Chlodovsky showed that if x0 is a point of discontinuity of the first kind of the function f, then the Bernstein polynomials Bn(f, x0) converge to the average of the one-sided limits on the right and on the left of the function f at the point x0. In 2009, Telyakovskii in (5) extended the asymptotic formulas for the deviations of the Bernstein polynomials from the differentiable functions at the first-kind discontinuity points of the highest derivatives of even order and demonstrated the same result fails for the odd order case. Then in 2010, Tonkov in (6) found the right formulation and proved the result that was missing in the odd-order case. It turned out that the limit in the odd order case is related to the jump of the highest derivative. The proofs in these two cases look similar but have many subtle differences, so it is desirable to find out if there is a unifying principle for treating both cases. In this thesis, we obtain a unified formulation and proof for the asymptotic results of both Telyakovskii and Tonkov and discuss extension of these results in the case where the highest derivative of the function is only assumed to be bounded at the point under study.

Le but de cette thèse est l'étude des invariants d'Iwasawa attachés aux p-groupes des classes généralisés dans les extensions de Lie p-adiques de corps de nombres.Ces invariants ont été introduits par Iwasawa pour les Zp-extensions. Les travaux de Venjakob sur la structure des modules sur l'algèbre d'Iwasawa d'un groupe de Lie p-adique ont permis d'en généraliser la définition à la théorie non-commutative. Par des techniques de descente et une étude algébrique fine de la structure des modules d'Iwasawa sur un groupe non-commutatif, on dégage des formules asymptotiques pour les p-groupes des classes généralisés le long d'une extension de corps de nombres de groupe de Galois p-valué. Ces formules ont pour paramètres les invariants d'Iwasawa de l'extension. Elles sont rendues plus précises dans le cas des Zp-extensions, où on remarque qu'un défaut de descente doit être pris en compte et est d'impact non négligeable sur le résultat final. Ces résultats asymptotiques sont ensuite exploités à l'aide de la théorie du miroir. Ceci conduit à des formules de dualité entre ramification et décomposition concernant les invariants d'Iwasawa / This thesis aim at exploring Iwasawa invariants attached to generalized p-class groups in p-adic Lie extensions of number fields. These invariants where introduced by Iwasawa for Zp-extensions. In his work on the structure of modules over the Iwasawa algebra of a p-adic Lie group, Venjakob extends the definition to the non commutative theory. Using descent techniques, along with a fine algebraic study of Iwasawa's modules structure over a non commutative group, we obtain asymptotic formulas for generalized p-class groups in a tower of number fields, with a p-valued group as Galois group. These formulas have Iwasawa invariants as parameters. They become more precise for Zp-extensions, where a significant descent default is involved. These asymptotic results are exploited thanks to reflexion theory. This leads to duality formulas between ramification and decomposition for Iwasawa invariants