La presente investigación tiene como objetivo analizar cómo el tránsito por distintos registros de representación semiótica favorece la comprensión de la noción de función cuadrática en estudiantes de quinto año de educación secundaria. Utilizamos como marco teórico la Teoría de Registros de Representación Semiótica propuesta por Duval. En cuanto a la metodología, hemos tomado algunos aspectos de la ingeniería didáctica de Artigue. Con respecto a la experimentación y análisis, elaboramos y aplicamos una secuencia de dos actividades: la primera consta de cinco partes y la segunda, de dos partes. Estas fueron elaboradas con el propósito de que los estudiantes transiten por los diversos registros de la representación semiótica movilizando la noción de función cuadrática. Por esto, nos focalizamos en el análisis de los aciertos y las dificultades que los estudiantes mostraron al realizar las actividades cognitivas de tratamiento y conversión en los diferentes registros de dicha representación. Los resultados obtenidos muestran que la mayoría de estudiantes lograron transitar por los siguientes registros de representación semiótica: lengua natural, tabular, algebraico y gráfico, lo cual permitió movilizar sus conocimientos previos referidos a elementos y propiedades de la función cuadrática en sus diferentes representaciones. Sin embargo, presentaron dificultades para explicar y justificar los elementos y propiedades de la función cuadrática en lenguaje natural. / This research has as aim analyze how the transit through different registers of semiotic representation favors the understanding of the concept of quadratic function in fifth year of secondary education students. We use as a theoretical framework Records Theory of Semiotics Representation proposed by Duval. In terms of methodology, we have taken some aspects of Artigue didactic engineering. With respect to experimentation and analysis, we elaborate and apply a sequence of two activities: the first consists of five parts and the second of two parts. These were elaborated by the intention of which the students pass along the diverse records of the representation semiotics mobilizing the notion of quadratic function. For this, we focus ourselves in the analysis of the successes and the difficulties that the students showed on having realized the cognitive activities of treatment and conversion in the different records of the above mentioned representation. The obtained results show that the majority of students managed to pass along the following records of representation semiotics: natural language, tabulates, algebraic and graphically, which allowed mobilize their previous knowledge referred to elements and properties of the quadratic function in their different representations. Nevertheless, they presented difficulties to explain and to justify the elements and properties of the quadratic function in natural language. / Tesis

La presente investigación tiene como objetivo analizar cómo el tránsito por distintos registros de representación semiótica favorece la comprensión de la noción de función cuadrática en estudiantes de quinto año de educación secundaria. Utilizamos como marco teórico la Teoría de Registros de Representación Semiótica propuesta por Duval. En cuanto a la metodología, hemos tomado algunos aspectos de la ingeniería didáctica de Artigue. Con respecto a la experimentación y análisis, elaboramos y aplicamos una secuencia de dos actividades: la primera consta de cinco partes y la segunda, de dos partes. Estas fueron elaboradas con el propósito de que los estudiantes transiten por los diversos registros de la representación semiótica movilizando la noción de función cuadrática. Por esto, nos focalizamos en el análisis de los aciertos y las dificultades que los estudiantes mostraron al realizar las actividades cognitivas de tratamiento y conversión en los diferentes registros de dicha representación. Los resultados obtenidos muestran que la mayoría de estudiantes lograron transitar por los siguientes registros de representación semiótica: lengua natural, tabular, algebraico y gráfico, lo cual permitió movilizar sus conocimientos previos referidos a elementos y propiedades de la función cuadrática en sus diferentes representaciones. Sin embargo, presentaron dificultades para explicar y justificar los elementos y propiedades de la función cuadrática en lenguaje natural. / This research has as aim analyze how the transit through different registers of semiotic representation favors the understanding of the concept of quadratic function in fifth year of secondary education students. We use as a theoretical framework Records Theory of Semiotics Representation proposed by Duval. In terms of methodology, we have taken some aspects of Artigue didactic engineering. With respect to experimentation and analysis, we elaborate and apply a sequence of two activities: the first consists of five parts and the second of two parts. These were elaborated by the intention of which the students pass along the diverse records of the representation semiotics mobilizing the notion of quadratic function. For this, we focus ourselves in the analysis of the successes and the difficulties that the students showed on having realized the cognitive activities of treatment and conversion in the different records of the above mentioned representation. The obtained results show that the majority of students managed to pass along the following records of representation semiotics: natural language, tabulates, algebraic and graphically, which allowed mobilize their previous knowledge referred to elements and properties of the quadratic function in their different representations. Nevertheless, they presented difficulties to explain and to justify the elements and properties of the quadratic function in natural language.

