This document introduces a new class of adaptive filters, namely Geometric- Algebra Adaptive Filters (GAAFs). Those are generated by formulating the underlying minimization problem (a least-squares cost function) from the perspective of Geometric Algebra (GA), a comprehensive mathematical language well-suited for the description of geometric transformations. Also, differently from the usual linear algebra approach, Geometric Calculus (the extension of Geometric Algebra to differential calculus) allows to apply the same derivation techniques regardless of the type (subalgebra) of the data, i.e., real, complex-numbers, quaternions etc. Exploiting those characteristics, among others, a general leastsquares cost function is posed, from which two types of GAAFs are designed. The first one, called standard, provides a generalization of regular adaptive filters for any subalgebra of GA. From the obtained update rule, it is shown how to recover the following least-mean squares (LMS) adaptive filter variants: real-entries LMS, complex LMS, and quaternions LMS. Mean-square analysis and simulations in a system identification scenario are provided, showing almost perfect agreement for different levels of measurement noise. The second type, called pose estimation, is designed to estimate rigid transformations { rotation and translation - in n-dimensional spaces. The GA-LMS performance is assessed in a 3-dimensional registration problem, in which it is able to estimate the rigid transformation that aligns two point clouds that share common parts. / Este documento introduz uma nova classe de filtros adaptativos, entitulados Geometric-Algebra Adaptive Filters (GAAFs). Eles s~ao projetados via formulação do problema de minimização (uma função custo de mínimos quadrados) do ponto de vista de álgebra geométrica (GA), uma abrangente linguagem matemática apropriada para a descrição de transformações geométricas. Adicionalmente, diferente do que ocorre na formulação com álgebra linear, cálculo geométrico (a extensão de álgebra geométrica que possibilita o uso de cálculo diferencial) permite aplicar as mesmas técnicas de derivação independentemente do tipo de dados (subálgebra), isto é, números reais, números complexos, quaternions etc. Usando essas e outras características, uma função custo geral de mínimos quadrados é proposta, da qual dois tipos de GAAFs são gerados. O primeiro, chamado standard, generaliza filtros adaptativos da literatura concebidos sob a perspectiva de subálgebras de GA. As seguintes variantes do filtro least-mean squares (LMS) s~ao obtidas como casos particulares: LMS real, LMS complexo e LMS quaternions. Uma análise mean-square é desenvolvida e corroborada por simulações para diferentes níveis de ruído de medição em um cenário de identificação de sistemas. O segundo tipo, chamado pose estimation, é projetado para estimar transformações rígidas - rotação e translação { em espaços n-dimensionais. A performance do filtro GA-LMS é avaliada em uma aplicação de alinhamento tridimensional na qual ele estima a tranformação rígida que alinha duas nuvens de pontos com partes em comum.

Na robótica, mapear o ambiente é tarefa importante, porque ela oferece informação para o planejamento e execução de movimentos do robô. Por este motivo, aqui são apresentados estudos que visam a construção de mapas 3-D e técnicas que auxiliam na tarefa de mapeamento. Quando são construídos mapas 3-D, é habilitado para outros pesquisadores e empresas de robótica a desenvolverem trabalhos de análise e planejamento de trajetórias em todos os seis graus de liberdade do corpo rígido que serve para modelar um robô móvel, robô manipulador ou robô móvel manipulador. Com uma representação do ambiente em 3-D, é aumentada a precisão do posicionamento do robô em relação ao ambiente e também o posicionamento de objetos que estão inseridos no campo de atuação do robô. Para solucionar o problema de mapeamento são apresentadas técnicas teóricas e suas aplicações em cada caso estudado. Nos experimentos realizados neste trabalho foi adotada a criação de mapas com grids (malhas) de ocupação. Vale lembrar, no entanto, que a construção de mapas por malhas de ocupação pressupõe o conhecimento do posicionamento do robô no ambiente. Neste trabalho foram conduzidos três experimentos e seus objetivos são redução de dados provenientes de falhas e redundâncias de informação com utilização de técnicas probabilísticas, detecção de movimento através da técnica de extração de fundo e mapeamento 3-D utilizando a técnica de ponto mais próximo. No experimento cujo o objetivo é reduzir os dados, foi possível reduzir para 4,43% a quantidade de pontos necessários para gerar a representação do ambiente com a utilização do algoritmo deste trabalho. O algoritmo de mapeamento 3-D feito com uso de modelos probabilísticos bem estabelecidos e disponíveis na literatura tem como base a probabilidade de eventos independentes e a proposta do trabalho envolvendo probabilidade a posteriori. O experimento de detecção de movimento foi gerado com a utilização da openCV e a tecnologia CUDA e utilizam a técnica do modelo de mistura gaussiana (GMM), foi analisado o tempo de processamento desempenhado por cada implementação e a qualidade do resultado obtido. Para obter uma representação precisa do ambiente foi conduzido o experimento que utiliza técnica iterativa do ponto mais próximo (ICP), para realização foi utilizado o sensor de movimento Kinect e