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Soluciones oscilatorias en ecuaciones diferenciales con retardoBel, Andrea Liliana 19 June 2014 (has links)
Las ecuaciones diferenciales con retardo son utilizadas frecuentemente para modelar
problemas en física, ingeniería o biolog´ıa entre otros. Estas ecuaciones son un
ejemplo de ecuaciones diferenciales funcionales y la complejidad que presentan sus
soluciones es mucho mayor que la observada en ecuaciones diferenciales ordinarias,
incluso para ecuaciones de primer orden. Por la dependencia temporal con el retardo,
una solución queda determinada a partir de una función inicial definida en un
intervalo de tiempo, el problema que resulta es infinito-dimensional.
Muchas herramientas teóricas conocidas para el estudio de ecuaciones diferenciales
ordinarias se adaptan o generalizan para el estudio de ecuaciones diferenciales
con retardo. Es especialmente interesante, tanto desde el punto de vista teórico como
práctico, el estudio de soluciones oscilatorias en este tipo de ecuaciones. A lo
largo de esta tesis desarrollamos metodologías que nos permite calcular soluciones
periódicas y determinar su comportamiento dinámico.
La primer metodología presentada en esta tesis combina la utilización del método
de análisis homotópico y un método de colocación para calcular la estabilidad de
los ciclos periódicos existentes. Las ventajas que presenta este procedimiento y las
distintas adaptaciones que hemos realizado a los métodos, nos permiten describir escenarios
dinámicos interesantes en distintas ecuaciones con retardo. En primer lugar,
analizamos una ecuación de van der Pol realimentada con retardo, observamos distintas
bifurcaciones y resonancias en las que intervienen uno o varios ciclos periódicos.
Por otra parte, utilizamos el método de análisis homotópico como herramienta
teórica para probar la existencia de ramas de bifurcaciones de Hopf isocrónicas.
Otro método que permite el estudio de soluciones oscilatorias en ecuaciones diferenciales
con y sin retardo, es la metodología en frecuencia. En esta tesis presentamos
una metodología iterativa en frecuencia que generaliza los resultados existentes y
permite, utilizando teoría de singularidades, describir distintos escenarios dinámicos
relacionados con bifurcaciones de Hopf generalizadas. Por último, usamos el método
en frecuencia para estudiar sistemas discretos, demostramos la existencia de bifurcaciones
de gran interés y determinamos en forma analítica la interacción de las
mismas. / Delay differential equations are often used to model problems in physics, engineering
and biology among others. These equations are examples of functional
differential equations and their solutions have a much higher complexity than that
observed in ordinary differential equations, even for first order equations. By the
time dependence with the delay, a solution is determined from an initial function
defined in an interval of time, the problem then it is infinite-dimensional.
Many theoretical tools developed for the study of ordinary differential equations
are adapted or generalized to analyze delay differential equations. It is particularly
interesting from both theoretical and practical point of view, the study of oscillatory
solutions in this type of equations. Throughout this thesis we develop methodologies
that allow us to calculate periodic solutions and determine its dynamic behavior.
The first methodology presented in this thesis combines the use of homotopy
analysis method and a collocation method for calculating the stability of existing
periodic cycles. The advantages of this procedure and the adaptations we have made
to the methods, permit us to describe interesting dynamic scenarios in different
equations with delay. First, we analyzed a van der Pol equation with time–delay
feedback, we observed different bifurcations and resonances, which involved one or
more periodic cycles. Also, we use the homotopy analysis method as a theoretical
tool to prove the existence of branches of isochronous Hopf bifurcations.
Another method used in the study of oscillatory solutions in differential equations
with or without delay, is the frequency–domain approach. In this thesis we present a
frequency–domain iterative methodology that generalizes existing results and, if it is
combined with the use of singularity theory, allows us to describe various dynamic
scenarios related to generalized Hopf bifurcations. Finally, we use the frequency–
domain approach to analyze discrete systems with delay, we show the existence of
bifurcations of great interest and we determine analytically the interaction of these
bifurcations.
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Bifurcaciones globales y sincronía en redes y sistemas no suavesChialva, Ulises 05 November 2019 (has links)
Las redes y los sistemas no suaves constituyen uno de los tópicos más recientes y
estudiados en la teorÍa de los sistemas dinÁmicos. Distintos desarrollos y problemas
surgidos de disciplinas como la fÍsica, la biologÍa, la informática y la electrónica,
han generado la necesidad de expandir las clásicas herramientas utilizadas para los
sistemas suaves a estos nuevos objetos. Por ello, los conceptos y herramientas de la
teoría clásica de sistema dinámicos resultan sistemáticamente generalizados a este
nuevo contexto, aunque las particularidades propias de la dinámicas colectivas y/o
discontinuas provocan que esta generalización no sea directa.