Se han llevado a cabo diversos estudios en relación con la proporcionalidad, desde perspectivas epistemológicas y didácticas, ya que se reconoce el potencial que tiene este objeto matemático para el desarrollo del razonamiento algebraico desde los primeros años de escolaridad. Se ha identificado que en el nivel de Educación Primaria los problemas sobre proporcionalidad se modelan con frecuencia través de tablas de valores. Así, este trabajo de tesis centra su atención en el diseño y experimentación de situaciones didácticas que involucren tablas de proporcionalidad, las cuales se modifican teniendo en cuenta variables didácticas, así como los niveles de razonamiento algebraico elemental (RAE). Considerando el marco teórico del Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y de la instrucción matemáticos (EOS), se propone como objetivo general analizar de qué manera el uso de las tablas de proporcionalidad y la modificación de los datos, permite la evolución de los niveles de razonamiento algebraico elemental en estudiantes del sexto grado de Educación Primaria. Se emplea la ingeniería didáctica fundamentada en el EOS como método de investigación. Los resultados obtenidos muestran que los estudiantes han logrado evolucionar en los niveles del RAE a partir de la realización de tareas que involucran tablas de proporcionalidad. Las tareas demandan cada vez un mayor grado de generalización, así como una evolución en el uso de lenguajes que van desde lo numérico o verbal hasta lenguajes simbólicos que se ponen en evidencia con el uso eficiente de hojas de cálculo. Finalmente, del presente trabajo se pueden extraer algunas orientaciones que permitan a futuras investigaciones proponer nuevas situaciones didácticas, cuya gestión tendrán en cuenta las variables didácticas para una eficiente progresión del razonamiento proporcional, promoviendo así niveles mayores de algebrización: desde un nivel incipiente de algebrización (RAE 0-1) hasta un nivel consolidado de algebrización (RAE 3), donde se siente las bases para la Educación Secundaria y se logre llegar a la aplicación del significado propiamente algebraico. / Various studies have been carried out in relation to proportionality, from epistemological and didactic perspectives, given the recognition of the considerable potential of this mathematical object for the development of algebraic reasoning as of the first years of schooling. It has been identified that at the Primary Education level, proportionality problems are frequently modeled through tables of values. Consequently, this research study focuses its attention on the design and experimentation of didactic situations that involve proportionality tables, which are modified considering didactic variables, as well as the levels of elementary algebraic reasoning (EAR). Considering the theoretical framework of the Onto-semiotic Approach to research in mathematics education (OSA), this paper proposes as the general objective the analysis of the manner in which the use of proportionality tables and the modification of data allows the evolution of elementary algebraic reasoning levels in students of the sixth grade of Primary Education. Didactic engineering based on OSA is used as a research method. The results obtained show that the students have managed to progress in the EAR levels through the performance of tasks that involve proportionality tables. The aforementioned tasks demand a greater degree of generalization as they progress, as well as presenting an evolution in the use of languages ranging from numerical or verbal to symbolic languages, which is evidenced with the efficient use of spreadsheets. Finally, from this study some orientations can be extracted that allow future research to propose new didactic situations, whose operation will take into account the didactic variables for an efficient progression of proportional reasoning, thus promoting higher levels of algebrization; ranging from an incipient level of algebrization (EAR 0-1) to a consolidated level of algebraization (EAR 3), where the foundations for Secondary Education are laid and the application of the proper algebraic meaning is achieved. / Foram realizados diversos estudos relacionados com a proporcionalidade, a partir de perspectivas epistemológicas e didáticas, reconhecendo o potencial deste conceito matemático para o desenvolvimento do raciocínio algébrico desde os primeiros anos de escolaridade. Identificou-se que, no nível do Ensino Primário, os problemas relacionados com a proporcionalidade são frequentemente modelados através de tabelas de valores. Portanto, este trabalho de tese concentra-se no desenho e experimentação de situações didáticas que envolvem tabelas de proporcionalidade, as quais são modificadas tendo em conta variáveis didáticas e os níveis de raciocínio algébrico elementar (RAE). Considerando o marco teórico da Abordagem Ontosemiótica do conhecimento e da instrução matemáticos (EOS), o objetivo geral é analisar como o uso de tabelas de proporcionalidade e a modificação dos dados permitem a evolução dos níveis de raciocínio algébrico elementar em estudantes do sexto ano do Ensino Primário. Foi empregada a engenharia didática fundamentada na EOS como método de pesquisa. Os resultados obtidos mostram que os estudantes conseguiram evoluir nos níveis de RAE através da realização de tarefas que envolvem tabelas de proporcionalidade. As tarefas exigem cada vez mais generalização, bem como uma evolução no uso de linguagens que vão desde o numérico ou verbal até linguagens simbólicas, que se evidenciam com a utilização eficiente de folhas de cálculo. Por fim, a partir deste trabalho, podem ser retiradas orientações que permitirão a futuras investigações propor novas situações didáticas, cuja gestão levará em consideração as variáveis didáticas para uma eficiente progressão do raciocínio proporcional, promovendo assim níveis mais avançados de algebrização: desde um nível inicial de algebrização (RAE 0-1) até um nível consolidado de algebrização (RAE 3), que servirá de base para o Ensino Secundário e permitirá a aplicação do significado propriamente algébrico.