By analogy with the definition for sheaves, we define the slope of a polarised algebraic variety and of each of its subschemes. This gives a notion of slope stability, which we show is a necessary condition for K-stability. We also give the modifications needed to get a necessary condition for asymptotic Chow stability. We then give various calculations of slope and concrete examples. These examples have been chosen to be of interest to the conjectured correspondence between K-stability and the existence of K¨ahler metrics of constant scalar curvature. In particular we get new examples of polarised manifolds that do not admit such metrics.

Le travail est constitué de deux chapitres qui ne sont pas liés entre eux. Dans le premier chapitre nous proposons une minoration de la hauteur canonique pour une certaine classe de modules de Drinfeld à caractéristique 0 exprimée en fonction de la dimension sur le corps de définition de ce module, des points algébriques (dans une opportune cloture algébrique) qui ne sont pas de torsion, en dévéloppant ainsi une étude du problème de Lehmer au cas des modules de Drinfeld. Dans le deuxième chapitre nous proposons une stratégie d’attaque à la conjecture de Manin-Mumford au cas des T-modules abéliens et uniformisables basée sur la méthode introduite par J. Pila et U.Zannier au cas des variétés abéliennes définies sur un corps de nombres. Nous proposons en particulier un premier pas dans une telle direction qui consiste à reprendre les travaux de J. Pila et J. Wilkie pour parvenir à une majoration du nombre des points de torsion d’un T-module qui respecte nos hypothèses, et qui puisse constituer un fondament essentiel au dévéloppement de cette méthode comme dans le cas classique. / We divide this work in two different chapters having no relation between them. In the first chapter we propose a lower bound estimate of the canonical height on a certain family of Drinfeld modules having characteristic 0, depending by the dimension of these Drinfeld module algebraic points on the base function field (into a well-chosen algebraic closure). This will take us to deeply analyze the Lehmer problem on Drinfeld modules. In the second chapter we propose a strategy to approach the Manin-Mumford conjecture on uniformizable abelian T-modules, based on the new techniques introduced by J. Pila and U. Zannier for abelian varieties defined on a number field. We propose in particular a first step in such a direction by a new interpretation of the J. Pila and J. Wilkie’s work in order to obtain an higher bound estimate on the number of torsion points of a such T-module. This would be an important basis to a future development of this method, as in the classic case.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la descente de Cartier en vue d'une application à la caractérisation de $G^F$-torseurs fppf en termes de formes différentielles, où $G^F$ est le noyau de Frobenius d'un groupe lisse affine $G$ sur un corps de caractéristiques $p>0.$ Pour cela nous utilisons la dualité de Tannaka pour montrer une version analogue du théorème de descente de Cartier pour les torseurs. Ce dernier nous permet d'avoir une caractérisation de ces $G^F$-torseurs, qui généralise des résultats déjà connus pour les cas $\mu_p$ et $\alpha_p.$ / In this thesis we are interested in Cartier descent and an application to the characterisation of fppf $G^F$-torsors in terms of differential forms, where $G^F$ is the Frobenius kernel of some smooth affine group scheme over a field of characteristic $p>0.$ For this, we use Tannaka duality to prove an analog version of Cartier descent theorem for torsors. This will allow us to have a characterisation of these $G^F$-torsors, which will generalise already known results for the cases $\mu_p$ and $\alpha_p.$