Cette thèse est en majeure partie dédiée au calcul rapide de remontée p-adique par des algorithmes détendus. Dans une première partie, nous présentons le cadre général des algorithmes détendus et de leur application au calcul de p-adiques récursifs. Pour appliquer ce cadre à la remontée p-adique de divers systèmes d'équations, il reste à transformer ces équations implicites en équations récursives. Ainsi, la seconde partie traite des systèmes d'équations linéaires, éventuellement différentiels. La remontée de résolutions de systèmes polynomiaux se trouve en troisième partie. Dans tous les cas, les nouveaux algorithmes détendus sont comparés, en théorie comme en pratique, aux algorithmes existants. En quatrième partie, nous étudions l'algèbre de décomposition universelle d'un polynôme. Nous développons un algorithme rapide pour calculer une représentation adéquate de cette algèbre et l'utilisons pour manipuler efficacement les éléments de l'algèbre. Finalement, nous montrons en annexe que la recherche d'invariants fondamentaux d'algèbres d'invariants sous un groupe fini peut se faire directement modulo p, facilitant ainsi leur calcul.