Sumario: 1- Introducción 2- Álgebra lineal y factorización LU de matrices 3- Clusters heterogéneos 4- Factorización LU en paralelo 5- Experimentación 6- Conclusiones Apéndice

[ES] Durante las primeras décadas del siglo pasado se estudiaron las inversas generalizadas que hoy en día se conocen como inversas generalizadas clásicas. Entre ellas cabe mencionar la inversa de Moore-Penrose (1955) y la inversa de Drazin (1958). Mientras que la inversa de Moore-Penrose se definió originalmente para matrices complejas rectangulares, la inversa de Drazin fue tratada, en un primer momento, únicamente para matrices cuadradas. Más tarde, en 1980, Cline y Greville realizaron la extensión del caso cuadrado al caso rectangular, mediante la consideración de una matriz de ponderación rectangular. Diferentes propiedades, caracterizaciones y aplicaciones fueron obtenidas para estos tipos de inversas generalizadas hasta finales del siglo pasado. En la última década, han aparecido nuevas nociones de inversas generalizadas. La primera de ellas fue la inversa core, introducida en el año 2010 por los autores Baksalary y Trenkler. La misma tuvo una amplia repercusión en la comunidad matemática debido a la sencillez de su definición, a su aplicación en la resolución de algunos sistemas lineales con restricciones que surgen en la teoría de redes eléctricas y también por su conexión con la inversa de Bott- Duffin. Muchos trabajos de investigación han surgido a partir de la inversa core, incluyendo sus extensiones a conjuntos más generales como el álgebra de operadores lineales acotados sobre espacios de Hilbert y/o al ámbito de anillos abstractos. El objetivo principal de esta tesis doctoral es definir y estudiar en profundidad una nueva inversa generalizada para matrices rectangulares, llamada inversa inversa de grupo débil ponderada, la cual extiende al caso rectangular la inversa de grupo débil recientemente definida (para el caso cuadrado) por Wang y Chen. También se considera un amplio estudio de la inversa core-EP ponderada definida por Ferreyra, Levis y Thome en el año 2018, y que extiende al caso rectangular inversa core-EP introducida por Manjunatha-Prasad y Mohana en el año 2014. Para ambas inversas generalizadas se obtienen nuevas propiedades, representaciones, caracterizaciones como así también su relación con otras inversas conocidas en la literatura. Además, se presentan dos algoritmos que permiten realizar un cálculo efectivo de las mismas. / [CA] Durant les primeres dècades del segle passat es van estudiar les inverses generalitzades que hui dia es coneixen com a inverses generalitzades clàssiques. Entre elles cal esmentar la inversa de Moore-Penrose (1955) i la inversa de Drazin (1958). Mentre que la inversa de Moore-Penrose es va definir originalment per a matrius complexes rectangulars, la inversa de Drazin va ser tractada, en un primer moment, únicament per a matrius quadrades. Més tard, en 1980, Cline i Greville van realitzar l'extensió del cas quadrat al cas rectangular, mitjançant la consideració d'una matriu de ponderació rectangular. Diferents propietats, caracteritzacions i aplicacions van ser obtingudes per a aquests tipus d'inverses generalitzades fins a finals del segle passat. En l'última dècada, han aparegut noves nocions d'inverses generalitzades. La primera d'elles va ser la inversa core, introduïda l'any 2010 pels autors Baksalary i Trenkler. La mateixa va tindre una àmplia repercussió en la comunitat matemàtica a causa de la senzillesa de la seua definició, a la seua aplicació en la resolució d'alguns sistemes lineals amb restriccions que sorgeixen en la teoria de xarxes elèctriques i també per la seua connexió amb la inversa de Bott-Duffinn. Molts treballs de recerca han sorgit a partir de la inversa core, incloent les seues extensions a conjunts més generals com l'àlgebra d'operadors lineals delimitats sobre espais de Hilbert i/o a l'àmbit d'anells abstractes. L'objectiu principal d'aquesta tesi doctoral és definir i estudiar en profunditat una nova inversa generalitzada per a matrius rectangulars, anomenada inversa inversa de grup feble ponderada, la qual estén al cas rectangular la inversa de grup feble recentment definida (per al cas quadrat) per Wang i Chen. Tamb é es considera un ampli estudi de la inversa core-EP ponderada definida per Ferreyra, Levis i Thome l'any 2018, i que estén al cas rectangular inversa core-EP introduïda per Manjunatha-Prasad i Mohana l'any 2014. Per a totes dues inverses generalitzades s'obtenen noves propietats, representacions, caracteritzacions com així també la seua relació amb altres inverses conegudes en la literatura. A més, es presenten dos algorismes que permeten realitzar un càlcul efectiu d'aquestes. / [EN] Generalized inverses, known today as Classical Generalized Inverses, were studied during the first decades of the last century. Two important classical generalized inverses are the Moore-Penrose inverse (1955) and the Drazin inverse (1958). The Moore-Penrose inverse was originally defined for complex rectangular matrices. In turn, the Drazin inverse was studied, at first, only for square matrices. It was in 1980 when Cline and Greville extended the case of square matrices to the case of rectangular matrices by considering a weight rectangular matrix. Throughout the entire past century there