se abordaron las cuestiones 1 y 2, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo, solventado algunos casos que no fueron cubiertos en los trabajos [CGM], [CG], [CMT], [HKM] y [MT]. Por otra parte, una de las novedades de esta tesis, fue el estudiar las cuestiones 1 y 2, para t-estructuras más generales que el caso de Happel-Reiten-Smalo. En el capítulo 5 se estudia el corazón de las t-estructuras compactamente generadas en la categoría derivada de un anillo conmutativo Noetheriano. A continuación, daremos una lista de los resultados más relevantes de esta tesis. Resultados Cuestión 1, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo: En este caso, fijamos una categoría de Grothendieck G y un par de torsión t = (T,F) en G y denotaremos por Ht el corazón de la t-estructura asociada en D(G). En primera instancia se mostró que Ht es una categoría abeliana AB5 si, y sólo si, los funtores de homologías Hk: Ht → G, conmutan con límites directos, para todo entero k. También probamos que si Ht es una categoría de Grothendieck entonces F es cerrada para límites directos en G. Como una consecuencia de nuestros resultados, para los pares de torsión inclinantes y coinclinantes, se logro dar resultados más allá de la condición de Grothendieck, generalizando algunos resultados de [CMT] y [BK]. Cuestión 2, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo: En este caso, el par de torsión t = (T,F) se fija en la categoría de módulos R-Mod sobre un anillo asociativo con unidad R. En el capítulo 4, se da respuesta definitiva a esta cuestión, en términos de un progenerador de Ht. Aprovechando dicho resultado, en el caso de pares de torsión introducidos por Hoshino, Kato y Miyachi, llamados pares de torsión HKM en lo que sigue, establecimos la relación precisa entre un complejo HKM que define el par de torsión y progenerador de Ht. Como consecuencia, se muestra un ejemplo de un complejo HKM que no está en el corazón y otro ejemplo de un par de torsión que no es un par de torsión HKM, cuyo corazón es una categoría de módulos. Por otra parte, para los pares de torsión hereditarios las condiciones que deben exigirse a un complejo para ser un progenerador de Ht se simplifican, surgiendo de manera natural las ternas TTF(=torsion torsionfree). En el caso en que suponemos que t = (T,F) es la parte derecha de una terna TTF en R-Mod, bajo unas hipótesis suficientemente generales, las condiciones a exigir al complejo, quedan reducidas. Otra pregunta natural que surge es la de encontrar un progenerador de Ht que sea lo más sencillo posible. En la tesis se estudiamos cuándo dicho progenerador puede ser elegido de manera que sea una suma directa de tallos. En el caso de un solo tallo, se logra dar un ejemplo de un par de torsión no inclinante cuyo corazón es una categoría de módulos que admite un progenerador de la forma V[0] para algún módulo V en T. Cuestiones 1 y 2, para las t-estructuras compactamente generadas en la categoría derivada de un anillo conmutativo Noetheriano: Alonso, Jeremías y Saorín [AJS], clasifican las t-estructuras compactamente generada en D(R), donde R es un anillo conmutativo Noetheriano, en términos de filtraciones por soportes del espectro de R. Denotaremos por Ф tal filtración, y por HФ el corazón de la t-estructura asociada en D(R). Primero probamos que HФ siempre tiene un generador, así la cuestión 1 se reduce a determinar cuándo dicho corazón es una categoría abeliana AB5. Luego probamos que si Ф es una filtración acotada por la izquierda, entonces HФ es AB5 y por lo tanto, es una categoría de Grothendieck. A diferencia de la cuestión 1, la cuestión 2 es totalmente cubierta en la tesis. En esta repsuesta, la categoría cociente de R-Mod por una clase de torsión hereditaria juega un papel importante. Referencias [AJS] L. Alonso, A. Jeremías, M. Saorín, Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherian ring, Journal of Algebra, 324 (2010), 313-346. [BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux Pervers”. Analysis and topology on singulas spaces, I, Luminy 1981, Astèrisque. 