This thesis studies various aspects of differential algebra, from fundamental concepts to practical computations. A characteristic feature of this work is the use of combinatorial techniques, which offer a unique and original perspective on the subject matter. First, we establish the connection between the n-jet space of the fat point defined by xm and the stable set polytope of a perfect graph. We prove that the dimension of the coordinate ring of the scheme defined by polynomial arcs of degree less than or equal to n is a polynomial in m of degree n + 1. This is based on Zobnin’s result which states that the set {x^m} is a differential Gr ̈obner basis for its differential ideal. We generalize this statement to the case of two independent variables and link the dimensions in this case to some triangulations of the p × q rectangle, where the pair (p, q) now plays the role of n. Second, we study the arc space of the fat point x^m on a line from the point of view of filtration by finite-dimensional differential algebras. We prove that the generating series of the dimensions of these differential algebras is m/(1 -mt) . Based on this we propose a definition of the multiplicity of a solution of an algebraic differential equation as the growth of the dimensions of these differential algebras. This generalizes the concept of the multiplicity of an ideal in a polynomial ring. Furthermore, we determine a full description of the set of standard monomials of the differential ideal generated by x^m. This description proves a conjecture by Afsharijoo concerning a new version of the Roger-Ramanujan identities. Every homogeneous linear system of partial differential equations with constant coef- ficients can be encoded by a submodule of the ring of polynomials. We develop practical methods for computing the space of solutions to these PDEs. These spaces are typically infinite dimensional, and we use the Ehrenpreis–Palamodov Theorem for finite encoding. We apply this finite encoding to the solutions of the PDEs associated with the arc spaces of a double point. We prove that these vector spaces are spanned by determinants of some special Wronskians, and we relate them to differentially homogeneous polynomials. Finally, we introduce D-algebraic functions: they are solutions to algebraic differential equations. We study closure properties of these functions. We present practical algorithms and their implementations for carrying out arithmetic operations on D-algebraic functions. This amounts to solving elimination problems for differential ideals.

Neste trabalho estudou-se a modelagem matemática de processo de polimerização em suspensão de estireno, envolvendo a equação de balanço populacional para a previsão da distribuição de tamanhos de partículas. Neste problema os termos referentes aos processos de quebra e coalescência de partículas são importantes. Foram estudados métodos de solução da equação de balanço populacional e a solução desta equação, para o problema de polimerização em suspensão, foi obtida pelo método discretização do domínio em classes, usando a técnica dos pivôs fixos. Foram investigados os efeitos no número de elementos de discretização (número de classes) e o modo de modelar a distribuição inicial de tamanhos de gotas de monômero, quando esta não é medida experimentalmente. Neste caso, adotou-se uma distribuição normal com média elevada e variância pequena, arbitrárias, e simulou-se o processo de agitação com ocorrência de quebra e coalescência, até que se atingisse uma distribuição que não variasse com o tempo. Esta distribuição era usada então como condição inicial para a simulação do processo. Os resultados da simulação foram validados por comparação com dados experimentais referentes à evolução da distribuição de tamanhos das partículas, obtidos da literatura. O primeiro conjunto de dados foi referente ao processo de dispersão de gotas de estireno em água (sem ocorrência de polimerização). O segundo conjunto de dados foi referente ao processo de polimerização em suspensão de estireno em reator de batelada de escala de laboratório, nas quais os efeitos da velocidade de agitação, quantidade de agente estabilizante e fração de fase dispersa foram estudados. Em ambos os casos, o modelo representou corretamente o comportamento dos dados experimentais. / The mathematical modeling of suspension polymerization of styrene accounting for the population balance equation to predict the dynamic behavior of particle size distribution was studied. In this process, the population balance is determined by the rates of breakage and coalescence. Different methods for solving population balance (BP) equations were studied and, for the case of suspension polymerization, the numerical solution was obtained using the discretized BP by the method of classes and the fixed pivot technique. The effect of the number of discretization elements (number of classes) was investigated. In order to model the initial particle size distribution (PSD), which was not measured experimentally, an initial normal distribution with high average and low variance was assumed and the agitation process with breakage and coalescence was simulated until a constant PSD is reached. This PSD is then used as the initial condition for the process simulation. Simulation results were validated by comparison with experimental data taken from the literature. The first data set involves the dispersion process of styrene droplets in water, without polymerization. The second data set refers to the process of suspension polymerization of styrene carried out in a laboratory-scale batch reactor, in which the effects of agitation speed, amount of stabilizer (surface-active agent) and disperse phase holdup were studied. In both cases, the model was able to represent correctly the trends of the experimental data.

Neste trabalho estudou-se a modelagem matemática de processo de polimerização em suspensão de estireno, envolvendo a equação de balanço populacional para a previsão da distribuição de tamanhos de partículas. Neste problema os termos referentes aos processos de quebra e coalescência de partículas são importantes. Foram estudados métodos de solução da equação de balanço populacional e a solução desta equação, para o problema de polimerização em suspensão, foi obtida pelo método discretização do domínio em classes, usando a técnica dos pivôs fixos. Foram investigados os efeitos no número de elementos de discretização (número de classes) e o modo de modelar a distribuição inicial de tamanhos de gotas de monômero, quando esta não é medida experimentalmente. Neste caso, adotou-se uma distribuição normal com média elevada e variância pequena, arbitrárias, e simulou-se o processo de agitação com ocorrência de quebra e coalescência, até que se atingisse uma distribuição que não variasse com o tempo. Esta distribuição era usada então como condição inicial para a simulação do processo. Os resultados da simulação foram validados por comparação com dados experimentais referentes à evolução da distribuição de tamanhos das partículas, obtidos da literatura. O primeiro conjunto de dados foi referente ao processo de dispersão de gotas de estireno em água (sem ocorrência de polimerização). O segundo conjunto de dados foi referente ao processo de polimerização em suspensão de estireno em reator de batelada de escala de laboratório, nas quais os efeitos da velocidade de agitação, quantidade de agente estabilizante e fração de fase dispersa foram estudados. Em ambos os casos, o modelo representou corretamente o comportamento dos dados experimentais. / The mathematical modeling of suspension polymerization of styrene accounting for the population balance equation to predict the dynamic behavior of particle size distribution was studied. In this process, the population balance is determined by the rates of breakage and coalescence. Different methods for solving population balance (BP) equations were studied and, for the case of suspension polymerization, the numerical solution was obtained using the discretized BP by the method of classes and the fixed pivot technique. The effect of the number of discretization elements (number of classes) was investigated. In order to model the initial particle size distribution (PSD), which was not measured experimentally, an initial normal distribution with high average and low variance was assumed and the agitation process with breakage and coalescence was simulated until a constant PSD is reached. This PSD is then used as the initial condition for the process simulation. Simulation results were validated by comparison with experimental data taken from the literature. The first data set involves the dispersion process of styrene droplets in water, without polymerization. The second data set refers to the process of suspension polymerization of styrene carried out in a laboratory-scale batch reactor, in which the effects of agitation speed, amount of stabilizer (surface-active agent) and disperse phase holdup were studied. In both cases, the model was able to represent correctly the trends of the experimental data.