appeared difierent properties, characterizations and applications of these types of generalized inverses. This last decade gave rise to new notions of generalized inverses. The first of these new notions is known as the core inverse. Core inverses were introduced in 2010 by Baksalary and Trenkler. Their work had a wide repercussion in the mathematical community due to the simplicity of its denition and its application in the solution of some linear systems with restrictions. The core inverse further gain in interest due to their connection to the Bott-Duffin inverse. There is a large body of work on the core inverse, including extensions to more general sets if such as the algebra of bounded linear operators on Hilbert spaces and/or abstract rings. The main goal of this thesis is to define and study in depth a new generalized inverse for rectangular matrices. This new inverse is called weighted weak group inverse (or weighted WG inverse). Weighted WG inverses extend weak group inverse, recently defined for the square case by Wang and Chen, to the rectangular case. We also consider an extensive study of the weighted core-EP inverse. The latter type of inverse was dened by Ferreyra, Levis, and Thome in 2018. This inverse extends the core-EP inverse introduced by Manjunatha- Prasad and Mohana in 2014 to the rectangular case. This thesis presents new properties, representations, characterizations, as well as their relation with other inverses known in the literature are obtained, for weighted WG inverses and weighted core-EP inverse. In addition, the thesis presents two algorithms that allow for an efiective computation weighted WG inverses and weighted core-EP inverse. / Orquera, V. (2022). La inversa core-EP y la inversa de grupo débil para matrices rectangulares [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/185227 / TESIS

La presente investigación tiene como propósito identificar los conocimientos especializados que tienen dos profesores sobre los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) en un curso de Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería. Las investigaciones realizadas a nivel universitario con respecto a este tema son muy escasas en nuestro país y la mayoría de ellas se han realizado con estudiantes en la educación secundaria. Esta investigación se realiza aplicando el Modelo del Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM) que se desarrolla dentro del marco teórico del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemáticos (EOS), cuyas herramientas nos han permitido identificar los conocimientos especializados que tiene un profesor universitario que enseña contenidos matemáticos. Esta investigación es de tipo cualitativo y el método empleado es el estudio de caso. Con los antecedentes encontrados al buscar la literatura correspondiente sobre la enseñanza y aprendizaje de los SEL se construye un instrumento, que contiene dos cuestionarios (Actividad 1 y Actividad 2) relacionados con nuestro objeto matemático de estudio que son los SEL, el cual fue aplicado a dos profesores que tienen un posgrado en enseñanza de las matemáticas y que dictan un curso de Álgebra Lineal en una universidad privada de Lima para obtener información de los conocimientos común, ampliado y especializado. A partir del análisis de los datos obtenidos, se puede inferir que los dos profesores en este estudio tienen el conocimiento común del contenido necesario para resolver las tareas propuestas en los textos del nivel al que enseñan; sin embargo, en relación con los conocimientos ampliado del contenido y especializados (en la faceta epistémica) hay algunos aspectos que son limitados o desconocidos por ellos. / The purpose of this research is to identify the specialized knowledge that two professors have about linear systems of equations (SEL) in a Linear Algebra course for engineering students. The research carried out at the university level regarding this subject is very scarce in our country and most of them have been carried out with students in secondary education. This research is carried out applying the Didactic- Mathematical Knowledge Model (CDM) developed within the theoretical framework of the Ontosemiótico Approach of Mathematical Cognition and Instruction (EOS), whose tools have allowed us to identify the specialized knowledge that a university professor has when he teaches mathematical contents. This research is qualitative and the method used is the Case Study. With the background found when searching the corresponding literature on teaching and learning of the SEL, an instrument is constructed, which contains two questionnaires (Activity 1 and Activity 2) related to our mathematical object of study, which are the SEL, which was applied to two professors who have a postgraduate degree in mathematics teaching and who teach a course in Linear Algebra at a private university in Lima to obtain common, expanded and specialized knowledge information. From the analysis of the obtained data, it can be inferred that the two professors in this study have the common knowledge of the necessary content to solve the tasks proposed in the texts of the level they teach; however, in relation to expanded content and specialized knowledge (in the epistemic facet) there are some aspects that are limited or unknown by them.

