No description available.

No description available.

No description available.

No description available.

Given a subgroup B of a finitely-generated abelian group A, the saturation B of B is defined to be the largest subgroup of A containing B with finite index. In this thesis we consider a crucial step in the determination of the Mordell-Weil group of an elliptic curve, E(K). Methods such as Descent may produce subgroups H of E(K) with [H:H] > 1. We have determined an algorithm for calculating H given H, and hence for completing the process of finding the Mordell-Weil group. Our method has been implemented in MAGMA with two versions of the programs; one for general number fields K and the other for Q. It builds upon previous work by S. Siksek. Our problem splits into two. First we can use geometry of numbers arguments to establish an upper bound N for the index [H:H]. Second for each remaining prime p < N we seek to prove either that H is p-saturated, i.e. p|[H:H], or to enlarge H by index p. To solve the first problem, 1. We have devised and implemented an algorithm that searches for points on E(K) up to a specified naive height bound. 2. We have devised and implemented an algorithm that calculates the subgroup Egr(K) of points with good reduction at specified valuations. 3. We have implemented joint work with S. Siksek and J. Cremona to calculate an upper bound on the difference of the canonical and naive height of points on an elliptic curve. 4. We have helped to devise and have implemented joint work with S. Siksek and J. Cremona to calculate a lower bound on the canonical heights of non-torsion points on E(K) with K a totally real field. To solve the second problem, 1. As in earlier work by Siksek, we use homomorphisms to prove p-saturation for primes p. We however use the Tate-Lichtenbaum pairing, and we show that, using this pairing, our method will always prove H is p-saturated if that is the case. 2. We show that Siksek's original method will fail for some curves.

Les couplages sont des primitives cryptographiques qui interviennent désormais dans de nombreux protocoles. Dès lors, il est nécessaire de s'intéresser à leur calcul et à leur implémentation efficace. Pour ce faire, nous nous reposons sur une étude algorithmique et arithmétique de ces fonctions mathématiques. Les couplages sont des applications bilinéaires définies sur des courbes algébriques, plus particulièrement, dans le cas qui nous intéresse, des courbes elliptiques et hyperelliptiques. Nous avons choisi de nous concentrer sur une sous-famille de celles-ci : les courbes supersingulières dont les propriétés permettent d'obtenir à la fois des couplages symétriques et des algorithmes efficaces pour leur calcul. Nous décrivons alors une approche unifiée permettant d'établir une large variété d'algorithmes calculant des couplages. Nous l'appliquons notamment à la construction d'un nouvel algorithme pour le calcul de couplages sur des courbes supersingulières de genre 2 et de caractéristique 2. Les calculs nécessaires aux couplages que nous décrivons s'appuient sur l'implémentation d'une arithmétique rapide pour les corps finis de petite caractéristique : la multiplication est l'opération critique qu'il convient d'optimiser. Nous présentons donc un algorithme de recherche exhaustive de formules de multiplication. Enfin, nous appliquons toutes les méthodes précédentes à la conception et l'implémentation de différents accélérateurs matériels pour le calcul de couplages sur différentes courbes dont les architectures ont été optimisées soit pour leur rapidité, soit pour leur compacité / Pairings are cryptographic primitives which are now used in numerous protocols. Computing and implementing them efficiently is then an interestingchallenge relying on an algorithmic and arithmetic study of those mathematical functions. More precisely, pairings are bilinear maps defined over elliptic and hyperelliptic curves. Among those, we restrict our study to supersingular curves, as they allow both symmetric pairings and efficient algorithm for pairing computation. We propose an unified framework for the construction of algorithms computing pairings and we apply it to the design of a novel algorithm for a pairing over a genus-2 characteristic-2 hyperelliptic curve. The computations involved in our algorithms require the implementation of rapid arithmetic for finite fields of small characteristic. Since multiplication is the critical operation, we present an algorithm for the exhaustive search of multiplication formulae. Finally, we apply all the previous methods to the design and implementation of different hardware accelerators for the computation of cryptographic pairings over various curves

