Um problema matemático interessante consiste no estudo do conjunto das raízes de uma família de polinômios cujos coeficientes são restritos por certas condições. O trabalho [2] analisa polinômios cujos coeficientes são zeros ou uns, provando que o fecho do conjunto das raízes complexas destes polinômios é conexo por caminhos. Neste trabalho vamos considerar a família de polinômios cujos coeficientes são inteiros entre - M e M, para M dado. Vamos mostrar que o fecho do conjunto das raízes reais não-nulas destes polinômios é a união de dois intervalos. Para isso, será necessário analisar também séries de potências com coeficientes restritos pelas mesmas condições. / An interesting mathematical problem is the study of the set of zeros of a family of polynomials whose coefficients are restricted by certain conditions. The paper [2], for example, analyses polynomials which coefficients are O or 1, proving that the closure o f the set of complex zeros of these polynomials is path connected. We will consider here the family of polynomials with integers coefficients between - M and M , for M given. We will show that the closure of the set of non-zero real zeros ofthese polynomials is the union oftwo intervals. For this purpose, it will be necessary to analyze also power series with coefficients restricted by the same conditions.

Um problema matemático interessante consiste no estudo do conjunto das raízes de uma família de polinômios cujos coeficientes são restritos por certas condições. O trabalho [2] analisa polinômios cujos coeficientes são zeros ou uns, provando que o fecho do conjunto das raízes complexas destes polinômios é conexo por caminhos. Neste trabalho vamos considerar a família de polinômios cujos coeficientes são inteiros entre - M e M, para M dado. Vamos mostrar que o fecho do conjunto das raízes reais não-nulas destes polinômios é a união de dois intervalos. Para isso, será necessário analisar também séries de potências com coeficientes restritos pelas mesmas condições. / An interesting mathematical problem is the study of the set of zeros of a family of polynomials whose coefficients are restricted by certain conditions. The paper [2], for example, analyses polynomials which coefficients are O or 1, proving that the closure o f the set of complex zeros of these polynomials is path connected. We will consider here the family of polynomials with integers coefficients between - M and M , for M given. We will show that the closure of the set of non-zero real zeros ofthese polynomials is the union oftwo intervals. For this purpose, it will be necessary to analyze also power series with coefficients restricted by the same conditions.

Um problema matemático interessante consiste no estudo do conjunto das raízes de uma família de polinômios cujos coeficientes são restritos por certas condições. O trabalho [2] analisa polinômios cujos coeficientes são zeros ou uns, provando que o fecho do conjunto das raízes complexas destes polinômios é conexo por caminhos. Neste trabalho vamos considerar a família de polinômios cujos coeficientes são inteiros entre - M e M, para M dado. Vamos mostrar que o fecho do conjunto das raízes reais não-nulas destes polinômios é a união de dois intervalos. Para isso, será necessário analisar também séries de potências com coeficientes restritos pelas mesmas condições. / An interesting mathematical problem is the study of the set of zeros of a family of polynomials whose coefficients are restricted by certain conditions. The paper [2], for example, analyses polynomials which coefficients are O or 1, proving that the closure o f the set of complex zeros of these polynomials is path connected. We will consider here the family of polynomials with integers coefficients between - M and M , for M given. We will show that the closure of the set of non-zero real zeros ofthese polynomials is the union oftwo intervals. For this purpose, it will be necessary to analyze also power series with coefficients restricted by the same conditions.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Esse trabalho à baseado no artigo Analyticity Of Almost Everywhere Differentiable Functions, nele desenvolveremos um lema de partiÃÃo para funÃÃes superaditivas que permitirà uma demonstraÃÃo alternativa e simples dos teoremas de Besicovitch. / This work is based on the article Analyticity Of Almost Everywhere Differentiable Functions, it will develop a partitioning lemma for superadditive set functions which will lead to a simple alternative proof of Besicovitchâs theorems .

Submitted by Franciele Moreira (francielemoreyra@gmail.com) on 2017-09-20T18:06:53Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Bruna Luiza de Faria Rezende- 2017.pdf: 1376216 bytes, checksum: 9c03a69f7f93de81123e21bc0a3a36da (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-09-21T10:52:16Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Bruna Luiza de Faria Rezende- 2017.pdf: 1376216 bytes, checksum: 9c03a69f7f93de81123e21bc0a3a36da (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-21T10:52:16Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Bruna Luiza de Faria Rezende- 2017.pdf: 1376216 bytes, checksum: 9c03a69f7f93de81123e21bc0a3a36da (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-08-31 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work a basic immigration process was investigated which starts with a single colony with a single individual at the origin of a homogeneous tree with the other empty vertices. The process colonies are established at the vertices of the graph and each one grows during a random time, according to a process of general counting until a disaster that annihilates part of the population occurs. After the collapse a random amount of individuals survives and attempts to establish, in a independent manner, new colonies in a neighboring vertices. After a time these formed colonies also suffer catastrophes and the process is repeated. It is important to emphasize that the time until the disaster of each colony is independent of the others. Here this general process was studied under two methods, Poisson growth with geometric catastrophe and Yule growth with binomial catastrophe. That is, in each colony the population grows following a Poisson (or Yule), process during a random time, considered here exponential, and soon after that time its size is reduced according to the geometric (or binomial) law. Conditions were analyzed in the set of parameters so that these processes survived and limits were established that were relevant for the probability of survival, the number of colonies generated during the process and the range of the colonies in relation to the initial point. / Neste trabalho foi investigado um processo básico de imigração o qual é iniciado com uma única colônia com um único indivíduo na origem de uma árvore homogênea com os demais vértices vazios. As colônias do processo se estabelecem nos vértices do grafo e cada uma cresce durante um tempo aleatório, de acordo com um processo de contagem geral até ocorrer um desastre que aniquila parte da população. Após o colapso uma quantidade aleatória de indivíduos sobrevive e tenta estabelecer, de forma independente, novas colônias em vértices vizinhos. Depois de um tempo essas colônias formadas também sofrem catástrofes e o processo se repete. É importante enfatizar que o tempo até o desastre de cada colônia independe do das demais. Aqui esse processo geral foi estudado sujeito a dois métodos, crescimento de Poisson com catástrofe geométrica e crescimento de Yule com catástrofe binomial. Ou seja, em cada colônia a população cresce seguindo um processo de Poisson (ou Yule), durante um tempo aleatório, considerado aqui exponencial, e logo após esse tempo seu tamanho é reduzido de acordo com a lei geométrica (ou binomial). Foram analisadas condições no conjunto de parâmetros para que esses processos sobrevivam e foram estabelecidos limites relevantes para a probabilidade de sobrevivência, o número de colônias geradas durante o processo e o alcance das colônias em relação ao ponto inicial.