100. Soc. Math. France, Paris. (1982), 5-171. [BK] A.B. Buan, H. Krause, Cotilting modules over tame hereditary algebras. Pacific J. Math 211(1)(2003), 41-59. [CG] R. Colpi, E. Gregorio, The Heart of cotilting theory pair is a Grothendieck category, Preprint. [CGM] R. Colpi, E. Gregorio, F. Mantese, On the Heart of a faithful torsion theory, Journal of Algebra, 307 (2007), 841-863 [CMT] R. Colpi, F. Mantese, A. Tonolo, When the heart of a faithful torsion pair is a module category, Journal of Pure and Applied Algebra, 215 (2011) 2923-2936. [HRS] D. Happel, I. Reiten, S.O. Smalo, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996). [HKM] M. Hoshino, Y. Kato, J-I. Miyachi, On t-structures and torsion theories induced by compact objects, Journal of Pure and Applied Algebra, 167 (2002), 15-35. [MT] F. Mantese, A. Tonolo, On the heart associated with a torsion pair, Topology and its Applications, 159 (2012), 2483-2489. / T-structures on triangulated categories were introduced in the early eighties of last century by Beilinson, Bernstein and Deligne [BBD] in their study of perverse sheaves on an analytic or an algebraic variety. The main discovery of this concept was the existence of a 'hidden' abelian category, called by them the heart of the t-structure, which allowed the development of a homology theory that is intrinsic to the triangulated category. In a natural way the following questions arise: 1. When is the heart of a t-structure a Grothendieck category? 2. When is it a category of modules? The intractability of the questions has led to study only particular cases of them, by establishing conditions on the t-structure as well as on the triangulated category in question. In fact, all the works that we know of in this respect are focused on the so-called t-structure of Happel-Reiten-Smalo (see [CGM], [CG], [CMT], [HKM] and [MT]). In this thesis, we tackled questions 1 and 2 above for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo and solved some cases that were not covered in the work [CGM], [CG], [CMT], [HKM] and [MT]. On the other hand, one of the novelties of the thesis was to study questions 1 and 2, for t-structures more general than the Happel-Reiten-Smalo case. In chapter 5 we study the heart of compactly generated t-structures in the derived category of a commutative Noetherian ring. In the sequel we give a list of the most relevant results in the thesis. Results Question 1, for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo: In this case, we fix a Grothendieck category G and a torsion pair t=(T,F) in G and we will denote by Ht the heart of the associated t-structure in D(G). First, we proved that Ht is an AB5 abelian category if, and only if, the homology functors Hk: Ht → G commute with direct limits, for each integer k. We also proved that if Ht is a Grothendieck category then F is closed under taking direct limits in G. As a consequence of our results, for tilting and cotilting torsion pairs we managed to give results further than the Grothendieck case, generalizing results from [CMT] and [BK]. Question 2, for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo: In this case, the torsion pair t=(T,F) is fixed in the module category R-Mod over an associative ring with unit R. In chapter 4 a definitive answer to the question is given, in terms of a progenerator of Ht. Taking advantage of this result, in the case of the torsion pairs introduced by Hoshino, Kato and Miyachi, called HKM torsion pairs in the sequel, we established the precise relationship between an HKM complex which defines the torsion pair and the progenerator of Ht. As a consequence, we show an example of an HKM complex which is not in the heart and another example of a non-HKM torsion pair whose heart is a module category. On the other hand, for hereditary torsion pairs, the conditions to impose to a complex in order for it to be a progenerator of Ht get simplified, appearing in a natural way the TTF (=torsion torsionfree) triples. When we assume that t=(T,F) is the right constituent pair of a TTF triple in R-Mod, under sufficiently general hypotheses, the conditions to impose to the complex get reduced. Another natural by-side question which arises is that of finding a progenerator of Ht which is the simplest possible. In the thesis we study when such a progenerator can be chosen to be a direct sum of stalk complexes. In the case of a unique stalk complexes, we manage to give an example of a non-tilting torsion pair whose heart is a module category which admits a progenerator of the form V[0], for some module V in T. Questions 1 y 2, for compactly genrated t-structures in the derived category of a commutative Noetherian ring: Alonso, Jeremías and Saorín [AJS] classify the compactly generated t-structres in D(R), where R is a commutative Noetherian ring, in terms of filtrations by supports of the spectrum of R. We will denote by Φ such a filtration and by HΦ the heart of the associated t-structure in D(R). We first proved that HΦ always has a generator, so that question 1 reduces to determine when this heart is an AB5 abelian category. We then proved that if Φ is a left bounded filtration, then HΦ is AB5 and, hence, a Grothendieck category. Unlike question 1, question 2 has been completely answered in the thesis. In this answer the quotient category of R-Mod by a hereditary torsion class plays a very important role. References [AJS] L. Alonso, A. Jeremías, M. Saorín, Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherian ring, Journal of Algebra, 324 (2010), 313-346. [BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux Pervers”. Analysis and topology on singulas spaces, I, Luminy 1981, Astèrisque. 