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The primary topic of this thesis is the Galois group of an irreducible Salem polynomial and how the precise structure of the roots of such a polynomial is reflected in its Galois group. The main goal is the proof of the structure of these Galois groups always being a Semidirect product N x G/N. This is a stronger result than is known for reciprocal polynomials in general: [37]. Here N will be a certain normal subgroup of the Galois group, G, of our irreducible Salem polynomial f(x), and G/IN ~ Galois group of the Trace polynomial g(y), for f(x) = xdg(x+ 1/x) and f(x) being of degree 2d. We give here an overview of our work. • In Chapter 1 we give some basic prerequisites for our work and we conclude with the result stated in [19] about the Galois group of a Salem polynomial. • In Chapter 2 we give an introduction on what will follow on the structure of an irreducible Salem polynomial of degree six. • Chapter 3 plays two roles. On the one hand it includes material concerning the structure of the Galois group of an irreducible Salem polynomial of minimum order. On the other hand it demonstrates how the structure of the roots of a Salem polynomial can be used to exclude certain groups from being Galois groups of these polynomials. Here we exclude the Dihedral group. • In Chapter 4 we answer the question of when the smallest order Galois group can occur and what the structure of the Galois field will be in that case. • In Chapter 5 we give some background on group extensions. We conclude with demonstrating how in some cases the Galois group is a Semidirect product and what is preventing us from extending this to every Galois group of an irreducible Salem polynomial. • In Chapter 6 we prove that the Galois group of a degree six irreducible Salem polynomial will always be the Semidirect product stated above. • In Chapter 7 we analyse the Discriminant of these polynomials.

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On s'intéresse dans cette thèse à des questions portant sur les spécialisations de revêtements algébriques (galoisiens ou non). Le thème central de la première partie de ce travail est la construction de spécialisations de n'importe quel revêtement galoisien de la droite projective de groupe G défini sur k dont on impose d'une part le comportement local en un nombre fini d'idéaux premiers de k et dont on assure d'autre part qu'elles restent de groupe G si le corps k est hilbertien. Dans la deuxième partie, on développe une méthode générale pour qu'un revêtement galoisien f de la droite projective de groupe G défini sur k vérifie la propriété suivante : étant donné un sous-groupe H de G, il existe au moins une extension galoisienne de k de groupe H qui n'est pas spécialisation du revêtement f. De nombreux exemples sont donnés. La troisième partie consiste en l'étude de la question suivante : une extension galoisienne F/k, ou plus généralement une k-algèbre étale ∏ Fl /k, est-elle la spécialisation d'un revêtement d'une variété B défini sur k (galoisien ou non) en un certain point k-rationnel de B non-ramifié ? Notre principal outil est un twisting lemma qui réduit la question à trouver des points k-rationnels sur certaines k-variétés que nous étudions ensuite pour des corps de base k variés. / We are interested in this thesis in some questions concerning specializations of algebraic covers (Galois or not). The main theme of the first part consists in producing some specializations of any Galois cover of the projective line of group G defined over k with specified local behavior at finitely many given primes of k and which each have in addition Galois group G if k is assumed to be hilbertian. In the second part, we offer a systematic approach for a given Galois cover f of the projective line of group G defined over k to satisfy the following property: given a subgroup H of G, at least one Galois extension of k of group H is not a specialization of the cover f. Many examples are given. The central question of the third part is whether a given Galois extension F/k, or more generally a given k-étale algebra ∏ Fl /k, is the specialization of a given cover of a variety B defined over k (Galois or not) at some unramified k-rational point of B ? Our main tool is a twisting lemma which reduces the problem to finding k-rational points on some k-varieties which we then study for various base fields k.

Nous contribuons à la conjecture de Malle sur le nombre d'extensions galoisiennes finies E d'un corps de nombres K donné, de groupe de Galois G et dont la norme du discriminant est bornée par y. Nous établissons une minoration de ce nombre pour tout groupe fini G et sur tout corps de nombres K contenant un certain corps de nombres K'. Pour ce faire, on part d'une extension galoisienne régulière F/K(T) que l'on spécialise. On démontre une version forte du théorème d'Irréductibilté de Hilbert qui compte le nombre d'extensions spécialisées et pas seulement le nombre de points de spécialisation. Nous arrivons aussi à prescrire le comportement local en certains premiers des extensions spécialisées. En conséquence, on déduit de nouveaux résultats sur le problème local-global de Grunwald, en particulier pour certains groupes non résolubles. Afin d'arriver à nos fins, nous démontrons des résultats en géométrie diophantienne sur la recherche de points entiers sur des courbes algébriques. / We contribute to the Malle conjecture on the number of finite Galois extensions E of some number field K of Galois group G and of discriminant of norm bounded by y. We establish a lower bound for every group G and every number field K containing a certain number field K'. To achieve this goal, we start from a regular Galois extension F/K(T) that we specialize. We prove a strong version of the Hilbert Irreducibility Theorem which counts the number of specialized extensions and not only the specialization points. We can also prescribe the local behaviour of the specialized extensions at some primes. Consequently, we deduce new results on the local-global Grunwald problem, in particular for some non-solvable groups. To reach our goals, we prove some results in diophantine geometry about the number of integral points on an algebraic curve.