os resultados apresentados não foram satisfatórios devido ao volume de dados adquiridos e a ausência de um sistema de estimativa da localização. / In robotics, map the environment is an important task, because it provides information for planning and executing movements of the robot. For this reason, studies presented here are aimed to build 3-D maps and techniques that aid in the task of mapping. When we build 3-D maps, we enable other researchers and robotics companies to develop analyzes and path planning in all six degrees of freedom rigid body that serves to model a mobile robot, manipulator or mobile robot manipulator.With a representation of the environment in 3-D, we increase the accuracy of the robot positioning in relation to the environment and also the positioning of objects that are inserted into the field of action of the robot. To solve the problem of mapping we presented theoretical techniques and their applications in each case studied.In the experiments in this work we adopted the creation of maps with grids of occupation. However, building grids of occupation assumes knowledge of the position of the robot on the environment.In this work we conducted three experiments and their aims are the reduction of data from failures and redundant information using probabilistic techniques, motion detection by background extraction technique and 3-D mapping technique using the closest point. In the experiment whose goal is to reduce the data has been further reduced to 4.43% the number of points required to generate the representation of the environment with the use of our algorithm.The algorithm of 3-D mapping done with probabilistic models available and well established in the literature is based on the probability of independent events and the proposed work involving the posterior probability.The motion detection experiment was performed with the use of openCV and CUDA technique using the Gaussian mixture model (GMM),and we analyzed the processing time and the quality of each implementation result.For an accurate representation of the environment was conducted the experiment using the technique of iterative closest point (ICP) was used to perform the motion sensor Kinect and the results were not satisfactory due to the volume of data acquired and the absence of a system location estimate.

This document introduces a new class of adaptive filters, namely Geometric- Algebra Adaptive Filters (GAAFs). Those are generated by formulating the underlying minimization problem (a least-squares cost function) from the perspective of Geometric Algebra (GA), a comprehensive mathematical language well-suited for the description of geometric transformations. Also, differently from the usual linear algebra approach, Geometric Calculus (the extension of Geometric Algebra to differential calculus) allows to apply the same derivation techniques regardless of the type (subalgebra) of the data, i.e., real, complex-numbers, quaternions etc. Exploiting those characteristics, among others, a general leastsquares cost function is posed, from which two types of GAAFs are designed. The first one, called standard, provides a generalization of regular adaptive filters for any subalgebra of GA. From the obtained update rule, it is shown how to recover the following least-mean squares (LMS) adaptive filter variants: real-entries LMS, complex LMS, and quaternions LMS. Mean-square analysis and simulations in a system identification scenario are provided, showing almost perfect agreement for different levels of measurement noise. The second type, called pose estimation, is designed to estimate rigid transformations { rotation and translation - in n-dimensional spaces. The GA-LMS performance is assessed in a 3-dimensional registration problem, in which it is able to estimate the rigid transformation that aligns two point clouds that share common parts. / Este documento introduz uma nova classe de filtros adaptativos, entitulados Geometric-Algebra Adaptive Filters (GAAFs). Eles s~ao projetados via formulação do problema de minimização (uma função custo de mínimos quadrados) do ponto de vista de álgebra geométrica (GA), uma abrangente linguagem matemática apropriada para a descrição de transformações geométricas. Adicionalmente, diferente do que ocorre na formulação com álgebra linear, cálculo geométrico (a extensão de álgebra geométrica que possibilita o uso de cálculo diferencial) permite aplicar as mesmas técnicas de derivação independentemente do tipo de dados (subálgebra), isto é, números reais, números complexos, quaternions etc. Usando essas e outras características, uma função custo geral de mínimos quadrados é proposta, da qual dois tipos de GAAFs são gerados. O primeiro, chamado standard, generaliza filtros adaptativos da literatura concebidos sob a perspectiva de subálgebras de GA. As seguintes variantes do filtro least-mean squares (LMS) s~ao obtidas como casos particulares: LMS real, LMS complexo e LMS quaternions. Uma análise mean-square é desenvolvida e corroborada por simulações para diferentes níveis de ruído de medição em um cenário de identificação de sistemas. O segundo tipo, chamado pose estimation, é projetado para estimar transformações rígidas - rotação e translação { em espaços n-dimensionais. A performance do filtro GA-LMS é avaliada em uma aplicação de alinhamento tridimensional na qual ele estima a tranformação rígida que alinha duas nuvens de pontos com partes em comum.