100. Soc. Math. France, Paris. (1982), 5-171. [BK] A.B. Buan, H. Krause, Cotilting modules over tame hereditary algebras. Pacific J. Math 211(1)(2003), 41-59. [CG] R. Colpi, E. Gregorio, The Heart of cotilting theory pair is a Grothendieck category, Preprint. [CGM] R. Colpi, E. Gregorio, F. Mantese, On the Heart of a faithful torsion theory, Journal of Algebra, 307 (2007), 841-863 [CMT] R. Colpi, F. Mantese, A. Tonolo, When the heart of a faithful torsion pair is a module category, Journal of Pure and Applied Algebra, 215 (2011) 2923-2936. [HRS] D. Happel, I. Reiten, S.O. Smalo, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996). [HKM] M. Hoshino, Y. Kato, J-I. Miyachi, On t-structures and torsion theories induced by compact objects, Journal of Pure and Applied Algebra, 167 (2002), 15-35. [MT] F. Mantese, A. Tonolo, On the heart associated with a torsion pair, Topology and its Applications, 159 (2012), 2483-2489.

Esta Tesis Doctoral está enmarcada dentro del área del Álgebra, concretamente, de los Anillos de Grupo. El objetivo principal de la misma es el estudio del grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito. El primer trabajo que se conoció sobre este grupo de unidades lo presento Higman en 1940 en su tesis doctoral. Éste describe el grupo de unidades para el anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo abeliano y como consecuencia de este resultado se tiene que las unidades centrales del anillo de grupo con coeficientes enteros no son mas que las triviales. A partir de este momento, muchos autores se interesaron en dicho grupo de unidades. Sobre este grupo de unidades se sabe que es finitamente generado, pero no se conoce un conjunto finito de generadores, y que en muchos casos contiene un subgrupo libre de rango dos. También se ha intentado describir las unidades de orden finito y los subgrupos finitos de este grupo de unidades. Justamente este es el propósito de las tres Conjeturas de Zassenhaus, planteadas por Hans Zassenhaus en los años sesenta. Unos años después se presento un contraejemplo para dos de ellas. Otro punto interesante sobre el grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito, es conocer sus subgrupos de índice finito. Problemas como el de los subgrupos de congruencia traducidos a este contexto son de gran ayuda para este propósito. En esta Tesis hemos abordado dos problemas clásicos como son la Conjetura de Zassenhaus y el Problema de los Subgrupos de Congruencia para anillos de grupo con coeficientes enteros. Durante la realización de la Tesis doctoral, localizamos y estudiamos en profundidad la bibliografía existente relacionada con nuestro objeto de estudio. Establecimos contacto continuo con expertos en la materia y realice una estancia de tres meses en la Universidad Libre de Bruselas. El fruto de este trabajo se vio reflejado en los artículos “Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups” el cual esta aceptado en “Journal of the London Mathematical Society” y “On the Congruence Subgroup Problem for integral group rings” el cual esta sometido. La monografía, que consta de una introducción, tres capítulos y las conclusiones, está dividida principalmente en dos partes. Uno de los tópicos centrales es la Conjetura de Zassenhaus. Esta pretende describir las unidades de orden finito del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito. Nuestra aportación principal en este aspecto consiste en probar la Conjetura de Zassenhaus para grupos cíclicos-por-abelianos. El segundo problema que abordamos es el de clasificar los grupos finitos para los cuales el grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros tiene núcleo de congruencia finito. Desafortunadamente en este problema encontramos un gran obstáculo, por lo que dimos una clasificación muy cercana a la planteada originalmente y que resulta de gran utilidad porque nos da mucha información sobre los subgrupos de índice finito del anillo de grupo con coeficientes enteros. / This thesis is placed in the general framework of