Η Θεωρία Διαστάσεων είναι από τους παλαιότερους κλάδους της Γενικής Τοπολογίας και μελετά, εκτός των άλλων, τη μικρή επαγωγική διάσταση ind, τη μεγάλη διάσταση Ind και την επονομαζόμενη διάσταση της κάλυψης dim. Οι πρώτοι που έδωσαν αποτελέσματα στη θεωρία διαστάσεων είναι οι Poincare, Brouwer και Lebesgue. Κατά την κατασκευή από τον Ρeano, μιας συνεχούς απεικόνισης από ένα τμήμα επί ενός τετραγώνου, προέκυψε το πρόβλημα: «το κατά πόσον ένα τμήμα και ένα τετράγωνο είναι ομοιόμορφα» και γενικότερα «εάν ο n- κύβος I^n είναι ομοιόμορφος με τον m-κύβο I^m για n διφορετικό του m». Το πρόβλημα αυτό λύθηκε από τον Brouwer [1911] αποδεικνύοντας ότι αν n διαφορετικό του m τότε οι I^n και I^m δεν είναι ομοιόμορφοι. Οι Urysohn [1922, 1925, 1926] και Menger [1923,1924] απέδειξαν με τις εργασίες τους, ότι η θεωρία διαστάσεων είναι μία ανεξάρτητη περιοχή της Γενικής Τοπολογίας. Αυτοί ανέπτυξαν και διατύπωσαν ανεξάρτητα τη θεωρία της μικρής επαγωγικής διάστασης ind για την κλάση των συμπαγών μετρικών χώρων. Αυτή η θεωρία αργότερα επεκτάθηκε για την κλάση των διαχωρίσιμων μετρικών χώρων από τους Tumarkin [1925, 1926] και Hurewicz [1927]. Σήμερα, οι διαστάσεις ορίζονται για οποιονδήποτε τοπολογικό χώρο. Σημειώνουμε ότι, στην κλάση των διαχωρίσιμων μετρικών χώρων, οι τρείς διαστάσεις συμπίπτουν. Δηλαδή: ind(X)=Ind(X)=dim(X), όπου X διαχωρίσιμος μετρικός χώρος. Σε μεγαλύτερη κλάση τοπολογικών χώρων αυτό δεν ισχύει, δηλαδή οι τρείς διαστάσεις διαφέρουν. Στην κλάση των μετρικών χώρων οι διαστάσεις Ind και dim συμπίπτουν. Δηλαδή, αν X μετρικός χώρος: Ind(X)=dim(X). Στην εργασία αυτή δίνουμε τον ορισμό της διάστασης κάλυψης dim, ισοδύναμες εκφράσεις των ορισμών των διαστάσεων και θεωρήματα υποχώρου – αθροίσματος και γινομένου, που αφορούν τη διάσταση αυτή. / The theory of Dimensions is one of the oldest branch of General Topology and studies, among the other, the small inductive dimension ind, the large inductive dimension Ind and the covering dimension dim. Poincare, Brouwer and Lebesgue were the first who gave results in the theory of dimensions. Peano, trying to make a continuous function from a line segment on a square, became the problem: “if a line segment and a square must be uniform” and more generally “if the n- cube I^n can be uniform with the m-cube I^m for n different of m”. Brouwer [1911] gave an answer to this problem by proving that if n different of m then I^n and I^m can not be uniform. Urysohn [1922, 1925, 1926] and Menger [1923,1924] proved that the theory of dimensions is a independent region of General Topology. These developed and formulated independent the theory of the small inductive dimension ind for the class of compact metric spaces. Later, Tumarkin [1925, 1926] and Hurewicz [1927], extended this theory for the class of separable metric spaces. Today, the dimensions are fixed for any topological space. We mention that the three dimensions coincide, in the class of separable metric spaces, that is: ind(X) =Ind (X) =dim (X), where X is a separable metric space. In a bigger class of topological spaces this is not true, that is the three dimensions are different. In the class of metric spaces the dimensions Ind and dim coincide. That is, if X is a metric space then: Ind (X) =dim (X). In this work we give the definition of covering dimension dim, equivalence expressions of the definition of dimensions and also theorems of subspace, addition and product theorems that concern the covering dimension dim.

