No description available.

No description available.

This thesis is in two parts. In Part I we consider integrals of the p-th power of the total curvature of a manifold immersed in R(^n) and thus introduce the notions of total p-th curvature and p-convex. This generalises the ideas of total curvature(which corresponds to total 1st curvature)and tight(which corresponds to 1-convex)introduced by Chern, Lashof , and Kuiper. We find lower bounds for the total p-th curvature in terms of the betti numbers of the immersed manifold and describe p-convex spheres. We also give some properties of 2-convex surfaces. Finally, through a discussion of volume preserving transformations of R(^n) we are able to characterise those transformations which preserve the total p-th curvature (when p>1)as the isometries of R(^n). Part II is concerned with the theory of foliations. Three groups associated with a leaf of a foliation are described. They are all factor groups of the fundamental group of the leaf: the Ehresmann group, the holonomy group of A.G.Walker, and the "Jet group". This Jet group is introduced as the group of transformations of the fibres of a suitable bundle induced by lifting closed loops on the leaf, and also by a geometric method which gives a means of calculating them. The relationship between these groups is discussed in a series of examples and the holonomy groups and Jet groups of each leaf are shown to be isomorphic. The holonomy group of a leaf is shown to be not a Lie group and, v/hen the foliation is of codimension 1, it is proved that the holonomy group is a factor group of the first homology group with integer coefficients and has a torsion subgroup which is either trivial or of order 2.

Our aim is to study the role of omnioriented quasitoric manifolds in equivariant complex bordism. These are a well-behaved class of even-dimensional smooth closed manifolds with the action of a half-dimensional compact torus and an equivariant stably complex structure. They are beneficial objects to work with as they can be described completely in terms of combinatorial data.We include an overview of equivariant complex bordism, highlighting the relationship between localisation and restriction to fixed point data. By keeping in mind the particularly interesting case when the group in question is the compact torus, we revisit work found in [BPR10], reinterpreting and expanding certain results relating to the universal toric genus.We then consider oriented torus graphs of stably complex torus manifolds and classify these using a boundary operator on exterior polynomials related to geometric equivariant complex bordism classes of the manifolds. We also extend the connected sum construction of quasitoric pairs which allows for a more general notion of the equivariant connected sum of omnioriented quasitoric manifolds.We then consider whether an equivariant version of Buchstaber and Ray’s result in [BR98] holds; that is, does there exist an omnioriented quasitoric manifold in every geometric equivariant complex bordism class in which they naturally exist? We conjecture that this is true showing that we have a combinatorial model for such objects and exhibiting low-dimensional examples.

Nous considérons une fonction polynomiale de deux variables réelles qui s’annule à l’origine et qui a un minimum local strict en ce point. Nous nous plaçons dans un voisinage de l’origine dans lequel les lignes de niveau non nulles de cette fonction sont des courbes de Jordan lisses. Chaque fois que l’origine est un point critique de Morse, les niveaux suffisamment petits deviennent des bords de disques convexes. Si l’origine n’est pas de Morse, ces courbes de niveau peuvent ne pas être convexes, comme l’a montré Coste.Le but de cette thèse est double. Tout d'abord, nous nous intéressons à la construction d’exemples de minimums locaux stricts et non-Morse dont les lignes de niveau suffisamment petites sont loin d’être convexes. Et deuxièmement, nous étudions un objet combinatoire mesurant cette non-convexité : l’arbre de Poincaré-Reeb de la restriction de la première coordonnée à la région délimitée par une ligne de niveau donnée. Ces arbres planaires sont enracinés et leurs sommets correspondent en gros aux points de la courbe où les tangentes sont verticales.L’objectif principal de notre étude est de caractériser tous les types topologiques possibles d’arbres de Poincaré-Reeb. À cette fin, nous construisons une famille d’exemples réalisant une grande classe de tels arbres. Dans un premier temps, nous concentrons notre attention sur le cas des polynômes d’une variable, en utilisant un outil inspiré du travail de Ghys. L’un de nos résultats principaux donne une preuve nouvelle et constructive de l’existence de polynômes de Morse dont la permutation associée (appelée «le serpent d’Arnold») est séparable. / We consider a real bivariate polynomial function vanishing at the origin and exhibiting a strict local minimum at this point. We work in a neighbourhood of the origin in which the non-zero level curves of this function are smooth Jordan curves. Whenever the origin is a Morse critical point, the sufficiently small levels become boundaries of convex disks. Otherwise, these level curves may fail to be convex, as was shown by Coste.The aim of the present thesis is twofold. Firstly, to construct examples of non-Morse strict local minima whose sufficiently small level curves are far from being convex. And secondly, to study a combinatorial object measuring this non-convexity, namely the Poincaré-Reeb tree of the restriction of the first coordinate to the region bounded by a given level curve. These planar trees are rooted and their vertices roughly speaking correspond to points on the curve with vertical tangent lines.The main objective of our study is to characterise all possible topological types of Poincaré-Reeb trees. To this end, we construct a family of examples realising a large class of such trees. As a preliminary step, we restrict our attention to the univariate case, using a tool inspired by Ghys’ work. One of our main results gives a new and constructive proof of the existence of Morse polynomials whose associated permutation (the so-called “Arnold’s snake”) is separable.