Algebra, concretely, in Group Rings. The main aim of it is to study the group of units of the integral group ring of a finite group. Higman presented the first work about this group of units in 1940 in his thesis. It describe the group of units of the integral group ring of an abelian group, moreover shows that the central units are exactly the trivial ones. From here, it has attracted the interest of many authors. About the group of units of the integral group ring of a finite group we know that it is finite generated, however a finite set of generators is not known in general, and also it contains in many cases a free subgroup of rank two. On the other hand, many authors have attempted to describe the units of finite order and the finite subgroups of such group of units. This is just the goal of the three Zassenhaus conjectures, posed by Hans Zassenhaus in the 60s. Some years later, a counterexample for two of them appeared. Another interesting point on the group of units of the integral group ring of a finite group is to know its subgroups of finite index. One way to do so is to translate the Congruence Subgroup Problem to the context of integral group rings. In this thesis we have addressed two classical problems, namely Zassenhaus Conjecture and the Congruence Subgroup Problem for integral group rings of a finite group. During the realization of this thesis, we found and study in depth the existing literature concerning our subject. We established contact with experts and I did my stay in “Vrije Universiteit Brussel”. This work has given rise to my two papers “Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups ” which is accepted in “Journal of the London Mathematical Society” and “On the Congruence Subgroup Problem for integral group rings ” which is submitted. The monograph, consisting of an introduction, three chapters and the conclusions, is divided into two parts. A central topic is the Zassenhaus Conjecture. This tries to describe the units of finite order of the integral group ring of a finite group. Our main contribution consists in proving the Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups. Later on we deal with the problem of classifying the finite groups for which the group of units of the integral group ring has finite congruence kernel. Unfortunately, in this problem we encountered an obstacle. So we give a classification, which is very close to the original one, and it gives us relevant information on the subgroups of finite index of the group of units of the integral group ring of a finite group.

Esta Tesis Doctoral está enmarcada dentro del área del Álgebra, concretamente, de la Teoría de Representación de Álgebras. El objetivo principal de la misma es el estudio de propiedades homológicas de una clase de álgebras finito dimensionales conocidas como Álgebras de malla finito dimensionales. Dichas álgebras, introducidas por primera vez por K. Erdmann y A. Skowronski en 2008, surgieron como generalización de las álgebras preproyectivas y han suscitado un gran interés en los últimos años en el contexto general de las álgebras finito dimensionales. Entre otras, cabe destacar su aplicación en problemas de álgebras de conglomerado, grupos cuánticos, clasificación de ecuaciones diferenciales, singularidades de Klenian y geometría diferencial. Durante el primer periodo de la realización de la Tesis doctoral, localizamos y estudiamos en profundidad la bibliografía existente relacionada con nuestro objeto de estudio. Establecimos contacto continuo con expertos en la materia e incluso tuve la oportunidad de trabajar con Karin Erdmann durante mis tres meses de estancia en la Universidad de Oxford. El fruto de este trabajo se vio reflejado en mis dos primeros artículos publicados “The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln” y “The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln over a field of characteristic 2”. La monografía, que consta de un total de 6 capítulos, está dividida en dos partes. Uno de los tópicos centrales es el anillo de cohomología de Hochschild de un álgebra. Este anillo tiene una notable influencia en diversas partes de las matemáticas como el Álgebra Conmutativa, la Teoría de Anillos, la Geometría Conmutativa y no Conmutativa, la Teoría de Representación, la Física Matemática, … Además, su estructura multiplicativa está estrechamente relacionada con el estudio de las variedades de módulos y su álgebra de Yoneda. La definición del anillo de cohomología de Hochschild es bien sencilla, sin embargo, muy poco se sabe acerca de él. Es más, en la gran mayoría de los casos