[ES] El Análisis Matricial proporciona herramientas muy útiles en la Matemática Aplicada. La teoría de matrices inversas generalizadas constituye una de estas herramientas. Su aplicación a otras áreas de las matemáticas y a otras disciplinas es importante. En esta tesis doctoral se definen e investigan nuevas inversas generalizadas, y se encuentran y caracterizan nuevos órdenes parciales definidos a partir de algunas de ellas. Por lo tanto, esta tesis doctoral se enmarca en dos importantes áreas: el Análisis Matricial y la Teoría de Matrices, y el Algebra de la Lógica (Estructuras Algebraicas Ordenadas). En la primera parte de esta tesis se define e investiga una nueva clase de inversas generalizadas híbridas, las inversas GDMP (y dualmente, las MPGD inversas) en el conjunto de matrices cuadradas de índice arbitrario, como una extensión de las inversas DMP a una clase más general. En esta tesis se presentan las nuevas inversas generalizadas GDMP como cierto producto de matrices que involucra las inversas G-Drazin y la inversa de Moore- Penrose. Se investigan sus propiedades mediante diferentes enfoques y se las caracteriza desde diferentes puntos de vista. Como complemento, se proporciona un algoritmo para hallarlas, que además permite encontrar una inversa G-Drazin. El estudio de proyectores es un área importante en diferentes ramas de las Matemáticas y en el Análisis Matricial en particular. La teoría de inversas generalizadas se utiliza como herramienta para analizarlos y operar con ellos. En la segunda parte de esta tesis se estudia el comportamiento de ciertos proyectores oblicuos definidos mediante inversas generalizadas. A partir de la definición de una adecuada relación de equivalencia en conjuntos particulares de matrices complejas, se introduce una nueva clase de matrices inversas generalizadas como el representante "más simple" de cada clase de equivalencia. Además, se representan como combinación de una inversa interior y la inversa de Moore-Penrose. Esta es la razón por la que se las ha denominado inversas 1MP y MP1. De manera similar se introducen las inversas 2MP y sus duales, las MP2. M. Mehdipour y A. Salemi definieron en [53j la inversa CMP de una matriz cuadrada A poniendo el énfasis en la parte core de la propia matriz A. En esta tesis doctoral se realiza un análisis similar, centrando el enfoque en las inversas 2MP. Surgen de esta manera las inversas generalizadas C2MP. La teoría de inversas generalizadas se relaciona estrechamente con la de órdenes parciales. En esta tesis se retoma el estudio, comenzado en [45], de las propiedades del orden diamante en conjuntos de matrices rectangulares. Como una aplicación de las inversas generalizadas 1MP y MP1, se definen dos nuevas relaciones de orden en conjuntos de matrices rectangulares. Esta tesis está organizadas en cuatro capítulos. En el Capítulo 1 se desarrollan algunos antecedentes del tema de la tesis y se presentan los resultados preliminares necesarios para el desarrollo del resto de los capítulos. En el Capítulo 2 se presentan las clases de matrices GDMP y MPGD, se demuestran propiedades de estas inversas y se describe un algoritmo para hallarlas. El Capítulo 3 se aboca al estudio de ciertos proyectores que permiten definir las clases de inversas generalizadas 1MP, MP1, 2MP y MP2. Al tomar un caso particular de inversa exterior, se definen las inversas C2MP. Además, se presentan las inversas definidas en esta tesis como inversas con espacio rango y espacio nulo prescrito. Finalmente, en el Capítulo 4, con la intención de estudiar una aplicación de la teoría de inversas generalizadas, se profundiza el estudio de órdenes parciales, proporcionando nuevas propiedades del orden diamante. También, se presentan e investigan dos nuevas relaciones de orden en el conjunto de matrices rectangulares y se analizan sus propiedades. Algunos de los resultados obtenidos en esta tesis pueden encontrarse en [37, 38, 39, 40, 41j. / [CA] L'Analisi Matricial