Ce travail porte sur l'étude de la propriété d'(A,B)-invariance de polyèdres convexes et son application à la commande sous contraintes et au problème l 1. D'abord, nous proposons une caractérisation explicite de l'(A,B)-invariance de polyèdres convexes pour des systèmes en temps discret. Cette caractérisation se traduit par des conditions nécessaires et suffisantes sous la forme de relations matricielles linéaires, et présente deux avantages majeurs vis-à-vis de celles rencontrées dans la littérature : elle s'applique à tous les polyèdres convexes et elle ne nécessite pas le calcul de sommets. Ces avantages se font sentir notamment dans le calcul du domaine (A,B)-invariant suprémal inclus dans un polyèdre donné, pour lequel nous proposons une méthode numérique. Le problème de calculer une loi de commande rendant positivement invariant en boucle fermée un polyèdre (A,B)-invariant est également traité. Les relations d'(A,B)-invariance sont alors généralisées à des systèmes soumis à des contraintes linéaires sur la commande et à des systèmes soumis à des perturbations additives bornées. Puis, les résultats obtenus en temps discret sont étendus aux systèmes en temps continu. Ensuite, le problème d'atténuation de perturbations additives persistantes, connu dans la littérature comme problème l 1, est étudié. Les domaines (A,B)-invariants intérieurement stabilisables sont d'abord caractérisés. Puis, nous proposons une approche décomposée pour le calcul du domaine intérieurement stabilisable suprémal inclus dans le polyèdre défini par les contraintes de performance l 1. Un niveau de performance donné est atteignable si et seulement si ce domaine suprémal n'est pas vide. Cette approche géométrique permet notamment de déterminer directement la solution du problème l 1 pour une classe importante de systèmes. Enfin, nous étendons l'étude de l'(A,B)-invariance de polyèdres à des systèmes dont le modèle est soumis à des incertitudes d u type structuré.

Cette étude s'inscrit dans le cadre d'un projet régional ayant pour objectif la conception et la commande d'une machine de rééducation des membres inférieurs. Le premier chapitre a permis de mettre en évidence les atouts d'une rééducation en chaîne musculaire fermée (CMF). En effet, cette technique de rééducation permet la récupération rapide des fonctions motrices et le renforcement musculaire des membres inférieurs tout en garantissant l'équilibre dynamique des articulations. Le second chapitre présente alors le concept cinématique d'une nouvelle machine de rééducation en CMF ainsi que sa structure de contrôle-commande générique. Le troisième chapitre traite la partie continue de cette structure de commande afin d'assurer la stabilité en suivi de trajectoire du système robotisé tout en atténuant les efforts de l'utilisateur sur le dispositif. Ainsi, une méthodologie de synthèse de loi de commande non linéaire garantissant la stabilité en suivi de trajectoire pour la classe des multimodèles de type Takagi-Sugeno sous forme descripteur a été proposée. Pour ce faire, des conditions LMIs ont été obtenues sur la base de la théorie de Lyapunov. Le quatrième chapitre traite le générateur de consigne qui permet, quant à lui, la conduite volontaire du dispositif par l'utilisateur via la mesure de ses interactions avec le dispositif de rééducation. La structure de commande est validée en simulation pour le nouveau dispositif Sys-Rééduc et, ce dernier n'étant pas pour l'heure disponible pour des tests en situation réelle, une validation expérimentale a été proposée sur la machine Multi-Iso de rééducation en chaîne musculaire ouverte disponible au CReSTIC.