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For any connected space <i>X</i> the James construction shows that Ω<span style='font-family:Symbol'>S<i>X</i> is universal in the category of homotopy associative <i>H</i>-spaces in the sense that any map <i>f</i>: <i>X </i><i><span style='font-family:Symbol'>® Y </i>to a homotopy associative <i>H</i>-space factors through a uniquely determined H-map. Let <i>p</i> be a fixed prime number, and <i>X</i> a space localised at <i>p</i>.  We study the possibility of generating a universal space <i>U(X)</i> from <i>X</i> which is universal in the category of homotopy associative, homotopy commutative <i>H</i>-spaces in the same way as the James construction of a connected space is universal in the category of homotopy associative <i>H-</i>spaces.  We develop a method for constructing certain universal spaces.  This method is used to show that the universal space <i>U(X)</i> exists for a certain three-cell complex X.  We use this specific example to derive some consequences for the calculation of the unstable homotopy groups of spheres, namely, we obtain a formula for the <i>d</i>₁-differential of the <i>EHP-</i>spectral sequence valid in a certain range. Finally, we apply the developed method to the family of certain two-cell complexes and obtain their universal spaces.  This result generalises the result of Cohen, Moore, Neisendorfer and Gray on the universal space of an odd dimensional <i>p-</i>primary Moore space.

In this thesis, we introduce some new notions in the derived category D+(fg) (R) of bounded below chain complexes of finite type over local commutative noetherian ring R with maximal ideal m and residue field K in chapter three and study their relations to each other. Also, we set up the Adams spectral sequence for chain complexes in D+(f,g) (R) in chapter four and study its convergence. To accomplish this task, we give two background chapters. We give some good account of chain complexes in chapter one. We review some basic homological algebra and give definition and basic properties of chain complexes. Then we study the homotopy category of chain complexes and we end chapter one with section about spectral sequences. Chapter two is about the derived category of a commutative ring. Section one is about localization of categories and left and right fractions. Then in section two, we give definition of triangulated categories and some of its basic properties and we end section two with definitions of homotopy limits and colimits. In section three, we show that the derived category is a triangulated category. In section four, we give definitions of the derived functors, the derived tensor product and the derived Hom. In chapter three, we start section one by giving some facts about local rings and we end this section by showing that every bounded below chain complex of finite type has a minimal free resolution. In section two, we show a derived analog of the Whitehead Theorem. In section three, we construct Postnikov towers for chain complexes. In section four, we define the Steenrod algebra. In section five, six and seven, we define irreducible, atomic, minimal atomic, no mod m detectable homology, H*-monogenic, nuclear chain complexes and the core of a chain complex. We show some various results relating these notions to each other and give some examples. In chapter four, we set up the Adams spectral sequence in section one and study its properties. In section two, we study homology localization and local homology. In section three, we define K[0]-nilpotent completion and we show that the Adams spectral sequence for a chain complex Y converges strongly to the homology of the K[0]-nilpotent completion of Y. In section four, we study the Adams spectral sequence’s convergence where we show that the K[0]-nilpotent completion for a bounded chain complex Y consisting of finitely generated free R­-modules in each degree is isomorphic to the localization of Y with respect to the H*(—, K)-theory. In section five, we present some examples.