proporciona eines molt útils en la Matematica Aplicada. La teoria de matrius inverses generalitzades constitueix una d'aquestes eines. La seua aplicació a altres arees de les matematiques i a altres disciplines és important. En aquesta tesi doctoral es defineixen i investiguen noves inverses generalitzades, i es troben i caracteritzen nous ordres parcials definits a partir d'algunes d'elles. Per tant, aquesta tesi doctoral s'emmarca en dues importants arees: l'Analisi Matricial i la Teoria de Matrius, i l' Álgebra de la Lógica (Estructures Algebraiques Ordenades). En la primera part d'aquesta tesi es defineix i investiga una nova classe d'inverses generalitzades híbrides, les invernes GDMP (i dualment, les MPGD invernes) en el conjunt de matrius quadrades d'índex arbitrari, com una extensió de les invernes DMP a una classe més general. En aquesta tesi es presenten les noves invernes generalitzades GDMP com a cert producte de matrius que involucra les invernes G-Drazin i la inversa de Moore-Penrose. S'investiguen les seues propietats mitjanc;ant diferents enfocaments i es caracteritzen des de diferents punts de vista. Com a complement, es proporciona un algorisme per a trabar-les, que a més permet trabar una inversa G-Drazin. L'estudi de projectors és una area important en diferents branques de les Matemati­ ques i en l' Analisi Matricial en particular. La teoría d'inverses generalitzades s'utilitza com a eina per a analitzar-los i operar amb ells. En la segona part d'aquesta tesi s'estudia el comportament d'uns certs projectors oblics definits mitjanc;ant invernes generalitzades. A partir de la definició d'una adequada relació d'equivalencia en conjunts particulars de matrius complexes, s'introdueix una nova classe de matrius invernes generalitzades com el representant "més simple" de cada classe d'equivalencia. A més, es representen com a combinació d'una inversa interior i la inversa de Moore­ Penrose. Aquesta és la raó per la qual se les ha denominades invernes lMP i MPl. De manera similar, es defineixen les inverses 2MP i els seus duals, les MP2. M. Mehdipour i A. Salemi van definir en [53] la inversa CMP d'una matriu quadrada A posant l'emfasi en la part core de la propia matriu A. En aquesta tesi doctoral es realitza una analisi similar, centrant l'enfocament en les inverses 2MP. Sorgeixen d'aquesta manera les inverses generalitzades C2MP. En aquesta tesi es reprén l'estudi, començat a [45], de les propietats de l'ordre diamant en conjunts de matrius rectangulars. Comuna aplicació de les inverses generalitzades lMP i MPl, es defineixen dues noves relacions d'ordre en conjunts de matrius rectangulars. Finalment, es troba una altra caracterització de l'ordre diamant. Aquesta tesis esta organitzada en quatre capítols. En el Capítol 1 es desenvolupen alguns antecedents del tema de la tesi i es presenten els resultats preliminars necessaris per al desenvolupament de la resta dels capítols. En el Capítol 2 es presenten les classes de matrius GDMP i MPGD, es demostren propietats d'aquestes inverses i es descriu un algorisme per a trobar-les. El Capítol 3 es dedica a l'estudi d'uns certs projectors que permeten definir les classes d'inverses generalitzades lMP, MPl, 2MP i MP2. Particularitzant la inversa exterior considerada, es defineixen les inverses C2MP. A més, es presenten les inverses definides en aquesta tesi com a inverses amb espai rang i espai nul prescrit. Finalment, en el Capítol 4, amb la intenció d'estudiar una aplicació de la teoría d'inverses generalitzades, s'aprofundeix en l'estudi d'ordres parcials, proporcionant noves propietats de l'ordre diamant. També, es presenten i investiguen dues noves relacions d'ordre en el conjunt de matrius rectangulars i s'analitzen les seues propietats. Alguns dels resultats obtinguts en aquesta tesi poden trobar-se en [37, 38, 39, 40, 41]. / [EN] The Matrix Analysis provides with very useful tools for the Applied Mathematics. The theory of Generalized Inverse