Τα κρυπτογραφικά συστήματα που βασίζονται στις ελλειπτικές καμπύλες, αποτελούν ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της κρυπτογραφίας δημόσιου κλειδιού και τα τελευταία χρόνια όλο και περισσότεροι επιστήμονες ασχολούνται με τη μελέτη τους. Το πλεονέκτημα των συστημάτων αυτών σε σχέση με τα συμβατικά κρυπτογραφικά συστήματα (π.χ. RSA) είναι ότι χρησιμοποιούν μικρότερες παραμέτρους και κλειδιά, προσφέροντας τα ίδια επίπεδα ασφάλειας. Για το λόγο αυτό, τα κρυπτογραφικά συστήματα ελλειπτικών καμπυλών προτιμούνται σε συσκευές περιορισμένων πόρων, όπως οι έξυπνες κάρτες (smart cards) και τα κινητά τηλέφωνα. Ένα από τα πιο θεμελιώδη προβλήματα στα κρυπτογραφικά συστήματα ελλειπτικών καμπυλών, είναι η γένεση ελλειπτικών καμπυλών, κατάλληλων να προσφέρουν την ασφάλεια που απαιτείται από τις κρυπτογραφικές εφαρμογές. Η πιο αποδοτική μέθοδος γένεσης ελλειπτικών καμπυλών, ορισμένων πάνω σε πρώτα, πεπερασμένα σώματα, είναι η μέθοδος του Μιγαδικού Πολλαπλασιασμού ή εν συντομία η μέθοδος CM. Η μέθοδος αυτή απαιτεί την εύρεση των ριζών ορισμένων πολυωνύμων, που ονομάζονται πολυώνυμα κλάσεως. Τα πολυώνυμα που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι τα πολυώνυμα Hilbert και τα πολυώνυμα Weber. Τα πρώτα μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα στη μέθοδο CM, αλλά η κατασκευή τους είναι πολύ χρονοβόρα. Από την άλλη, τα πολυώνυμα Weber κατασκευάζονται πολύ πιο αποδοτικά αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα στη μέθοδο CM. Για να γίνει αυτό, πρέπει οι ρίζες τους να μετασχηματιστούν στις ρίζες των αντίστοιχων πολυωνύμων Hilbert. Η παρούσα διδακτορική διατριβή στοχεύει σε τρεις κύριες κατευθύνσεις. Η πρώτη αφορά στη βελτίωση της απόδοσης της στη μεθόδου CM και στην εισαγωγή σε αυτή των πολυωνύμων Weber. Η δεύτερη, στην κατασκευή ελλειπτικών καμπυλών πρώτης τάξης. Η χρήση αυτών των ελλειπτικών καμπυλών εγγυάται τη σθεναρότητα των συστημάτων που τις χρησιμοποιούν απέναντι σε όλες τις πιθανές επιθέσεις. Η τρίτη αφορά στη δημιουργία μιας βιβλιοθήκης λογισμικού που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε περιβάλλοντα περιορισμένων πόρων και η οποία να περιλαμβάνει όλους τους αλγορίθμους και τα πρωτόκολλα που απαιτούνται για την κατασκευή ενός ολοκληρωμένου κρυπτογραφικού συστήματος ελλειπτικών καμπυλών. Η πρώτη συνεισφορά της παρούσας διδακτορικής διατριβής αφορά σε μια νέα παραλλαγή της μεθόδου CM, η οποία βασίζεται στα πολυώνυμα Weber. Παρουσιάζεται το σύνολο των μετασχηματισμών των ριζών τους στις ρίζες των αντίστοιχων πολυωνύμων Hilbert και δίνεται ένα θεωρητικό άνω φράγμα για την ακρίβεια που απαιτείται για την κατασκευή τους. Επιπλέον, παρουσιάζεται μια εκτενής πειραματική μελέτη, με την οποία συγκρίνεται η χρήση των πολυωνύμων Hilbert με αυτή των πολυωνύμων Weber στη μέθοδο CM, καταδεικνύοντας τα πλεονεκτήματα των τελευταίων. Πειραματικά αποτελέσματα επίσης, αποδεικνύουν ότι το άνω φράγμα της ακρίβειας κατασκευής των πολυωνύμων Weber που παρουσιάστηκε στη διδακτορική διατριβή, είναι πολύ κοντά στην πραγματική ακρίβεια που απαιτείται για την κατασκευή τους. Η δεύτερη συνεισφορά αφορά στην κατασκευή ελλειπτικών καμπυλών πρώτης τάξης. Στην περίπτωση αυτή, αποδεικνύεται ότι τα πολυώνυμα Weber έχουν τρεις φορές μεγαλύτερο βαθμό από τον βαθμό των αντίστοιχων πολυωνύμων Hilbert, και μάλιστα τα συγκεκριμένα πολυώνυμα δεν έχουν ρίζες στα πρώτα πεπερασμένα σώματα (F_p), αλλά σε μια επέκτασή τους (F_{p^3}). Επιπλέον, παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί των ριζών των πολυωνύμων Weber (που ανήκουν τώρα στο F_{p^3}) στις ρίζες των αντίστοιχων πολυωνύμων Hilbert (που ανήκουν στο F_p). Ορίζονται επίσης κάποια νέα πολυώνυμα κλάσεως και μέσω μιας εκτενούς πειραματικής μελέτης συγκρίνεται η χρήση τους στη μέθοδο CM με αυτή των πολυωνύμων Weber, αποδεικνύοντας ότι ανάλογα με τις απαιτήσεις κάθε συστήματος, πρέπει να επιλέγεται διαφορετική κλάση πολυωνύμων. Επιπλέον, αναλύεται η αποδοτικότητα ενός σημαντικού βήματος της μεθόδου χρησιμοποιώντας τέσσερις διαφορετικούς αλγορίθμους και αποδεικνύεται ότι ο αλγόριθμος που προτείνεται στη διδακτορική διατριβή είναι ο δεύτερος καλύτερος ως προς τον χρόνο, αλλά έχει λιγότερες απαιτήσεις χώρου από τον γρηγορότερο. Τέλος, όσον αφορά στον τρίτο στόχο που τέθηκε στα πλαίσια της διδακτορικής διατριβής, παρουσιάζεται η υλοποίηση μιας βιβλιοθήκης λογισμικού που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάπτυξη κρυπτογραφικών συστημάτων ελλειπτικών καμπυλών σε περιβάλλοντα περιορισμένων πόρων. Η βιβλιοθήκη είναι οργανωμένη σε διάφορα, καθαρά διαχωρίσιμα μεταξύ τους τμήματα, έτσι ώστε να μπορεί έυκολα να τροποποιηθεί ανάλογα με τις ανάγκες και τις απαιτήσεις κάθε χρήστη. / Elliptic curve cryptography (ECC) has gained an increasing