A presente dissertação aborda pesquisas recentes sobre dois tópicos distintos da Matemática. Não é a primeira vez que as conexões entre geometria e álgebra são frutíferas, mas é somente agora que as idéias geométricas estão sendo aplicadas efetivamente na fatoração de polinômios, um tema puramente algébrico. Mais especificamente, estudamos a decomposição de politopos e suas aplicações na fatoração de polinômios. Começamos apresentando construções de politopos integralmente indecomponíveis que levam a critérios de irredutibilidade de polinômios. Estudamos detalhadamente algoritmos para a decomposição de politopos, sempre ilustrados com exemplos e comentários sobre suas aplicações. Terminamos apresentando um algoritmo desenvolvido por Fatima Salem, Shuhong Gao e Alan Lauder, que fatora polinômios bivariados a partir da decomposição do seu politopo de Newton associado. Esse algoritmo é um marco nessa área já que traduz, pela primeira vez, de forma eficiente, idéias geométricas para a fatoração polinomial, usando uma técnica similar ao levantamento de Hensel. / The present work deals with recent research about two distinct mathematical topics. It is not the first time that connections between geometry and algebra are fruitful, but it is only now that geometric ideas are being applied effectively in polynomial factorization, a purely algebraic theme. More specifically we study the decomposition of polytopes and their applications on polynomial factorization. We begin studying construction of indecomposable polytopes which give many irreducibility criteria polynomial. We study thoroughly algorithms for decomposition of polytopes, always illustrated with examples and comments about their applications. We finish presenting an algorithm developed by Fatima Salem, Shuhong Gao and Alan Lauder for factoring bivariate polynomials from the decomposition of the Newton polytope associated. This algorithm is a mark land in the field since it translate, for the first time, effectivelly, geometric ideas for polynomial factorization using a technic similar to Hensel lifting.

O objetivo primordial desse trabalho está concentrado no estudo de Curvas NURBS (B-spline Racional N˜ao-Uniforme). A literatura em português sobre NURBS é escassa, pouco difundida e os textos e artigos existentes tendem a ser rigorosos, longos e teóricos. Assim, o presente estudo está direcionado para os conceitos matemáticos de NURBS, para o qual foi utilizado uma ferramenta chamada DesignMentor com a finalidade de testar os algoritmos desses conceitos. NURBS são funções paramétricas que podem representar qualquer tipo de curva. NURBS são usadas em computação gráfica na indústria de CAD/CAM e estão sendo consideradas um padrão para criar e representar objetos complexos (indústria automobilística, aviação e embarcação). As ferramentas de criação gráfica mais sofisticadas provêem uma interface para usar NURBS, que são flexíveis suficiente para projetar uma grande variedade de formas. Hoje é possível verificar o uso expandido de NURBS, modelando objetos para as artes visuais, arte e escultura; também estão sendo usados para modelar cenas para aplicações de realidade virtual. NURBS trabalha bem em modelagem 3D, permitindo facilidade para manipular e controlar vértices, controlar curvatura e suavidade de contornos. NURBS provêm uma base matemática, unificada para representar formas analíticas e livres além de manter exatidão e independência de resolução matemática.