Matrices constitutes one of these tools. Its application is important for other areas of mathematics and other disciplines. In this PhD. thesis, new generalized inverses are defined and investigated, and new partial orders defined by sorne of them are found and characterized. Therefore, this PhD. thesis is based on two important areas: the Matrix Analysis and the Theory of Matrices, and the Algebra of Logic (Ordered Algebraic Structures). In the first part this PhD. thesis, a new kind of hybrid generalized inverse is defined and investigated, the GDMP-inverses (and their duals, the MPGD-inverses), in the setting of square matrices of an arbitrary index, as an extension of the DMP inverses to a more general class. In this PhD. thesis, generalized GDMP-inverses are introduced as a certain product of matrices that involve the G-Drazin inverse and the Moore-Penrose inverse. The pro­ perties are investigated by different methods and characterized from different points of view. As a complement, it is provided an algorithm to compute them, which also allows to find a G-Drazin inverse. The study of projectors is an important area in different branches of Mathematics and particularly in the Matrix Analysis. The theory of generalized inverses is used as a tool to analyze them and operate with them. In the second part of this PhD. thesis, the behaviour of certain oblique projectors defined by generalized inverses is studied. From the definition of an adequate equivalence relation in particular sets of complex matrices, a new class of generalized inverse matrices is introduced as the "simplest" representant of each class of equivalence. Besides, they are represented as a product of an inner inverse and the Moore-Penrose inverse. This is the reason why they have been named lMP and MPl inverses. Both the core inverse and the DMP inverse are expressed as an adequate product involving a specific outer inverse and the Moore-Penrose inverse. Similarly, the 2MP inverses and their duals, the MP2 inverses, are defined. M. Mehdipour and A. Salemi defined in [53] the CMP inverse of a square matrix A, emphasizing the care part of the A matrix itself. In this PhD. thesis, a similar analysis is done, focusing on the care part of 2MP inverses. In this way, the generalized C2MP inverses are investigated. The study of the diamond order properties in sets of rectangular matrices is inves­ tigated in this PhD. thesis. Two new order relations in sets of rectangular matrices are defined as an application of the generalized lMP and MPl inverses. Finally, another characterization of the diamond order is investigated in this PhD. thesis. This PhD. thesis is organized into four chapters. In Chapter 1, sorne introduction of the PhD. thesis topic are developed and the preliminary results needed for the development of the rest of the chapters are presented. In Chapter 2, the classes of GDMP and MPGD matrices are presented, properties of these inverses are proved and an algorithm to find them is described. Chapter 3 is focused on the study of certain projectors that allow to define the classes of generalized lMP, MPl, 2MP and MP2 inverses. When taking a particular case of outer inverse, the C2MP inverses are defined. Moreover, the inverses defined in this PhD. thesis are presented as inverses with prescribed range and null space. Finally, in Chapter 4, the partial orders are studied in more detail, providing new properties of the diamond order, with the purpose of studying an application of the theory of generalized inverses. Finally, two new order relations are presented and investigated in the set of rectangular matrices and their properties are analyzed. Sorne of the results obtained in this PhD. thesis can be found in [37, 38, 39, 40, 41]. / Hernández, MV. (2022). Matrices inversas generalizadas definidas mediante proyectores y su aplicación a órdenes parciales matriciales [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/186007 / TESIS