resulta extremadamente difícil calcularlo. Nuestra aportación principal en este aspecto consiste en la descripción explícita, mediante generadores y relaciones, de la estructura multiplicativa del anillo de cohomología de Hochschild de las álgebras de malla finito dimensionales de tipo Ln y Bn. Nuestras conclusiones resultan sorprendentes pues muestran grandes diferencias en el comportamiento de dicho anillo asociado no sólo a distintas álgebras, sino a una misma álgebra. Por otra parte, abordamos las propiedades homológicas de simetría, periodo y dimensión de Calabi-Yau de las álgebras de malla finito dimensionales. Consideramos primeramente la simetría y, como resultado, identificamos aquellas álgebras que son débilmente simétricas y las que son a su vez simétricas. A pesar de que una de las características más conocidas de estas álgebras es que son periódicas, sólo en muy pocos casos se ha conseguido calcular su periodo. En esta Tesis calculamos explícitamente el periodo de cada una de ellas. Finalmente tratamos la noción Calabi-Yau, definida por M.Kontsevich a finales de los años 90 y que ha sido intensamente estudiada por muchos matemáticos en los últimos años. Nuestro resultado principal es la caracterización de las álgebras de malla finito dimensionales que son establemente Calabi-Yau y Calaib-Yau Frobenius. Además, en tal caso, calculamos ambas dimensiones probando que, a pesar de que en la mayoría de los casos coinciden, no siempre son iguales, hecho que a día de hoy era desconocido. / This thesis is placed in the general framework of Algebra, concretely, in Representation Theory of Algebras. The main aim of it is to study homological properties of a class of finite dimensional algebras known as finite dimensional mesh algebras. Such algebras, first introduced by K. Erdmann and A. Skowronski in 2008, arise as a generalization of preprojective algebras and have attracted great interest in the general context of finite dimensional algebras in recent years. Among others, it is worth mentioning their application to problems related with cluster algebras, quantum groups, classification of differential equations, Klenian singularities and differential geometry. During the first period of the realization of this thesis, we found and study in depth the existing literature concerning our subject. We established contact with experts and I even had the opportunity of working with K. Erdmann for three months during my stay at University of Oxford. This work have given rise to my two first published papers “The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln” y “The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln over a field of characteristic 2”. The monograph, consisting of six chapters, is divided into two parts. A central topic is the Hochschild cohomology ring of an algebra. This ring has great influence in many diverse areas of mathematics such as commutative algebra, ring theory, commutative and noncommutative geometry, representation theory, mathematical physics, … Also, its multiplicative structure is closely related to the study of module varieties and its Yoneda algebra. The definition of the ring is quite simple , however, only little information is known. Moreover, in most of the cases is extremely difficult the computation. Our main contribution consists of an explicit description, by means of generators and relators, of the multiplicative structure of the Hochschild cohomology ring of the finite dimensional mesh algebras of type Ln and Bn. Our conclusions are surprising since they show big differences in the behavior of this ring associated not only to two different algebras but also to the same one. On the other hand, we deal with the homological properties of symmetry, period and Calabi-Yau dimension of finite dimensional mesh algebras. We first consider the symmetry and, as a result, we identify those algebras being weakly symmetric and those which are in turn symmetric. Despite of the fact that it is well known that finite dimensional mesh algebras are periodic, the precise calculation of the period is only known in a few cases. In this thesis, we explicitly compute the period of any of this algebras. Finally, we deal with the Calabi-Yau notion, defined by M. Kontsevich in the late 90s and that has been intensively studied by many mathematicians in recent years. Our main result is the characterization of the stably Calabi-Yau and Calabi-Yau Frobenius finite dimensional mesh algebras. Moreover, in this case, we compute both dimensions showing that they need not to be equal, an unknown fact so far.