Text in English / Submitted in partial fulfillment of a Master's Degree at the University of South Africa / Our main goal is to collate into a single document what is presently known regarding pointfree convergence. This will be done by exposing some well-known results on pointfree convergence in a much more simpler way. We will start to study the convergence and clustering of filters in frames in terms of covers and use this to characterise compact frames and some type of uniform frames. We will extend this study to a more general type of filters. We will then discuss convergence and clustering of filters on a locale, where a filter on a locale L is just a filter in the sublattice of all the sublocales of L. This convergence has many applications like characterising compact locales and also characterising sharp points which will also be studied. Finally, the latter concepts of convergence and clustering will be reconciled with the previous one. / Mathematical Sciences

Η κατασκευή του Peano το 1890 μιας συνεχούς απεικόνισης από ένα τμήμα επί ενός τετραγώνου έδωσε αφορμή για το πρόβλημα εάν ένα τμήμα και ένα τετράγωνο είναι ομοιόμορφα, και γενικότερα εάν ο $n$-κύβος $I^{n}$ είναι ομοιόμορφος με τον $m$-κύβο $I^{m}$ για $n\neq m$. Το πρόβλημα αυτό λύθηκε από τον Brouwer το 1911 και η μελέτη αυτού του προβλήματος οδήγησε στον ορισμό των διαστάσεων ${\rm ind}$, ${\rm Ind}$ και ${\rm dim}$ και γενικότερα στη γένεση και ανάπτυξη της Θεωρίας Διαστάσεων. Στη διατριβή αυτή ορίζονται διαστάσεις-συναρτήσεις του τύπου ${\rm ind}$, ${\rm Ind}$ και ${\rm dim}$ και αποδεικνύονται βασικές ιδιότητες της Θεωρίας Διαστάσεων (θεωρήματα υποχώρου, αθροίσματος και γινομένου) για τις συναρτήσεις αυτές. Με τη βοήθεια των συναρτήσεων αυτών ορίζονται νέες κλάσεις τοπολογικών χώρων και μελετάται για τις κλάσεις αυτές το πρόβλημα της καθολικότητας, δηλαδή της ύπαρξης ή μη καθολικών χώρων για τις κλάσεις αυτές. Ένας τοπολογικός χώρος $T$ καλείται καθολικός για μια κλάση ${\rm I\!P}$ τοπολογικών χώρων, όταν ο $T$ ανήκει στην κλάση ${\rm I\!P}$ και κάθε τοπολογικός χώρος που ανήκει στην κλάση ${\rm I\!P}$ περιέχεται τοπολογικά στο χώρο $T$. Για την ύπαρξη καθολικών στοιχείων στις κλάσεις αυτές χρησιμοποιείται η μέθοδος κατασκευής Περιεκτικών Χώρων του βιβλίου: S.D. Iliadis, Universal spaces and mappings, North-Holland Mathematics Studies, 198. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2005. xvi+559 pp. / Peano' s construction in 1890 of a continuous map of a segment onto a square gave rise to the problem of whether a segment and a square are homeomorphic and generally whether the cubes $I^{n}$ and $I^{m}$ are homeomorhic for $n\neq m$. This problem was solved by Brouwer in 1911 and the investigation of this problem leads to the definitions of ${\rm ind}$, ${\rm Ind}$, and ${\rm dim}$ and generally to the beginning of Dimension Theory. In this thesis we define new dimension-like functions of the type ${\rm ind}$, ${\rm Ind}$ and ${\rm dim}$ and we give basic properties of Dimension Theory (subspace theorems, sum theorems, product theorems) for these dimension-like functions. Using the introduced dimension-like functions, new classes of spaces are defined and the investigation of the universality problem for these classes is given, that is whether there exists universal space in these classes. A space $T$ is said to be universal in a class ${\rm I\!P}$ of spaces if $T\in{\rm I\!P}$ and for every $X\in{\rm I\!P}$ there exists an embedding of $X$ into $T$. For the existence of universal elements in these classes is used the construction of Containing Spaces given in book: S.D. Iliadis, Universal spaces and mappings, North-Holland Mathematics Studies, 198. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2005. xvi+559 pp.