O objetivo principal deste trabalho é apresentar uma. descrição detalhada sobre as diversas abordagens do Problema do Caixeiro Viajante, a complexidade na sua resolução e as aplicações nas diversas áreas do conhecimento. O Problema do Caixeiro Viajante é um dos mais conhecidos e estudados problemas da Teoria dos Grafos e sua importância é tanta teórica quanto prática. O resultado teórico mais importante que apresentamos neste trabalho é a prova de que o PCV é -P-Completo, usando (e provando) o Teorema de Cook, como ponto de partida e a Máquina de Turing como o modelo computacional para as provas da complexidade dos problemas envolvidos. O PCV é equivalente ao problema de encontrar um circuito Hamiltoniano de peso mínimo em um grafo ponderado. Uma das questões principais envolvidas neste problema, e na verdade uma das principais indagações da Ciência da Comput ação, é saber se existe um algoritmo eficiente de tempo polinomial para calcular tal circuito, ou se tal algoritmo não existe, caracterizando-o, assim, como um problema impossível de ser resolvido. Quando não se pode encontrar uma solução eficiente para um dado problema e também não pode ser demonstrado que tal solução existe, deve-se usar técnicas que permitam construir um algoritmo que forneça soluções aproximadas. Neste trabalho, apresentamos um algoritmo de tempo polinomial que nos fornece soluções aproximadas para o PCV. / The main objective of this work is to present a detailed description on the various approaches to the Traveling Salesperson Problem (TSP), the complexity of its solution and its applications to the various knowledge area.s. The Traveling Salesperson Problem is one of the most known and studied problems in graph theory and its importance is theoretical as well as practical. The theory result more important who we will introduce in this work is the proof of the TSP is NP-complete, using (and proving) of Cook's Theorem like point of departure and the Turing Machine like the model computational for the tests of complexity of problems involved. The TSP is equivalent to the problem of finding a Hamiltonian circuit of minimal weight in a weighted graph. One of the main questions involved in this problem, and actually one of the main questions of the whole Computing Science, is to know if there exists an polynomial-time efficient algorithm to compute such a circuit, or if such an algorithm can not exist, then characterizing it as an impossible problem. When one can not find an efficient solution for a given problem and also can not show that such a solution exists, we must use techniques that aid us to construct an algorithm providing approximate solutions. In this work, we will present a polynomial-time algorithm that gives approximate solutions for the solution of the Traveling Salesperson Problem.

O objetivo primordial desse trabalho está concentrado no estudo de Curvas NURBS (B-spline Racional N˜ao-Uniforme). A literatura em português sobre NURBS é escassa, pouco difundida e os textos e artigos existentes tendem a ser rigorosos, longos e teóricos. Assim, o presente estudo está direcionado para os conceitos matemáticos de NURBS, para o qual foi utilizado uma ferramenta chamada DesignMentor com a finalidade de testar os algoritmos desses conceitos. NURBS são funções paramétricas que podem representar qualquer tipo de curva. NURBS são usadas em computação gráfica na indústria de CAD/CAM e estão sendo consideradas um padrão para criar e representar objetos complexos (indústria automobilística, aviação e embarcação). As ferramentas de criação gráfica mais sofisticadas provêem uma interface para usar NURBS, que são flexíveis suficiente para projetar uma grande variedade de formas. Hoje é possível verificar o uso expandido de NURBS, modelando objetos para as artes visuais, arte e escultura; também estão sendo usados para modelar cenas para aplicações de realidade virtual. NURBS trabalha bem em modelagem 3D, permitindo facilidade para manipular e controlar vértices, controlar curvatura e suavidade de contornos. NURBS provêm uma base matemática, unificada para representar formas analíticas e livres além de manter exatidão e independência de resolução matemática.

O objetivo principal deste trabalho é apresentar uma. descrição detalhada sobre as diversas abordagens do Problema do Caixeiro Viajante, a complexidade na sua resolução e as aplicações nas diversas áreas do conhecimento. O Problema do Caixeiro Viajante é um dos mais conhecidos e estudados problemas da Teoria dos Grafos e sua importância é tanta teórica quanto prática. O resultado teórico mais importante que apresentamos neste trabalho é a prova de que o PCV é -P-Completo, usando (e provando) o Teorema de Cook, como ponto de partida e a Máquina de Turing como o modelo computacional para as provas da complexidade dos problemas envolvidos. O PCV é equivalente ao problema de encontrar um circuito Hamiltoniano de peso mínimo em um grafo ponderado. Uma das questões principais envolvidas neste problema, e na verdade uma das principais indagações da Ciência da Comput ação, é saber se existe um algoritmo eficiente de tempo polinomial para calcular tal circuito, ou se tal algoritmo não existe, caracterizando-o, assim, como um problema impossível de ser resolvido. Quando não se pode encontrar uma solução eficiente para um dado problema e também não pode ser demonstrado que tal solução existe, deve-se usar técnicas que permitam construir um algoritmo que forneça soluções aproximadas. Neste trabalho, apresentamos um algoritmo de tempo polinomial que nos fornece soluções aproximadas para o PCV. / The main objective of this work is to present a detailed description on the various approaches to the Traveling Salesperson Problem (TSP), the complexity of its solution and its applications to the various knowledge area.s. The Traveling Salesperson Problem is one of the most known and studied problems in graph theory and its importance is theoretical as well as practical. The theory result more important who we will introduce in this work is the proof of the TSP is NP-complete, using (and proving) of Cook's Theorem like point of departure and the Turing Machine like the model computational for the tests of complexity of problems involved. The TSP is equivalent to the problem of finding a Hamiltonian circuit of minimal weight in a weighted graph. One of the main questions involved in this problem, and actually one of the main questions of the whole Computing Science, is to know if there exists an polynomial-time efficient algorithm to compute such a circuit, or if such an algorithm can not exist, then characterizing it as an impossible problem. When one can not find an efficient solution for a given problem and also can not show that such a solution exists, we must use techniques that aid us to construct an algorithm providing approximate solutions. In this work, we will present a polynomial-time algorithm that gives approximate solutions for the solution of the Traveling Salesperson Problem.