popularity over the years, as it emerges as a fundamental and efficient technological alternative for building secure public key cryptosystems. This stems from the fact that elliptic curves (ECs) give rise to algebraic structures that offer a number of distinct advantages (smaller key sizes and highest strength per bit) over more customary algebraic structures used in various cryptographic applications (e.g., RSA). These characteristics make ECC suitable for software as well as for hardware implementations. The latter is of particular importance, since (under certain circumstances) it involves devices with limited resources such as cell phones and Smartcards. One of the fundamental issues in ECC is the generation of elliptic curves suitable for use in various cryptographic applications. The most efficient method for generating elliptic curves over prime fields is the {\em Complex Multiplication} (CM) method. This method requires the use of the roots of certain polynomials, called class polynomials. The most commonly used polynomials are the {\em Hilbert} and {\em Weber} ones. The former can be used to generate directly the elliptic curve, but they are characterized by high computational demands. The latter have usually much lower computational requirements, but they do not construct directly the desired elliptic curve. This can be achieved if one provides transformations of their roots to the roots of the corresponding Hilbert polynomials. The goals of this PhD thesis are the following: (i) to improve the CM method by incorporating in it Weber polynomials; (ii) to provide an efficient method for the generation of prime order ECs; and (iii) to develop a flexible and portable software library that will include all the necessary primitives and protocols required for the construction of an elliptic curve cryptosystem, especially in resource limited environments. The current thesis makes a host of new contributions towards the goals set above. In particular, to address the first goal, we present a variant of the CM method that generates elliptic curves of cryptographically strong order. Our variant is based on the computation of Weber polynomials. We present in a simple and unifying manner a complete set of transformations of the roots of a Weber polynomial to the roots of its corresponding Hilbert polynomial for all values of the discriminant. In addition, we prove a theoretical upper bound of the precision required for the computation of Weber polynomials for all values of the discriminant. We present an extensive experimental assessment of the computational efficiency of the Hilbert and Weber polynomials along with their precision requirements for various discriminant values and we compare them with our theoretical bounds. Our experiments show the superiority of Weber polynomials and that the actual precision requirements for the construction of these polynomials are close to the theoretical estimate we provide. To address the second goal, we consider the use of a new variant of the CM method for the construction of {\em prime order} elliptic curves. The Weber polynomials that are used for the construction of prime order elliptic curves have degree three times larger than the degree of their corresponding Hilbert polynomials. We show that, these Weber polynomials do not have roots in the field $\mathbb{F}_p$, but do have roots in the extension field $\mathbb{F}_{p^3}$. We present a set of transformations for mapping roots of Weber polynomials in $\mathbb{F}_{p^3}$ to the roots of their corresponding Hilbert polynomials in $\mathbb{F}_p$. We also show how a new class of polynomials, with degree equal to their corresponding Hilbert counterparts (and hence having roots in $\mathbb{F}_p$), can be used in the CM method to generate prime order elliptic curves. We compare experimentally the efficiency of using this new class against the use of the aforementioned Weber polynomials and show that the type of polynomial that one should use depends on the particular application. We further investigate the time efficiency of the new CM variant under four different implementations of a crucial step of the variant and demonstrate the superiority of two of them. Finally, we present an implementation of an elliptic curve cryptographic library, which includes not only the aforementioned algorithms, but also several cryptographic protocols. We provide a fully-equipped library of portable source code with clearly separated modules that allows for easy development of EC cryptographic protocols, and which can be readily tailored to suit different requirements and user needs. The small size of the library makes it appropriate for use in resource limited devices.