Cette thèse est composée de trois parties principales : les calculs des courbes médiatrices de deux courbes ou d’un point et d’une courbe dans le plan, des surfaces médiatrices de deux surfaces dans R3, et du diagramme de Voronoï d’une famille finie de demi-droites parallèles de même orientation. Ces trois sujets sont étroitement liés et trouvent des applications dans le domaine de la CAO/CGAO et de la géométrie algorithmique. Dans ces trois sujets, nous allons présenter des méthodes algorithmiques pour obtenir une certaine représentation de l’objet qui nous intéresse : la courbe médiatrice, la surface médiatrice ou le diagramme de Voronoï. En utilisant la règle de Cramer généralisée et certaines méthodes d’élimination, nous présentons une nouvelle approche pour déterminer une paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la courbe médiatrice de deux courbes planes rationnelles. L’approche est, ensuite, généralisée pour déterminer une paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la surface médiatrice de deux surfaces rationnelles de petit degré. La méthode est appliquée pour obtenir les paramétrisations de la médiatrice de deux courbes planes rationnelles, dans lesquelles une des courbes est un cercle ou une droite. D’autre part, nous montrons, aussi, comment il est facile d’obtenir les paramétrisations de la médiatrice de paires de surfaces suivantes : plan-quadrique, plan-tore, cylindre circulaire-quadrique non développable, cylindre circulaire-tore, cylindre-cylindre, cylindre-cône et cônecône. Les paramétrisations obtenues sont rationnelles dans la plupart des cas. Dans le reste des cas, les paramétrisations contiennent de racines carrées qui est bien adopté pour determiner une bonne approximation de la médiatrice. Nous présentons aussi une différente approche traitant du problème de la courbe médiatrice plane. Cette nouvelle méthode utilise la couleur dynamique en GeoGebra pour les caractérisations géométrique et numérique de la courbe médiatrice de deux objets géométriques dans le plan (deux courbes, ou une courbe et un point). Même si elle ne fournit pas de représentation algébrique, la méthode peut conduire au calcul d’une représentation approximative de la courbe médiatrice. Le diagramme de Voronoï (VD) est une structure de données fondamentale de la géométrie algorithmique avec des applications très variées dans des domaines théoriques et pratiques. Nous considérons le VD d’un ensemble fini de demi-droites parallèles de même orientation restreint à un domaine compact D0 ⊂ R3 pour la distance euclidienne. Ce nouveau type de VD peut être utilisé pour apporter des réponses efficaces à certains problèmes dans l’industrie de forage, tels que l’hydraulique ou la mine. Nous présentons un algorithme approximatif efficace pour le calcul de tel VD, en utilisant le processus de subdivision produisant un maillage qui représente la topologie de VD dans D0. / Este trabajo consta de tres partes principales : el calculo de las bisectrices de dos curvas o de un punto y una curva en el plano, de la superficie bisectriz de dos superficies en R3, y del diagrama de Voronoi de una familia finita de semirrectas paralelas y con la misma orientación en R3. Estos temas están estrechamente relacionados y tienen aplicaciones en CAD/CAGD y en Geometría Computacional. Se presenta un nuevo método para determinar, utilizando la regla de Cramer generalizada y métodos de eliminación adecuados, una parametrización algebraica exacta (racional o no racional) de la curva bisectriz de dos curvas planas racionales dadas. Este método se generaliza para determinar una parametrización algebraica exacta de la superficie bisectriz de dos superficies racionales de grado bajo. El método se aplica, en particular, para obtener parametrizaciones de la bisectriz de dos curvas planas racionales, cuando una de ellas es una circunferencia o una recta. Por otro lado, se muestra cómo obtener fácilmente una parametrizacin de la bisectriz de los siguientes pares de superficies : plano y cuádrica, plano y toro, cilindro circular y cuádrica no desarrollable, cilindro circular y toro, dos cilindros, cilindro y cono, y dos conos. Estas parametrizaciones son racionales en la mayora de los casos. En los casos restantes, la parametrización contiene una raíz cuadrada, que resulta adecuada para determinar una buena aproximación de la bisectriz. Además, se presenta un enfoque diferente para el problema de la curva bisectriz plana. Este nuevo método utiliza color dinámico en GeoGebra para el cálculo de una caracterización geométrica y numérica de la bisectriz de dos objetos geométricos en el plano (dos curvas, o una curva y un punto). Aunque no proporciona una representación algebraica, el método permite el cálculo de una representación aproximada de la curva bisectriz. El diagrama de Voronoi (DV) es una estructura de datos fundamental en geometría computacional con diversas aplicaciones en distintas áreas teóricas