In this thesis, we present a method for the automated generation of numerical evaluation routines for bivariate functions via tensor product series and develop a toolkit to assist with the generation of the approximations. The final approximations can be evaluated in user-defined precision or in hardware floating point precision by default. The evaluation routines can also be compiled into a C library (or a library in some other language) for more efficient evaluations. The toolkit can be used for various mathematical functions of two variables, such as Bessel functions or user-defined functions, at any given precision. The method of tensor product series expansion reduces the bivariate approximation problem to a sequence of univariate approximation problems. In order to control the degrees of the approximating functions so that evaluation will be accurate and efficient, we recursively divide the bivariate intervals into subintervals until both the number of terms in the tensor product series and the degrees of the univariate approximations are less than specified bounds. We then generate in each subinterval rational approximations using Chebyshev-Padé approximants or polynomial approximations using Chebyshev series according to the user's specification. Finally we show the experimental results for a variety of bivariate functions, which achieve a significant speedup over the original Maple functions for evaluation in hardware floating point precision. We also compare the results of choosing polynomial approximations versus rational approximations for the univariate subproblems.

In this thesis, we present a method for the automated generation of numerical evaluation routines for bivariate functions via tensor product series and develop a toolkit to assist with the generation of the approximations. The final approximations can be evaluated in user-defined precision or in hardware floating point precision by default. The evaluation routines can also be compiled into a C library (or a library in some other language) for more efficient evaluations. The toolkit can be used for various mathematical functions of two variables, such as Bessel functions or user-defined functions, at any given precision. The method of tensor product series expansion reduces the bivariate approximation problem to a sequence of univariate approximation problems. In order to control the degrees of the approximating functions so that evaluation will be accurate and efficient, we recursively divide the bivariate intervals into subintervals until both the number of terms in the tensor product series and the degrees of the univariate approximations are less than specified bounds. We then generate in each subinterval rational approximations using Chebyshev-Padé approximants or polynomial approximations using Chebyshev series according to the user's specification. Finally we show the experimental results for a variety of bivariate functions, which achieve a significant speedup over the original Maple functions for evaluation in hardware floating point precision. We also compare the results of choosing polynomial approximations versus rational approximations for the univariate subproblems.

Dans ce mémoire, nous cherchons à modéliser des tables à deux entrées monotones en lignes et/ou en colonnes, pour une éventuelle application sur les tables de mortalité. Nous adoptons une approche bayésienne non paramétrique et représentons la forme fonctionnelle des données par splines bidimensionnelles. L’objectif consiste à condenser une table de mortalité, c’est-à-dire de réduire l’espace d’entreposage de la table en minimisant la perte d’information. De même, nous désirons étudier le temps nécessaire pour reconstituer la table. L’approximation doit conserver les mêmes propriétés que la table de référence, en particulier la monotonie des données. Nous travaillons avec une base de fonctions splines monotones afin d’imposer plus facilement la monotonie au modèle. En effet, la structure flexible des splines et leurs dérivées faciles à manipuler favorisent l’imposition de contraintes sur le modèle désiré. Après un rappel sur la modélisation unidimensionnelle de fonctions monotones, nous généralisons l’approche au cas bidimensionnel. Nous décrivons l’intégration des contraintes de monotonie dans le modèle a priori sous l’approche hiérarchique bayésienne. Ensuite, nous indiquons comment obtenir un estimateur a posteriori à l’aide des méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov. Finalement, nous étudions le comportement de notre estimateur en modélisant une table de la loi normale ainsi qu’une table t de distribution de Student. L’estimation de nos données d’intérêt, soit la table de mortalité, s’ensuit afin d’évaluer l’amélioration de leur accessibilité. / This master’s thesis is about the estimation of bivariate tables which are monotone within the rows and/or the columns, with a special interest in the approximation of life tables. This problem is approached through a nonparametric Bayesian regression model, in particular linear combinations of regression splines. By condensing a life table, our goal is to reduce its storage space without losing the entries’ accuracy. We will also study the reconstruction time of the table with our estimators. The properties of the reference table, specifically its monotonicity, must be preserved in the estimation. We are working with a monotone spline basis since splines are flexible and their derivatives can easily be manipulated. Those properties enable the imposition of constraints of monotonicity on our model. A brief review on univariate approximations of monotone functions is then extended to bivariate estimations. We use hierarchical Bayesian modeling to include the constraints in the prior distributions. We then explain the Markov chain Monte Carlo algorithm to obtain a posterior estimator. Finally, we study the estimator’s behaviour by applying our model on the Standard Normal table and the Student’s t table. We estimate our data of interest, the life table, to establish the improvement in data accessibility.

Dans ce mémoire, nous cherchons à modéliser des tables à deux entrées monotones en lignes et/ou en colonnes, pour une éventuelle application sur les tables de mortalité. Nous adoptons une approche bayésienne non paramétrique et représentons la forme fonctionnelle des données par splines bidimensionnelles. L’objectif consiste à condenser une table de mortalité, c’est-à-dire de réduire l’espace d’entreposage de la table en minimisant la perte d’information. De même, nous désirons étudier le temps nécessaire pour reconstituer la table. L’approximation doit conserver les mêmes propriétés que la table de référence, en particulier la monotonie des données. Nous travaillons avec une base de fonctions splines monotones afin d’imposer plus facilement la monotonie au modèle. En effet, la structure flexible des splines et leurs dérivées faciles à manipuler favorisent l’imposition de contraintes sur le modèle désiré. Après un rappel sur la modélisation unidimensionnelle de fonctions monotones, nous généralisons l’approche au cas bidimensionnel. Nous décrivons l’intégration des contraintes de monotonie dans le modèle a priori sous l’approche hiérarchique bayésienne. Ensuite, nous indiquons comment obtenir un estimateur a posteriori à l’aide des méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov. Finalement, nous étudions le comportement de notre estimateur en modélisant une table de la loi normale ainsi qu’une table t de distribution de Student. L’estimation de nos données d’intérêt, soit la table de mortalité, s’ensuit afin d’évaluer l’amélioration de leur accessibilité. / This master’s thesis is about the estimation of bivariate tables which are monotone within the rows and/or the columns, with a special interest in the approximation of life tables. This problem is approached through a nonparametric Bayesian regression model, in particular linear combinations of regression splines. By condensing a life table, our goal is to reduce its storage space without losing the entries’ accuracy. We will also study the reconstruction time of the table with our estimators. The properties of the reference table, specifically its monotonicity, must be preserved in the estimation. We are working with a monotone spline basis since splines are flexible and their derivatives can easily be manipulated. Those properties enable the imposition of constraints of monotonicity on our model. A brief review on univariate approximations of monotone functions is then extended to bivariate estimations. We use hierarchical Bayesian modeling to include the constraints in the prior distributions. We then explain the Markov chain Monte Carlo algorithm to obtain a posterior estimator. Finally, we study the estimator’s behaviour by applying our model on the Standard Normal table and the Student’s t table. We estimate our data of interest, the life table, to establish the improvement in data accessibility.