Darmstadt, Techn. University, Diss., 2007.

This thesis is divided into two parts. In the first part we contribute to a working program initiated by Pudlák (2017) who lists several major complexity theoretic conjectures relevant to proof complexity and asks for oracles that separate pairs of corresponding relativized conjectures. Among these conjectures are: - \(\mathsf{CON}\) and \(\mathsf{SAT}\): coNP (resp., NP) does not contain complete sets that have P-optimal proof systems. - \(\mathsf{CON}^{\mathsf{N}}\): coNP does not contain complete sets that have optimal proof systems. - \(\mathsf{TFNP}\): there do not exist complete total polynomial search problems (also known as total NP search problems). - \(\mathsf{DisjNP}\) and \(\mathsf{DisjCoNP}\): There do not exist complete disjoint NP pairs (coNP pairs). - \(\mathsf{UP}\): UP does not contain complete problems. - \(\mathsf{NP}\cap\mathsf{coNP}\): \(\mathrm{NP}\cap\mathrm{coNP}\) does not contain complete problems. - \(\mathrm{P}\ne\mathrm{NP}\). We construct several of the oracles that Pudlák asks for. In the second part we investigate the computational complexity of balance problems for \(\{-,\cdot\}\)-circuits computing finite sets of natural numbers (note that \(-\) denotes the set difference). These problems naturally build on problems for integer expressions and integer circuits studied by Stockmeyer and Meyer (1973), McKenzie and Wagner (2007), and Glaßer et al. (2010). Our work shows that the balance problem for \(\{-,\cdot\}\)-circuits is undecidable which is the first natural problem for integer circuits or related constraint satisfaction problems that admits only one arithmetic operation and is proven to be undecidable. Starting from this result we precisely characterize the complexity of balance problems for proper subsets of \(\{-,\cdot\}\). These problems turn out to be complete for one of the classes L, NL, and NP. / Diese Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil liefern wir Beiträge zu einem Arbeitsprogramm, das von Pudlák (2017) initiiert wurde, welcher einige bedeutsame komplexitätstheoretische, für das Gebiet der Proof Complexity relevante Vermutungen untersucht und nach Orakeln fragt, die Paare von entsprechenden relativierten Vermutungen separieren. Unter diesen Vermutungen sind: - \(\mathsf{CON}\) und \(\mathsf{SAT}\): coNP (resp., NP) enthält keine vollständigen Probleme, die P-optimale Beweissysteme haben. - \(\mathsf{CON}^{\mathsf{N}}\): coNP enthält keine vollständigen Probleme, die optimale Beweissysteme haben. - \(\mathsf{TFNP}\): Es existieren keine vollständigen Total Polynomial Search Problems (auch bekannt unter dem Namen Total NP Search Problems). - \(\mathsf{DisjNP}\) und \(\mathsf{DisjCoNP}\): Es gibt keine vollständigen disjunkten NP-Paare (coNP-Paare). - \(\mathsf{UP}\): UP enthält keine vollständigen Probleme. - \(\mathsf{NP}\cap\mathsf{coNP}\): \(\mathrm{NP}\cap\mathrm{coNP}\) enthält keine vollständigen Probleme. - \(\mathrm{P}\ne\mathrm{NP}\) Wir konstruieren einige der Orakel, nach denen Pudlák fragt. Im zweiten Teil untersuchen wir die Berechnungskomplexität von Balance Problemen für \(\{-,\cdot\}\)-Schaltkreise, welche endliche Teilmengen natürlicher Zahlen berechnen (es bezeichnet \(-\) die Differenz von Mengen). Diese Probleme bauen in natürlicher Weise auf Probleme für Integer Expressions und Integer Circuits auf, welche von Stockmeyer und Meyer (1973), McKenzie und Wagner (2007) sowie Glaßer et al. (2010) untersucht wurden. Wir beweisen, dass das Balance Problem für \(\{-,\cdot\}\)-Schaltkreise unentscheidbar ist. Dies ist das erste natürliche Problem für Integer Circuits oder verwandte Constraint Satisfaction Probleme, das nur eine arithmetische Operation erlaubt und als unentscheidbar bewiesen worden ist. Von diesem Resultat ausgehend wird die Komplexität von Balance Problemen für echte Teilmengen von \(\{-,\cdot\}\) präzise charakterisiert. Es stellt sich heraus, dass jedes dieser Probleme vollständig für eine der Klassen L, NL und NP ist.