La (semi)stabilité, introduite par Mumford en 1963, sert à la construction d'espaces de modules de fibrés vectoriels par les méthodes de GIT. Dans la frontière de l'espace de modules compactifié apparaissent des faisceaux non localement libres. La thèse vise à proposer un nouveau stock d'objets de frontière plus maniables, dans le cas de dimension 2 et de rang 2, qui sont des fibrés sur des arbres de bulles A ayant S comme racine. La motivation vient de la théorie de jauge et de l'étude par Nagaraj-Seshadri et Teixidor i Bigas des fibrés sur des courbes réductibles. La semistabilité sur A dépend d'une polarisation, c'est à dire, d'un fibré en droites ample. Le domaine des paramètres de la polarisation est bien plus petit et les fibrés semistables sont plus rares en dimension 2 que dans le cas de courbes. Pour certaines polarisations, on donne des critères de semistabilité des fibrés sur A en fonction de leurs restrictions aux composantes de A. Bien que les faisceaux étudiés sur A soient des fibrés, leur sous-faisceaux potentiellement déstabilisants peuvent être juste réflexifs. On entreprend alors la classification des faisceaux réflexifs sur des arbres de bulles, basée sur les travaux de Burban-Drozd. On étudie ensuite les déformations des fibrés arboriformes. Le résultat principal est qu'un fibré stable sur A, pour certaines polarisations, est toujours la limite de fibrés stables sur S. Enfin, on compare le stock des fibrés stables arboriformes, limites d'instantons de charge 2 sur le plan projectif, avec celui de Markushevich-Tikhomirov-Trautmann, obtenu par une autre approche. / The (semi)stability, introduced by Mumford in 1963, was used for construction of moduli spaces of vector bundles by methods of GIT. In the boundary of the compactified moduli space appear non locally free sheaves. The thesis aims to propose a new stock of more manageable boundary objects, in the case of dimension 2 and rank 2, which are bundles on bubble trees A having S as root. Motivation comes from gauge theory and the study of bundles on reducible curves by Nagaraj-Seshadri and Teixidor i Bigas.The semistability on A depends on polarization, that is, on an ample line bundle. The domain of parameters of polarization is much smaller, and semistable bundles are more scarce in dimension 2 than in the case of curves. For certain polarizations, semistability criteria for bundles on A are given in terms of their restrictions to the components of A. Although the sheaves studied on A are bundles, their potentially destabilizing subsheaves can be just reflexive. Thence the classification of reflexive sheaves on bubble trees is undertaken, basing upon the work of Burban-Drozd. Next the deformations of tree-like bundles are studied. The main result is that a stable bundle on A, for certain polarizations, is always the limit of stable bundles on S. Finally, a comparison is made between the stock of stable tree-like bundles which are limits of instantons of charge 2 on the projective plane, and the one of Markushevich-Tikhomirov-Trautmann, obtained by a completely different approach.

Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας, παρουσιάζεται το πιο απλό παράδειγμα εμφύλλωσης και στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός μιας εμφυλλωμένης πολλαπλότητας, υπό δύο διαφορετικές σκοπιές. Ο ορισμός συμπληρώνεται με τον σχολιασμό της τοπολογίας των φύλλων της εμφύλλωσης, δίνοντας το τοπολογικό πλαίσιο της πολλαπλότητας για τον ορισμό του κανονικού εμφυλλωμένου άτλαντα. Η εισαγωγή στη Θεωρία Εμφυλλώσεων ολοκληρώνεται με μία σειρά παραδειγμάτων εμφυλλώσεων, με επικεντρωμένο το ενδιαφέρον στην εμφύλλωση του Reeb και στην προσανατολισμένη εμφύλλωση του Seifert. Στο δεύτερο κεφάλαιο, συνδέεται η έννοια της γεωμετρικής ολοκληρωσιμότητας με την Θεωρία των Εμφυλλώσεων, μέσω του κλασικού θεωρήματος του Frobenius. Τα φύλλα της εμφύλλωσης του χώρου των φάσεων αποτελούν το γεωμετρικό πρότυπο επίλυσης δυναμικών συστημάτων, ως πρώτα ολοκληρώματα. Το κλασικό θεώρημα του Frobenius έδωσε τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες ώστε η θεωρούμενη κατανομή να αποτελεί τον εφαπτόμενο χώρο της εμφύλλωσης. Το θεώρημα Frobenius δίνεται και αποδεικνύεται με πέντε ισοδύναμες εκδοχές. Μία από αυτές είναι η αλγεβρική εκδοχή, όπου τα πρώτα ολοκληρώματα καθορίζονται από τους γεννήτορες του ιδεώδους της εξωτερικής άλγεβρας, επιλύoντας τις εξισώσεις Pfaff. Οι παραγόμενες μορφές μέσω της εξωτερικής διαφόρισης των γεννητόρων του ιδεώδους, στην περίπτωση που ικανοποιούν τη συνθήκη ολοκληρωσιμότητας, συγκροτούν στο module των διαφορικών μορφών το διαφορικό ιδεώδες. Ακόμα, γίνεται αναφορά στο Λήμμα του Poincaré, που δίνει τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη πρώτων ολοκληρωμάτων, στην περίπτωση απλά συνεκτικών πολλαπλοτήτων, και στην εύρεση ολοκληρωτικού παράγοντα. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο, ως εφαρμογή στη Θεωρία Εμφυλλώσεων, αποδεικνύεται η ύπαρξη φύλλων μέσα στο σύνολο προσβασιμότητας, που καθορίζεται από το εκάστοτε σύστημα ελέγχου. Πρόκειται για το θεώρημα που δόθηκε τη δεκαετία του 70 από τον Sussmann. Ορίζοντας τη Lie άλγεβρα των κατανομών η οποία δημιουργείται από τις επαναλαμβανόμενες αγκύλες Lie. Στα πλαίσια αυτής ελέγχεται η συμπεριφορά των κατανομών, οι οποίες διαχωρίζονται σε ολοκληρώσιμες και bracket generating. Οι τελευταίες παράγουν τον εφαπτόμενο χώρο της πολλαπλότητας και αποτελούν βασική προϋπόθεση για να εφοδιαστεί η πολλαπλότητα με μια υπο-Riemannian δομή. Με αυτή τη δομή ορίζεται η υπο-Riemannian απόσταση από την οποία φτιάχνεται η βάση μιας τοπολογίας που συμπίπτει με τη φυσική τοπολογία της πολλαπλότητας. Σε αυτήν την τοπολογία ορίζονται τα φύλλα του συνόλου προσβασιμότητας. Επιπλέον, δίνεται μια απάντηση και στο πρόβλημα της ελεγξιμότητας, που διαπραγματεύεται η Θεωρία Ελέγχου. Τέλος, γίνεται αναφορά στις γεωδαισιακές εξισώσεις, όπως αυτές ορίζονται στο συνεφαπτόμενο ινώδες των τετραγωνικών μορφών, με χαρακτηριστικό παράδειγμα τις γεωδαισιακές που προκύπτουν από την ομάδα του Heisenberg. / --