Η παρούσα εργασία ασχολείται με μεθόδους εύρεσης κυματικών λύσεων καθώς και λύσεων οδευόντων κυμάτων επί σειράς πολύ γνωστών μερικών διαφορικών εξισώσεων καθώς και με θεωρήματα μελέτης της ύπαρξης και της μοναδικότητας, ευστάθειας, ασυμπτωτικής συμπεριφοράς και μονοτονίας των ανωτέρω λύσεων. Θα περιοριστούμε σε μερικές ansatze μεθόδους εύρεσης κυματικών λύσεων, καθώς και στην ύπαρξη και μοναδικότητα ειδικών κατηγοριών κυματικών λύσεων. / --

Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια μέθοδος για την αριθμητική προσομοίωση δισδιάστατης, μη συνεκτικής ροής με ελεύθερη επιφάνεια, που προκύπτει από τη διάδοση κυμάτων βαρύτητας πάνω από πυθμένα με τυχαία μορφολογία. Η μέθοδος βασίζεται στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Euler, που υπόκεινται σε πλήρως μη γραμμικές οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας και κατάλληλες οριακές συνθήκες πυθμένα, εισόδου και εξόδου, χρησιμοποιώντας ένα υβριδικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών και ψευδό-φασματικής μεθόδου. Οι εξισώσεις ροής μετασχηματίζονται έτσι ώστε τα όρια του υπολογιστικού πεδίου να είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Η επαλήθευση της μεθόδου επίλυσης γίνεται με την εφαρμογή της στο πρόβλημα της κατανομής θερμοκρασίας σε λεπτή ορθογωνική πλάκα, υπό σταθερές συνθήκες. Για την ελαχιστοποίηση της ανάκλασης χρησιμοποιείται ζώνη απορρόφησης στην περιοχή απορροής. Η αποτελεσματικότητα της ζώνης απορρόφησης τεκμηριώνεται με την παρουσίαση αποτελεσμάτων προσομοίωσης διάδοσης γραμμικών κυματισμών σε πυθμένα σταθερού βάθους. Προκύπτει ότι η ζώνη απορρόφησης που βασίζεται στην επιβολή εξωτερικής δυναμικής πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια εμφανίζει την ελάχιστη ανάκλαση. Αποτελέσματα παρουσιάζονται για την προσομοίωση ροής με ελεύθερη επιφάνεια πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης 1:10 και 1:50, για διαφορετικά μήκη και ύψη κυμάτων εισόδου. Ο μετασχηματισμός των γραμμικών κυμάτων πάνω από την περιοχή σταθερής κλίσης συμφωνεί με τη θεωρία γραμμικής διασποράς για ροή με μικρά ύψη κύματος. Για μη γραμμικούς κυματισμούς, το μήκος κύματος μειώνεται πάνω από την περιοχή σταθερής κλίσης, ενώ η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας αποκλίνει από την αρχική ημιτονοειδή μορφή και το ύψος κύματος αυξάνει λόγω της ρήχωσης. / A method for the numerical simulation of two-dimensional, inviscid, free-surface flow resulting from the propagation of regular gravity water waves over topography with arbitrary bottom shape is presented. The method is based on the numerical solution of the Euler equations subject to the fully nonlinear free-surface boundary conditions and the appropriate bottom, inflow and outflow conditions using a hybrid scheme of finite-differences and pseudo-spectral method. The formulation includes a boundary-fitted transformation. The validation of the pressure solver is accomplished by applying it to the two-dimensional, temperature, steady problem, under differing boundary conditions. For the free-surface flow, a wave absorption zone is attached at the outflow domain in order to minimize reflection effects. The absorption zone effectiveness is validated by the simulation of linear waves propagation over constant-depth bottom. Minimal reflection occurs when an appropriate external dynamic pressure is imposed on the free surface of the absorption zone. Results are presented for cases of wave propagation over constant slope bottom, with slopes 1:10 and 1:50, for various incoming wavelengths and wave heights. Over the bottom slope, lengths of waves in the linear regime are modified according to linear theory dispersion. For waves in the nonlinear regime, wave lengths are becoming shorter, while the free surface elevation deviates from its initial sinusoidal shape and the wave height increases due to shoaling.

Les sources de paires de photons constituent un bloc de base pour les technologies de traitement et transmission de l'information quantique. Une source consistant en une fibre microstructurée à coeur liquide permet à la fois une réduction du bruit de diffusion Raman, une adaptation simple et efficace aux réseaux de télécommunication quantique, et l'ajustement de ses propriétés d'émission par ingénierie de la microstructure et choix du liquide non linéaire. Ces recherches se concentrent sur l'étude de l'émission de paires de photons d'une telle source, et du mélange à quatre ondes à leur origine. Nous soulignons le manque d'une description quantitative correcte des phénomènes non linéaires à l'origine des paires dans les modèles existants, et en proposons un se basant sur le champ D pour y parvenir. Nous mettons expérimentalement en évidence l'inconsistance avec la forme de spectre usuellement attendue les sources de paires de photons. Pour l'expliquer, nous développons un modèle rendant compte de la non-uniformité du guide, soit la variation de ses propriétés de propagation sur sa longueur. Par une approche analytique initiale simple de cette caractéristique, nous exposons l'étalement du spectre et la diminution du taux maximum d'émission de paires. Une description numérique par morceaux apporte une description plus proche de la réalité et met en lumière la très forte sensibilité du spectre à la non-uniformité. Un autre effet de cette dernière se traduit par la différenciation du spectre selon le sens de propagation de la lumière dans le guide. Lors de l'intrication en polarisation des paires dans un dispositif de type boucle Sagnac, cette non-réciprocité dégrade la visibilité des paires. Pour compenser cet effet, nous proposons une solution simple de symétrisation du profil des fibres à leur fabrication, appuyée par de premiers résultats encourageants. Cette étude ouvre la voie à la prise en compte des non-uniformités inhérentes aux guides réels, impactant fortement leur émission de paires de photons. / Photon-pair sources are a basic block for implementation of quantum information and telecommunication. A microstructured fibered source with liquid core induce a Raman scattering noise reduction, and at the same time allows a simple and lossless coupling to telecom network, with an engineering of its emission properties through the structure and liquid choices. This work focus on four-wave mixing leading to photon pairs emission in such a source. As existing models lack a correct emph{quantitative} description of nonlinear phenomena for pairs emission, we propose here one based on the D field to do so. We show a mismatch between the spectrum form usually expected and the experimental one. To explain this, we develop a model describing the effects of guide nonuniformity, meaning variation of its propagation properties along itself. Through an initial and simple analytical approach, we demonstrate the spectrum spreading and the diminution of the maximum of emission pairs rate. With a piece-wise numerical description for real guides, we highlight the very strong sensitivity of the emission spectrum towards nonuniformity. Another effect arising from this feature is the spectrum differentiation depending on the propagation direction within the guide. Upon pairs polarization entanglement by inserting the guide into a Sagnac loop interferometer, such nonreciprocity induces a deterioration of pairs visibility. In order to counteract this effect, we propose, based on first encouraging results, a simple solution involving a symmetrization of fibers profile during their manufacture. This study paves the way for taking into account inherent nonuniformity of real waveguides, which strongly impacts their photon pair emission.