A lo largo de esta tesis nos concentramos en el análisis de la dinámica de un tipo
específico de redes y de cierto tipo específico de sistemas no suaves.
Por un lado damos cuenta de un tipo particular de redes no suaves denominadas
threshold linear networks (TLN). Recurriendo a desarrollos formales y a la
simulación numérica, investigamos el fenómeno de sincronía en estas redes, así como
ciertas bifurcaciones globales que tienen lugar (dadas por la aparición/desaparición
de conexiones heteróclinas y homóclinas). Logramos establecer resultados que dan
condiciones suficientes para tales comportamientos, y mediante simulación, reportamos
nuevos fenómenos asociados a estas redes.
Por otro lado, motivados por el estudio de dinámicas fuertemente discontinuas,
recurrimos a ejemplos concretos (algunos clásicos y otros más novedosos), enfocándonos
en particular en aquellos que son de tipo híbrido. Mediante simulaciones numéricas
exhibimos las distintas dinámicas caóticas que estos sistemas poseen, y damos
cuenta de las similitudes y diferencias que tienen lugar al compararlos con los sistemas
clásicos. Además presentamos la generalización al caso no suave de dos herramientas
utilizadas para estudiar los sistemas dinámicos y la sincronía de redes: el
exponente maximal de Lyapunov y la master stability function (MSF).
Primero comentamos dos metodologías utilizadas para estimar el exponente maximal
de Lyapunov, que son el método de Stefanski y el método de la matriz de
salto, y las ejemplificamos aplicándolas a sistemas caóticos no suaves.
Luego aportamos una generalización de la MSF, aplicable a un tipo de redes
(propuestas por nosotros) caracterizadas por poseer un fuerte comportamiento discontinuo:
las redes híbridas. Damos un ejemplo original de este tipo de red y realizamos
la evaluación de su MSF. Además discutimos la posibilidad de generalizar
esta herramienta a casos de acoplamiento no lineal y damos una respuesta negativa
a tal situación.
Por último, estudiamos el caso de una red de dos osciladores conectados de
manera lineal a trozos y discutimos su adaptabilidad, que es posible en este caso
particular. / Networks and non-smooth systems are one of the most recent topics studied
in the theory of dynamical systems. Different developments and problems arising
from disciplines such as physics, biology, computer science and electronics, have
generated the need to expand the classic tools used for smooth systems to these
new objects. Therefore, the concepts and tools of the classical theory of dynamical
systems are systematically generalized to this new context, although the peculiarities
of the collective and/or discontinuous dynamics cause that this generalization is not
direct.
Throughout this thesis we concentrate on the analysis of the dynamics of a
specific type of networks and of a specific type of non-smooth systems.
On the one hand we analyze a particular type of non-smooth networks called
threshold linear networks (TLN). Using formal developments and numerical simulation,
we investigate the phenomenon of synchrony in these networks, as well as
certain global bifurcations that take place (given by the appearance/disappearance
of heteroclinic and homoclinic connections). We managed to establish results that
give sufficient conditions for such behaviors, and through simulation, we report new
phenomena associated with these networks.
On the other hand, motivated by the study of strongly discontinuous dynamics,
we resort to concrete examples (some classic and others more novel), focusing in
particular on those that are of hybrid type. Through numerical simulations we show
the different chaotic dynamics that these systems have, and we realize the similarities
and differences that take place when compared with classical smooth systems. We
also present the generalization to the non-smooth case of two tools used to study
dynamical systems and network synchrony: the maximal exponent of Lyapunov and
the master stability function (MSF).
First we discuss two methodologies used to estimate the maximal exponent of
Lyapunov, which are the Stefanski method and the saltation matrix method, and
we exemplify them by applying them to non-smooth chaotic systems.
Then, we provide a generalization of the MSF, applicable to a type of networks
(proposed by us) characterized by having a strong discontinuous behavior: the hybrid
networks. We give an original example of this type of network and perform the
evaluation of its MSF. We also discuss the possibility of generalizing this tool to
non-linear coupling cases and we give a negative response to this situation.
Finally, we study the case of a network of two oscillators connected in a piecewise
linear way and we discuss their adaptability, which is possible in this particular case.
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