No description available.

Let n be a natural number and E an n-dimensional vector space over a field K. The symmetric group acts by place permutation on the tensor space E ⊗r. The Sigmar-module E⊗r can be decomposed into a direct sum of permutation modules Mlambda where lambda is a composition of r into at most n parts.;Each permutation module labelled by such a composition is isomorphic to one labelled be a partition of r into at most n parts, and therefore we assume that lambda is such a partition. The indecomposable direct summands of the permutation module M lambda are called Young modules, and they are labelled by partitions of r into at most n parts.;Throughout this thesis we consider the case where E has dimension two. For lambda a two-part partition of r, we explicitly decompose the module M lambda into a direct sum of Young modules by providing spanning sets for the Young modules.;Moreover, we consider the problem of finding a basis or an algorithm for a basis for the Young modules in this case and, although we have not been able to solve this in general, we give some conjectures and examples showing in which cases we can find a basis.

Η διπλωματική εργασία κινείται γύρω από το θεώρημα Quillen-Suslin (1976): “Κάθε πεπερασμένα γενόμενο προβολικό module επί του δακτυλίου των πολυωνύμων k[x_1,…,x_m ] (όπου k σώμα) είναι ελεύθερο”. Το πρόβλημα ξεκίνησε το 1955, όταν ο J. P. Serre, σε υποσημείωση της ένδοξης εργασίας του “Faisceaux Algebriques Coherents” (σελίδα 243), σημειώνει: “ On ignore s’il existe des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres” (A=k[x_1,…x_m ], k σώμα).* Το πρόβλημα λύθηκε από τους Quillen και Suslin (ανεξάρτητα) είκοσι χρόνια μετά. Για την απόδειξη του θεωρήματος είναι απαραίτητο το αποτέλεσμα που οφείλεται στον ίδιο τον Serre (1958): “ Κάθε πεπερασμένα γενόμενο προβολικό k[x_1,…,x_m ]-module P είναι σταθερά ελεύθερο” (δηλαδή το P δέχεται πεπερασμένα γενόμενο ελεύθερο συμπλήρωμα F, ώστε το P⊕F να είναι ελεύθερο). Στo Κεφάλαιο 2 αυτής της εργασίας, θα παρουσιάσουμε την απόδειξη του ανωτέρω θεωρήματος του Serre και τελικά, στο Κεφάλαιο 3, θα σκιαγραφήσουμε την απόδειξη του θεωρήματος Quillen-Suslin, με τη μέθοδο του Suslin. *Αγνοούμε αν υπάρχουν πεπερασμένα γενόμενα προβολικά A-modules που δεν είναι ελεύθερα. / This work is about the Quillen-Suslin Theorem (1976): “If k is a field , then every finitely generated projective k[x_1,…,x_m ]-module is free”. This problem started in 1955, when J.P. Serre, in his glorious paper “FaisceauxAlgebriquesCoherents” (page 243), noted: “On ignore s’ilexiste des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres ” (A=k[x_1,…x_m ],k is field).* This problem was solved from Quillen and Suslin (independently) twenty years after. For the proof of this theorem is necessary the result, due to Serre (1958): “Every finitely generated projective k[x_1,…,x_m ]-module P is stably free ” (ie. P admits a finitely generated free complement F, so that P⊕F is free). In Chapter 2 of this work, we will represent the proof of the above Serre’s Theorem and, finally, in Chapter 3, we will sketch the proof of Quillen-Suslin's Theorem, with Suslin’s method. *We ignore, if exist finitely generated projective A-modules, that they are not free.