Στo πρώτο κεφάλαιο της εργασίας αυτής περιγράφεται η τεχνολογία που έχει αναπτυχθεί για την αντιμετώπιση των εκπομπών των αυτοκινήτων. Κατόπιν γίνεται μια ανασκόπηση των τεχνολογιών που εφαρμόζονται για τον έλεγχο των στάσιμων πηγών ρύπων, όπου η ποικιλία και η ποσότητα των εκπομπών είναι πολύ μεγάλη. Περιγράφονται επίσης οι φυσικές και χημικές αρχές στις οποίες βασίζεται μια διαδικασία καταλυτικού μετατροπέα. Οι καταλυτικοί μετατροπείς σχεδιάζονται με στόχο την ελαχιστοποίηση της συγκέντρωσης των ρυπογόνων αερίων, όπως αυτή καταγράφεται σε μια προκαθορισμένη θέση, κατά μήκος της συσκευής. Στο δεύτερο κεφάλαιο διατυπώνεται το σύστημα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.) του βασικού προτύπου και εξετάζεται το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου που ελαχιστοποιεί την συνάρτηση κόστους J(S) με την επιλογή της βέλτιστης συνάρτησης ελέγχου S(t). Ο βέλτιστος έλεγχος είναι αυτός που ελαχιστοποιεί την παραγωγή των επικίνδυνων αερίων μέσω του καταλυτικού μετατροπέα. Το μαθηματικό πρότυπο προσεγγίζεται μέσω αναγωγής του στο πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών της εξίσωσης θερμότητας τόσο σε ημιάπειρο όσο και σε πεπερασμένο διάστημα, χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες μεθόδους. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 3, που αποτελεί και το κεντρικό μέρος της παρούσας διατριβής, επιλύουμε το βασικό μοντέλο εξέλιξης της θερμοκρασίας του καταλυτικού μετατροπέα, μελετώντας την ομογενή εξίσωση θερμότητας σε μία διάσταση, με μη ομογενή αρχική συνθήκη και μη ομογενή συνοριακή συνθήκη. Αναφερόμαστε σε μεθόδους επίλυσης διαφορετικών περιπτώσεων, μέσω της μεθόδου Μετασχηματισμού Fourier Ημιτόνου και Μετασχηματισμού Fourier Συνημιτόνου και της μεθόδου του Μετασχηματισμού Laplace, διαφωτίζοντας κάθε μία με παραδείγματα που καταδεικνύουν τα προτερήματα και μειονεκτήματά τους. Μελετάμε κατόπιν μέσω της μεθόδου Χωριζομένων Μεταβλητών την μη ομογενή εξίσωση της θερμότητας σε πεπερασμένο διάστημα 0<x<L. Κατόπιν, χρησιμοποιώντας στοιχεία από την όλη θεωρία που περιγράφηκε, επιλύουμε αναλυτικά, στο τέλος του Κεφαλαίου 3, το γραμμικοποιημένο μοντέλο του καταλυτικού μετατροπέα, κοντά σε μια κατάσταση ισορροπίας του και συζητάμε τη σημασία της λύσης του για την μελέτη της λειτουργίας του καταλύτη. Αναγνωρίζοντας ότι η πλήρης αναλυτική λύση του μοντέλου δίνεται μέσω μαθηματικών εκφράσεων που είναι δύσκολο να υπολογισθούν απ’ευθείας, αναφερόμαστε στο Κεφάλαιο 4 σε ορισμένες πολύ σημαντικές αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση της εξίσωσης της θερμότητας υπό διαφορετικές αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Οι τεχνικές αυτές, που είναι γνωστές και ως μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών, είναι επιτυχείς μόνο αν χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες της σύγκλισης (σε μοναδική λύση) και της ευστάθειας. Κλείνοντας το κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε το κριτήριο von Neumann μέσω του οποίου μπορεί να εξασφαλισθεί στα προβλήματα αυτά η ευστάθεια και επομένως και η σύγκλιση των εν λόγω αριθμητικών μεθόδων. Τέλος, τα συμπεράσματά μας παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 5. / Catalytic converters are designed with the goal of minimizing the concentration of the polluting gases emitted by automobiles. The developed catalytic converter technologies are described and a mathematical model for optimizing their function is presented. The mathematical model is based on the problem of initial and boundary conditions of the heat equation at the semi-infinite and finite space using the appropriate methods. Methods for solving different cases of the heat equation are sinus and cosine Fourier transform, Laplace transform and the method of divided variables. Using the theory described, we solve in detail the linear model of catalytic converter, close to a condition of balance. The meaning of its solution is studied for the function of the catalytic converter. Finally some very important arithmetic methods for the solution of the heat equation under different initial and boundary conditions are described. These methods are known as “methods of finite differences” and are successful only under the conditions of stability and convergence. The Von Neumann criterion is presented. Using this criterion the stability can be ensured, thus the convergence.