y prácticas. Se estudia el DV de un conjunto de semirrectas paralelas y con la misma orientación, restringidas a un dominio compacto D0 ⊂ R3, con respecto a la distancia euclidiana. Este nuevo tipo de DV se puede utilizar para proporcionar una solución eficiente a algunos problemas relacionados con la perforación, en industrias tales como la hidráulica o la minería. Se presenta un algoritmo eficiente para calcular una aproximación de un DV de esa clase, utilizando un proceso de subdivisión, que produce una malla que representa correctamente la topología del DV. / This thesis has three main parts: computation of the bisectors of two curves or a point and a curve in the plane, of the bisector of two surfaces in R3, and of the Voronoi diagram of a finite family of parallel half lines in R3, with the same orientation. These subjects are closely related, and have applications in CAD/CAGD and Computational Geometry. In each of the three parts, we present algorithmic methods for computing certain representations of the geometric object of interest: the bisector curve, the bisector surface, or the Voronoi diagram. We present a new approach to determine, using the generalized Cramer’s rule and suitable elimination steps, an exact algebraic parameterization (rational or non rational) of the bisector curve of two given planar rational curves. The approach is, then, generalized to determine an exact algebraic parameterization of the bisector surface of two low degree rational surfaces. In particular, we apply the method to obtain parametrizations of the bisector of two rational plane curves, when one of them is a circle or a straight line. On the other hand, we show how to easily obtain parametrizations of the bisector of the following pairs of surfaces: planequadric, plane-torus, circular cylinder-non developable quadric, circular cylindertorus, cylinder-cylinder, cylinder-cone and cone-cone. These parametrizations are rational in most cases. In the remaining cases the parametrization involves one square root which is well-suited to determine a good approximation of the bisector. In addition, a different approach for the bisector curve problem will be presented. This new method uses dynamic color in GeoGebra for the computation of a geometric and numerical characterization of the bisector of two planar geometric objects (two curves, or a curve and a point). Even if it does not provide an algebraic representation, the method could lead to the computation of an approximate representation of the bisector curve. The Voronoï diagram (VD) is a fundamental data structure in computational geometry with various applications in theoretical and practical areas. We consider the VD of a set of parallel half-lines, with the same orientation, constrained to a compact domain D0 ⊂ R3, with respect to the Euclidean distance. This new kind of VD can be used to provide an efficient solution to some problems in the drilling industry, such as hydraulic or mining. We present an efficient approximate algorithm for computing such VD, using a box subdivision process, which produces a mesh representing the topology of the VD in D0.

La interferencia supone el mayor factor limitante de las redes de comunicaciones inalámbricas. En contraposición a las técnicas de gestión actual de la misma, consistentes en repartir los recursos disponibles entre los usuarios de manera ortogonal, esta tesis proporciona un amplio estudio de técnicas de cooperación entre usuarios, que, sustentándose en resultados de teoría de la información, tienen como objetivo gestionar la interferencia de manera activa y, en consecuencia, más eficiente. La tesis se centra en el diseño de algoritmos y empleo de técnicas de optimización para diseñar las estrategias de transmisión en tres escenarios cooperativos distintos: el canal de interferencia, el modelo de radio cognitiva subyacente y el canal de repetición bidireccional. Cada uno de estos escenarios presenta diferentes necesidades y objetivos en cuanto a cooperación y tratamiento de interferencias, y recogen gran parte de las características y problemas prácticos que rodean la cooperación multiusuario. / Interference is one of the major limiting factors in wireless communication networks. Contrarily to current interference management techniques, consisting in an orthogonal resource sharing among users, this thesis provides a wide study on multiuser cooperation, which, based upon information theory results, aims at an active treatment of interference and, consequently, more efficient. This thesis focuses on algorithm design and optimization techniques to design transmission strategies in three different cooperative scenarios: the interference channel, the underlay cognitive radio model and the two-way relay channel. Each of these scenarios presents varying cooperation needs and interference management goals, and they capture some of the main features and practical issues of multiuser cooperation.