Τα τελευταία χρόνια, γίνεται πολύς λόγος για τους καρκινικούς όγκους, καθώς η νόσος αυτή προσβάλλει ολοένα και περισσότερα άτομα κάθε χρόνο. Ιδιαίτερη βαρύτητα έχει δοθεί τόσο ερευνητικά όσο και ιατρικά στην αντιμετώπιση του καρκίνου μέσω θεραπευτικών τεχνικών (χημειοθεραπείες, χειρουργικές επεμβάσεις κλπ) καθώς και στην βελτίωση των συνθηκών διαβίωσης των καρκινοπαθών. Επίσης, αρκετή έμφαση στην έρευνα σχετικά με την ανάπτυξη του καρκίνου σε βιοχημικό επίπεδο και για την βαθύτερη κατανόηση της νόσου. Η έρευνα αφορά ερευνητές πολλών διαφορετικών ειδικοτήτων μεταξύ των οποίων και των μαθηματικών. Από το 1954 με την πρόταση των Armitage και Doll σχετικά με την μαθηματική μοντελοποίηση της γένεσης των καρκινικών όγκων, αρκετοί έχουν ασχοληθεί με την μαθηματική προτυποποίηση των διαφόρων φάσεων του καρκίνου, από την δημιουργία του μέχρι και την αντίσταση του σε φαρμακευτική αγωγή. Η εργασία αυτή πραγματεύεται την μαθηματική θεμελίωση και προτυποποίηση των καρκινικών όγκων όσον αφορά την γεωμετρική τους ανάπτυξη. Με βάση το θεμελιώδες μαθηματικό μοντέλο που προτάθηκε το 1976 από τον H. P. Greenspan, μελετάται η επίπτωση επιφανειακών διαταραχών στην ανάπτυξη σφαιρικών καθώς και ελλειψοειδών όγκων. Στην πρωτότυπη εργασία, η μελέτη περιορίστηκε στην ανάλυση των διαταραχών με μεταβλητή την πολική γωνία των σφαιρικών συντεταγμένων. Στην εργασία αυτή αρχικά μελετάται η γενίκευση του μοντέλου διαταραχών και στις δυο γωνίες του σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων (πολική θ και αζιμουθιακή φ). Στην συνέχεια επεκτείνεται η μέθοδος σε τρία μοντέλα που γενικεύουν τις παραδοχές του αρχικού μοντέλου διατηρώντας την παραδοχή της σφαιρικής γεωμετρίας και μελετάται η ευστάθεια των αντίστοιχων επιφανειακών διαταραχών. Τέλος, μελετάται και η ευστάθεια του ίδιου προβλήματος στην ελλειψοειδή γεωμετρία επειδή η ανισοτροπία του ελλειψοειδούς σχήματος καθιστά πιο ρεαλιστική την προσέγγιση του πραγματικού σχήματος του καρκινικού όγκου. / The mathematical analysis of the tumour growth attracted a lot of interest in the last two decades. However, as of today no generally accepted model for tumour growth exists. This is due partially to the incomplete understanding of the related pathology as well as the extremely complicated procedure that guides the evolution of a tumour. Moreover, the growth of a tumour does depend on the available tissue surrounding the tumour and therefore it represents a physical case that is realistically modelled by ellipsoidal geometry. The remarkable aspect of the ellipsoidal shape is that it represents the sphere of the anisotropic space. It provides the appropriate geometrical model for any direction dependent physical quantity. In the present work we analyze the stability of a spherical tumour for four continuous models of an avascular tumour and the stability study of an ellipsoidal tumour. For all five models, conditions for the stability are stated and the results are implemented numerically. For the spherical cases, it is observed that the steady state radii that secure the stability of the tumour are different for each of the four models, and that results to differences in the stable and unstable modes. As for the ellipsoidal model, it is shown that, in contrast to the highly symmetric spherical case, where stability is possible to be achieved, there are no conditions that secure the stability of an ellipsoidal tumour. Hence, as in many physical cases, the observed instability is a consequence of the lack of symmetry.