Na robótica, mapear o ambiente é tarefa importante, porque ela oferece informação para o planejamento e execução de movimentos do robô. Por este motivo, aqui são apresentados estudos que visam a construção de mapas 3-D e técnicas que auxiliam na tarefa de mapeamento. Quando são construídos mapas 3-D, é habilitado para outros pesquisadores e empresas de robótica a desenvolverem trabalhos de análise e planejamento de trajetórias em todos os seis graus de liberdade do corpo rígido que serve para modelar um robô móvel, robô manipulador ou robô móvel manipulador. Com uma representação do ambiente em 3-D, é aumentada a precisão do posicionamento do robô em relação ao ambiente e também o posicionamento de objetos que estão inseridos no campo de atuação do robô. Para solucionar o problema de mapeamento são apresentadas técnicas teóricas e suas aplicações em cada caso estudado. Nos experimentos realizados neste trabalho foi adotada a criação de mapas com grids (malhas) de ocupação. Vale lembrar, no entanto, que a construção de mapas por malhas de ocupação pressupõe o conhecimento do posicionamento do robô no ambiente. Neste trabalho foram conduzidos três experimentos e seus objetivos são redução de dados provenientes de falhas e redundâncias de informação com utilização de técnicas probabilísticas, detecção de movimento através da técnica de extração de fundo e mapeamento 3-D utilizando a técnica de ponto mais próximo. No experimento cujo o objetivo é reduzir os dados, foi possível reduzir para 4,43% a quantidade de pontos necessários para gerar a representação do ambiente com a utilização do algoritmo deste trabalho. O algoritmo de mapeamento 3-D feito com uso de modelos probabilísticos bem estabelecidos e disponíveis na literatura tem como base a probabilidade de eventos independentes e a proposta do trabalho envolvendo probabilidade a posteriori. O experimento de detecção de movimento foi gerado com a utilização da openCV e a tecnologia CUDA e utilizam a técnica do modelo de mistura gaussiana (GMM), foi analisado o tempo de processamento desempenhado por cada implementação e a qualidade do resultado obtido. Para obter uma representação precisa do ambiente foi conduzido o experimento que utiliza técnica iterativa do ponto mais próximo (ICP), para realização foi utilizado o sensor de movimento Kinect e os resultados apresentados não foram satisfatórios devido ao volume de dados adquiridos e a ausência de um sistema de estimativa da localização. / In robotics, map the environment is an important task, because it provides information for planning and executing movements of the robot. For this reason, studies presented here are aimed to build 3-D maps and techniques that aid in the task of mapping. When we build 3-D maps, we enable other researchers and robotics companies to develop analyzes and path planning in all six degrees of freedom rigid body that serves to model a mobile robot, manipulator or mobile robot manipulator.With a representation of the environment in 3-D, we increase the accuracy of the robot positioning in relation to the environment and also the positioning of objects that are inserted into the field of action of the robot. To solve the problem of mapping we presented theoretical techniques and their applications in each case studied.In the experiments in this work we adopted the creation of maps with grids of occupation. However, building grids of occupation assumes knowledge of the position of the robot on the environment.In this work we conducted three experiments and their aims are the reduction of data from failures and redundant information using probabilistic techniques, motion detection by background extraction technique and 3-D mapping technique using the closest point. In the experiment whose goal is to reduce the data has been further reduced to 4.43% the number of points required to generate the representation of the environment with the use of our algorithm.The algorithm of 3-D mapping done with probabilistic models available and well established in the literature is based on the probability of independent events and the proposed work involving the posterior probability.The motion detection experiment was performed with the use of openCV and CUDA technique using the Gaussian mixture model (GMM),and we analyzed the processing time and the quality of each implementation result.For an accurate representation of the environment was conducted the experiment using the technique of iterative closest point (ICP) was used to perform the motion sensor Kinect and the results were not satisfactory due to the volume of data acquired and the absence of a system location estimate.