A presente dissertação aborda pesquisas recentes sobre dois tópicos distintos da Matemática. Não é a primeira vez que as conexões entre geometria e álgebra são frutíferas, mas é somente agora que as idéias geométricas estão sendo aplicadas efetivamente na fatoração de polinômios, um tema puramente algébrico. Mais especificamente, estudamos a decomposição de politopos e suas aplicações na fatoração de polinômios. Começamos apresentando construções de politopos integralmente indecomponíveis que levam a critérios de irredutibilidade de polinômios. Estudamos detalhadamente algoritmos para a decomposição de politopos, sempre ilustrados com exemplos e comentários sobre suas aplicações. Terminamos apresentando um algoritmo desenvolvido por Fatima Salem, Shuhong Gao e Alan Lauder, que fatora polinômios bivariados a partir da decomposição do seu politopo de Newton associado. Esse algoritmo é um marco nessa área já que traduz, pela primeira vez, de forma eficiente, idéias geométricas para a fatoração polinomial, usando uma técnica similar ao levantamento de Hensel. / The present work deals with recent research about two distinct mathematical topics. It is not the first time that connections between geometry and algebra are fruitful, but it is only now that geometric ideas are being applied effectively in polynomial factorization, a purely algebraic theme. More specifically we study the decomposition of polytopes and their applications on polynomial factorization. We begin studying construction of indecomposable polytopes which give many irreducibility criteria polynomial. We study thoroughly algorithms for decomposition of polytopes, always illustrated with examples and comments about their applications. We finish presenting an algorithm developed by Fatima Salem, Shuhong Gao and Alan Lauder for factoring bivariate polynomials from the decomposition of the Newton polytope associated. This algorithm is a mark land in the field since it translate, for the first time, effectivelly, geometric ideas for polynomial factorization using a technic similar to Hensel lifting.

A presente dissertação aborda pesquisas recentes sobre dois tópicos distintos da Matemática. Não é a primeira vez que as conexões entre geometria e álgebra são frutíferas, mas é somente agora que as idéias geométricas estão sendo aplicadas efetivamente na fatoração de polinômios, um tema puramente algébrico. Mais especificamente, estudamos a decomposição de politopos e suas aplicações na fatoração de polinômios. Começamos apresentando construções de politopos integralmente indecomponíveis que levam a critérios de irredutibilidade de polinômios. Estudamos detalhadamente algoritmos para a decomposição de politopos, sempre ilustrados com exemplos e comentários sobre suas aplicações. Terminamos apresentando um algoritmo desenvolvido por Fatima Salem, Shuhong Gao e Alan Lauder, que fatora polinômios bivariados a partir da decomposição do seu politopo de Newton associado. Esse algoritmo é um marco nessa área já que traduz, pela primeira vez, de forma eficiente, idéias geométricas para a fatoração polinomial, usando uma técnica similar ao levantamento de Hensel. / The present work deals with recent research about two distinct mathematical topics. It is not the first time that connections between geometry and algebra are fruitful, but it is only now that geometric ideas are being applied effectively in polynomial factorization, a purely algebraic theme. More specifically we study the decomposition of polytopes and their applications on polynomial factorization. We begin studying construction of indecomposable polytopes which give many irreducibility criteria polynomial. We study thoroughly algorithms for decomposition of polytopes, always illustrated with examples and comments about their applications. We finish presenting an algorithm developed by Fatima Salem, Shuhong Gao and Alan Lauder for factoring bivariate polynomials from the decomposition of the Newton polytope associated. This algorithm is a mark land in the field since it translate, for the first time, effectivelly, geometric ideas for polynomial factorization using a technic similar to Hensel lifting.