Le but de cette thèse est de mettre en place une théorie d’homotopie générale pour les catégories de bigèbres différentielles graduées. Une première partie est consacrée au cas des catégories de bigèbres définies par un couple d’opérades en distribution. Les bigèbres classiques, les bigèbres de Lie, les bigèbres de Poisson fournissent des exemples de telles structures de bigèbres. Le résultat principal de cette partie montre que la catégorie des bigèbres associée a un couple d’opérades en distribution hérite d’une structure de catégorie de modèles. La notion de PROP donne un cadre pour étudier des structures de bigèbres générales, impliquant des opérations à plusieurs entrées et plusieurs sorties comme générateurs de la structure, par opposition aux opérades en distribution qui ne permettent de coder que des opérations à une seule entrée ou à une seule sortie seulement. Les PROPs forment une catégorie, dans laquelle on peut définir une notion d’objet cofibrant avec de bonnes propriétés homotopiques.La seconde partie de la thèse est consacrée à la théorie homotopique des bigèbres sur un PROP. Le résultat principal de la thèse est que les catégories de bigèbres associées à des PROPs cofibrants faiblement équivalents ont des catégories homotopiques équivalentes. En fait, on prouve un théorème plus précis qui donne une équivalence au niveau des localisations simpliciales des catégories. Notre théorème entraine que la catégorie des bigèbres associée à une résolution cofibrante d’un PROP donné P définit une notion de bigèbre à homotopie près sur P indépendante du choix de la résolution, et permet de donner un sens à des problèmes de réalisation homotopiques dans ce cadre. / The purpose of this thesis is to set up a general homotopy theory for categories of differential graded bialgebras. A first part is devoted to the case of bialgebras defined by a pair of operads in distribution. Classical bialgebras, Lie bialgebras and Poisson bialgebras provide examples of such bialgebra structures. The main result of this part asserts that the category of bialgebras associated to a pair of operads in distribution inherits a model category structure. The notion of a PROP provides a setting for the study of general bialgebras structures, involving operations with multiple inputs and multiple outputs as generators of the structure, in contrast to operads in distribution which only encode operations with either one single input or one single output. PROPs form a category, in which one can define a notion of cofibrant object with good homotopical properties. The second part of the thesis is devoted to the homotopy theory of bialgebras over a PROP. The main result of the thesis asserts that the categories of bialgebras associated to weakly equivalent cofibrant props have equivalent homotopy categories. We actually prove a more precise theorem asserting that this equivalence holds at the level of a simplicial localization of the categories. Our theorem implies that the category of bialgebras associated to a cofibrant resolution of a given PROP P defines a notion of bialgebra up to homotopy over P independent of the choice of the resolution, and enables us to give a sense to homotopical realization problems in this setting.

Nous adaptons la définition des sections de Postnikov et des tours de Postnikov des ensembles simpliciaux aux opérades simpliciales. Nous définissons ensuite des foncteurs de cotroncation afin de filtrer la tour de Postnikov d’une opérade simpliciale par les arités et former ainsi la double tour de Postnikov de cette opérade. Nous introduisons un nouveau type d’opérade, les gamma-opérades, où gamma désigne une opérade dans les groupoïdes. Nous les utilisons pour modéliser l’action de l’opérade groupoïde fondamental d’une opérade simpliciale sur ses groupes d’homotopies et son revêtement universel. Nous munissons la catégorie des gamma-opérades d’ensembles simpliciaux d’une structure de catégorie modèle. D’autre part, nous montrons que les gamma-opérades dans la catégorie des groupes abéliens munie de la structure monoïdale induite par la somme directe forment une catégorie abélienne. Cette catégorie abélienne fournit les coefficients pour la cohomologie équivariante opéradique que nous étudions ensuite. Une version relative de cette cohomologie est également étudiée. Nous définissons alors les invariants de Postnikov d’une opérade simpliciale. Ce sont des classes de cohomologie équivariante opéradique qui permettent de reconstruire inductivement et à homotopie près une opérade simpliciale à l’aide de sa double tour. Ce processus de reconstruction est utilisé afin de développer une théorie de l’obstruction pour les opérades simpliciales : on peut étendre un morphisme d’opérades simpliciales le long d’une cofibration si et seulement une suite de classes de cohomologie équivariante opéradique relative définie inductivement est nulle. / We adapt the definition of Postnikov sections and Postnikov towers of simplicial sets to simplicial operads. We then define cotruncation functors in order to filter the Postnikov tower of a simplicial operad by arity and form the Postnikov double tower of this operad. We introduce a new kind of operad, the gamma-operads with gamma a groupoid operad. We use them to model the action of the fundamental groupoid operad of a simplicial operad on its homotopy groups and its universal covering. We equip the category of gamma-operad in simplicial sets with a model structure. We also prove that the gamma-operads in the category of abelian group equipped with the monoidal structure induced by the direct sum form an abelian category. This abelian category provides the coefficients for the operadic equivariant cohomology we study afterward. Furthermore, we study a relative version of this cohomology. We thereafter define the Postnikov invariants of a simplicial operad. These are operadic equivariant cohomology classes which permit to reconstruct inductively and up to homotopy a simplicial operad by the mean of its double tower. This reconstruction process is used to develop an obstruction theory for simplicial operads : a simplicial operad morphism can be extended along a cofibration if an only if a sequence of relative operadic equivariant cohomology classes defined inductively vanishes.

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