Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 6744.pdf: 408284 bytes, checksum: 6b14e48c8855df35514f1937407bb396 (MD5) Previous issue date: 2015-03-30 / Financiadora de Estudos e Projetos / This work is concerned with a semilinear parabolic partial differential equation under a homogeneous Neumann boundary condition occuring in population genetics. It describes the evolution of gene frequencies under selection and migration effects in a bounded domain. In the nonlinear term appearing in the equation, which is of logistic type, one has a positive parameter and an indefinite sign weight function. Considering a suitable phase space one obtains a nonlinear dynamical system, actually a gradient system, in a such way that the equilibrium solutions, or stationary solutions, play a fundamental role in the dynamics viewpoint. The problem has two constant equilibria, called the trivial ones, inducing two curves, called trivial branches, and containing the trivial equilibrium solutions. The main aim of this dissertation is to study the bifurcation and stability structures of equilibria, which are completely established and also expressed through diagrams. Furthermore, to establish the behaviour of the only nontrivial equilibrium the problem has for each value of the parameter. A key ingredient in the analysis is the average of the weight function. Indeed, if the weight has nonzero average a global curve consisting of nontrivial exponentially stable equilibria bifurcates from a trivial branch − which is determined according to the sign of the average. But if the parameter is sufficiently small the problem admits the two trivial equilibria as the only equilibrium solutions, one of them exponentially stable and the other unstable. When the weight function has zero average a new curve has now a central role: from such curve bifurcates a global curve defined for all values of the parameter and consisting of nontrivial exponentially stable equilibria. Further, there is no bifurcation from the trivial branches, that ones containing unstable equilibria. Finally, the behaviour of the global bifurcation branch is also established as the parameter is large. Actually, that is achieved as long as one proves the only nontrivial equilibrium concentrates in a region where the weight function has a definite sign, as the parameter is large. / Neste trabalho estuda-se uma equação diferencial parcial parabólica semilinear com condição de fronteira de Neumann homogênea que surge em genética populacional, a qual descreve a evolução de frequências de genes sob a ação conjunta de migração e seleção numa regi ao limitada. No termo não-linear que aparece na equação, de tipo logístico, tem-se um parâmetro positivo e uma função peso de sinal indefinido. Considerando-se um espaço de fase adequado ao problema, determina-se um sistema dinâmico não-linear e gradiente, de forma que os equilíbrios, ou soluções estacionárias, desempenham um papel fundamental no que concerne a dinâmica. Há dois equilíbrios constantes, chamados triviais, que dão origem a duas curvas, chamadas ramos triviais, contendo os equilíbrios triviais. O objetivo principal desta dissertação é estudar as estruturas de bifurcação e estabilidade de todos os equilíbrios, as quais são completamente determinadas e expressas através de diagramas, além de determinar o comportamento do único equilíbrio não-trivial que o problema possui para cada valor do parâmetro. Elemento decisivo na análise é a média da função peso do termo não-linear. De fato, em caso de média não nula bifurca de ramo trivial − que é determinado pelo sinal da m´edia − uma curva global constituída de equilíbrios não-triviais exponencialmente estáveis, enquanto os únicos equilíbrios que podem existir quando o parâmetro é pequeno são os triviais, sendo um exponencialmente estável e outro instável. Quando a média da função peso é zero uma nova curva passa a ter papel central: dela bifurca uma curva global, definida para cada valor do parâmetro, constituída de equilíbrios não triviais exponencialmente estáveis e não há bifurcação dos ramos triviais, estes contendo então equilíbrios instáveis. Finalmente, é determinado o comportamento do ramo de bifurcação global quando o parâmetro é grande ao estabelecer-se que o único equilíbrio não trivial do problema tende a concentra-se numa região em que o peso tem sinal definido.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 1812.pdf: 704233 bytes, checksum: e7fb55b4f8d432fd6e7f5fd034c5fb2e (MD5) Previous issue date: 2008-04-24 / Financiadora de Estudos e Projetos / This work is concerned with a parabolic problem, occuring in population genetics, under a nonlinear Neumann boundary condition with a weight of indefinite sign and a positive parameter. Considering a phase space appropriate to the physical nature intrinsic to the model, it is proved that the parabolic problem generates a nonlinear dynamical system, which is a gradient system. Therefore, its equilibrium solutions play a fundamental role in the long term dynamics. Then the stationary problem is studied under various aspects: it is proved the existence of a weak equilibrium solution using the variational method; it is established the regularity of weak equilibrium solutions by showing that they are classical ones; the bifurcation and stability structures of equilibria are completely determined. Furthermore the behavior of the trace of the nontrivial equilibrium solution when the parameter is large is established. / É estudado neste trabalho um problema parabólico, oriundo de um modelo em genética populacional, com condição de fronteira de Neumann não-linear apresentando um peso com sinal indefinido e um parâmetro positivo. Considerando-se um espaço de fase adequado às questôes de natureza física ligadas ao modelo, prova-se que o problema parabólico determina um sistema dinâmico não-linear, o qual é também um sistema gradiente. Desta forma, as soluções de equilíbrio desempenham um papel fundamental no que se concerne à dinâmica. O problema estacionário é então estudado sob diversos aspectos: é provada a existência de solução de equilíbrio fraca por meio do método variacional; a regularidade de soluções de equilíbrio fracas é estabelecida ao ser mostrado que quaisquer tais soluções são, na verdade, clássicas; as estruturas de bifurcação e estabilidade das soluções de equilíbrio são completamente determinadas, além do comportamento do traço da solução de equilíbrio não-trivial quando o parâmetro é arbitrariamente grande.