O objetivo principal deste trabalho é apresentar uma. descrição detalhada sobre as diversas abordagens do Problema do Caixeiro Viajante, a complexidade na sua resolução e as aplicações nas diversas áreas do conhecimento. O Problema do Caixeiro Viajante é um dos mais conhecidos e estudados problemas da Teoria dos Grafos e sua importância é tanta teórica quanto prática. O resultado teórico mais importante que apresentamos neste trabalho é a prova de que o PCV é -P-Completo, usando (e provando) o Teorema de Cook, como ponto de partida e a Máquina de Turing como o modelo computacional para as provas da complexidade dos problemas envolvidos. O PCV é equivalente ao problema de encontrar um circuito Hamiltoniano de peso mínimo em um grafo ponderado. Uma das questões principais envolvidas neste problema, e na verdade uma das principais indagações da Ciência da Comput ação, é saber se existe um algoritmo eficiente de tempo polinomial para calcular tal circuito, ou se tal algoritmo não existe, caracterizando-o, assim, como um problema impossível de ser resolvido. Quando não se pode encontrar uma solução eficiente para um dado problema e também não pode ser demonstrado que tal solução existe, deve-se usar técnicas que permitam construir um algoritmo que forneça soluções aproximadas. Neste trabalho, apresentamos um algoritmo de tempo polinomial que nos fornece soluções aproximadas para o PCV. / The main objective of this work is to present a detailed description on the various approaches to the Traveling Salesperson Problem (TSP), the complexity of its solution and its applications to the various knowledge area.s. The Traveling Salesperson Problem is one of the most known and studied problems in graph theory and its importance is theoretical as well as practical. The theory result more important who we will introduce in this work is the proof of the TSP is NP-complete, using (and proving) of Cook's Theorem like point of departure and the Turing Machine like the model computational for the tests of complexity of problems involved. The TSP is equivalent to the problem of finding a Hamiltonian circuit of minimal weight in a weighted graph. One of the main questions involved in this problem, and actually one of the main questions of the whole Computing Science, is to know if there exists an polynomial-time efficient algorithm to compute such a circuit, or if such an algorithm can not exist, then characterizing it as an impossible problem. When one can not find an efficient solution for a given problem and also can not show that such a solution exists, we must use techniques that aid us to construct an algorithm providing approximate solutions. In this work, we will present a polynomial-time algorithm that gives approximate solutions for the solution of the Traveling Salesperson Problem.

O objetivo primordial desse trabalho está concentrado no estudo de Curvas NURBS (B-spline Racional N˜ao-Uniforme). A literatura em português sobre NURBS é escassa, pouco difundida e os textos e artigos existentes tendem a ser rigorosos, longos e teóricos. Assim, o presente estudo está direcionado para os conceitos matemáticos de NURBS, para o qual foi utilizado uma ferramenta chamada DesignMentor com a finalidade de testar os algoritmos desses conceitos. NURBS são funções paramétricas que podem representar qualquer tipo de curva. NURBS são usadas em computação gráfica na indústria de CAD/CAM e estão sendo consideradas um padrão para criar e representar objetos complexos (indústria automobilística, aviação e embarcação). As ferramentas de criação gráfica mais sofisticadas provêem uma interface para usar NURBS, que são flexíveis suficiente para projetar uma grande variedade de formas. Hoje é possível verificar o uso expandido de NURBS, modelando objetos para as artes visuais, arte e escultura; também estão sendo usados para modelar cenas para aplicações de realidade virtual. NURBS trabalha bem em modelagem 3D, permitindo facilidade para manipular e controlar vértices, controlar curvatura e suavidade de contornos. NURBS provêm uma base matemática, unificada para representar formas analíticas e livres além de manter exatidão e independência de resolução matemática.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC. Programa de Pós-Graduação em Matemática.