Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Las Ecuaciones Estocásticas en Derivadas Parciales (SPDEs por su sigla en inglés) son una herramienta esencial para el análisis de los límites de escalamiento de diversos modelos microscópicos provenientes de otras áreas de las ciencias tales como la física y la química. Este tipo de ecuaciones corresponde a una ecuación en derivadas parciales clásica a la cual se le ha agregado un término de forzamiento externo aleatorio el que suele ser muy irregular; el ejemplo más sencillo es tal vez la Ecuación del Calor Estocástica, de la cual una de sus versiones es estudiada en la presente tesis. En cualquier caso, la irregularidad de este potencial hace que el análisis de las soluciones de estos problemas sea mucho más complicado. En efecto, hay casos en que dichas soluciones sólo pueden ser entendidas en el sentido de las distribuciones. Hay casos más críticos como la ecuación de Kardar--Parisi--Zhang (KPZ) en en una dimensión espacial donde, si bien se puede probar que posee soluciones Hölder, estas no son lo suficientemente regulares para permitir definir uno de los términos no lineales que aparecen en ella. Durante los últimos 20 años se han desarrollado varias técnicas para el análsis de este tipo de ecuaciones, entre las que destacan la teoría de rough paths geométricos de T. Lyons (1998), los rough paths ramificadosde M. Gubinelli (2010), y la más reciente teoría de estructuras de regularidad de M. Hairer (2014) por la que este último obtuvo la medalla Fields en 2014. Aunque diferentes, todas estas técnicas tienen como idea central el concepto de renormalización. En particular, la renormalización de Wick juega un rol esencial en la renormalización en el marco de las estructuras de regularidad. En este trabajo se desarrollan los productos y polinomios de Wick desde un punto de vista algebraico inspirado en el cálculo umbral de G.-C. Rota. También se explora la teoría general de losrough paths en general y su versión ramificada en particular, probándose nuevos resultados en la dirección de incorporar un análogo de la renormalización de Wick existente en las estructuras de regularidad. Por último, se estudia el modelo de polímero semidiscreto multicapas introducido por I. Corwin and A. Hammond (2014) para el cual se prueba la convergencia de su función de partición hacia la "solución" de la Ecuación del Calor Estocástica multicapas definida por N. O'Connell y J. Warren (2011) algunos años antes. Cabe destacar que al momento de redacción de esta tesis no existen resultados que permitan interpretar este proceso en el continuo como la solución de una SPDE singular como en el caso de la ecuación de KPZ, lo que ha sido una de las principales fuentes de inspiración para este trabajo. / CONICYT/Doctorado Nacional/2013-21130733 CMM - Conicyt PIA AFB170001

Ingeniero Civil / La recarga a un acuífero constituye una de las principales fuentes de incertidumbre en modelación hidrogeológica, debido a la imposibilidad de ser medida de manera directa, existiendo a la fecha enfoques indirectos para estimarla. En el presente estudio, se plantea el análisis de ésta variable según un enfoque estocástico, en donde se evalúa la incertidumbre de un modelo hidrológico construido mediante el software GoldSim, de manera que éste genere, mediante simulaciones de Montecarlo, diversas series de recarga posibles las cuales se analizan de manera cualitativa y cuantitativa. Dichas series se ingresan, entonces, a un modelo hidrogeológico desarrollado en Groundwater Vistas como condición de borde de entrada al sistema, de donde mediante el proceso de calibración se determinan una combinación de parámetros hidrogeológicos para cada caso que mejor calibre los niveles observados, obteniendo así un rango posible para cada parámetro del modelo. Para ilustrar lo anterior, se confecciona un modelo integrado (hidrológico e hidrogeológico), conectado mediante la recarga, de la subcuenca del río Rapel, IV Región. El análisis estocástico del modelo hidrológico entrega 15 simulaciones (y 15 escenarios de recarga) las cuales, en su calibración hidrogeológica entregan rangos posibles para las conductividades hidráulicas y coeficientes de almacenamiento. Los resultados indican una tendencia a almacenamientos altos (15%) dado posiblemente por la modelación hidrológica de la recarga en términos temporales, mientras que las conductividades hidráulicas calibran en los rangos conceptuales esperados, destacándose zonas ante las cuales el modelo es altamente sensible, como la kx1, con una variabilidad entre 50 y 160 m/d, aproximadamente. Como se mencionó, existen zonas dentro del área de modelación (en general las que cuentan con observaciones) que influyen significativamente en la calibración (kx1, kx8, kx5), en cambio otras presentan una dispersión en la distribución de sus parámetros asociada a una baja o nula incidencia en la calibración final (kx3), lo cual da pie a un análisis mucho más detallado en términos estadísticos relativo a la fuente de incertidumbre de la parametrización hidrogeológica. Finalmente, se observa una fuerte dependencia de la parametrización y la sensibilidad del modelo ante ésta con la recarga media considerada: Dado un rango de recargas medias admisibles entre 533 y 1417 l/s, en general a menor caudal de recarga, mejor es el ajuste global de la calibración, pero al aumentar la recarga aumenta la sensibilidad del ajuste con respecto a los parámetros que controlan la calibración.