This paper is an examination of the theory of discrete complex analysis that arises from the framework of a planar cell complex. Construction of this theory is largely integration-based. A combination of two cell complexes, the double and its associated diamond complex, allows for the development of a discrete Cauchy Integral Formula. / Master of Science

Dans cette thèse, nous étudions la géométrie analytique p-adique et la cohomologie l-adique de certains espaces de Rapoport-Zink, en utilisant la théorie des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats élaborée par Fargues.Cette thèse se compose de trois parties. La première partie traite de certains espaces de Rapoport-Zink non-basiques, qui satisfont à la condition que leur polygone de Newton et polygone de Hodge ont un point de contact non-trivial, qui est un point de rupture pour le polygone de Newton. Sous cette hypothèse, nous prouvons que ces espaces de Rapoport-Zink peuvent être décomposés en une somme directe d'espaces de modules des types de Rapoport-Zink associés à certains sous-groupes paraboliques appropriés, donc leurs cohomologie l-adique sont des induites paraboliques et en particulier ne contiennent pas de représentations supercuspidales. Nous prouvons ces faits en démontrant d'abord un théorème sur la filtration de Hodge-Newton pour les groupes p-divisibles avec des structures additionelles sur des anneaux de valuation complets de rang un et de caractéristique mixte (0,p).Dans la deuxième partie, nous considérons les espaces de Rapoport-Zink basiques de signature (1,n-1) pour les groupes unitaires associés à l'extension quadratique non ramifiée de Qp. On étudie l'action de Hecke sur ces espaces en détails. En utilisant la théorie des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats, et la stratification de Bruhat-Tits de la fibre spéciale réduite Mred étudié par Vollaard-Wedhorn, on trouve un certain domaine analytique compact DK telle que ses itérés dans le groupe G(Qp)×Jb(Qp) forme un recouvrement localement fini de tout l'espace MK. Nous appelons un tel phénomène une décomposition cellulaire localement finie.Dans la troisième partie, nous démontrons une formule de Lefschetz pour ces espaces pour l'action des éléments semi-simples réguliers elliptiques, en tenant compte de l'action de ces éléments sur les cellules et en appliquant le théorème principal de Mieda. De la même manière, nous pouvons aussi reprouver la formule de Lefschetz pour les espaces de Lubin-Tate précédemment obtenue par Strauch et Mieda. Cette formule de Lefschetz devrait caractériser la réalisation de correspondances de Jacquet-Langlands locales pour les groupes unitaires dans la cohomologie l-adique de ces espaces de Rapoport-Zink, dès que certains problèmes correspondants de théorie des représentations auront été résolus. / In this thesis we study p-adic analytic geometry and l-adic cohomology of some Rapoport-Zink spaces, using the theory of Harder-Narasimhan filtration of finite flat group schemes developed by Fargues .This thesis consists of three parts. The first part deals with some non-basic Rapoport-Zink spaces, which satisfy the condition that their Newton polygon and Hodge polygon have a non-trivial contact point, which is a breakpoint for the Newton polygon. Under this hypothesis, we prove these Rapoport-Zink spaces can be decomposed as a direct sum of smaller Rapoport-Zink spaces associated to some suitable parabolic subgroups, thus their l-adic cohomology is parabolically induced and in particular contain no supercuspidal representations. We prove these facts by first proving a theorem about the Hodge-Newton filtration for p-divisible groups with additional structures over complete valuation rings of rank one and mixed characteristic (0,p).In the second part, we consider the basic Rapoport-Zink spaces with signature (1,n-1) for the unitary groups associated to the unramified quadratic extension of Qp. We study the Hecke action on these spaces in details. By using the theory of Harder-Narasimhan filtrations of finite flat group schemes, and the Bruhat-Tits stratification of the reduced special fiber Mred studied by Vollaard-Wedhorn, we find some compact analytic domain DK such that its translates under the group G(Qp)×Jb(Qp) form a locally finite cover of the whole space MK. We call such a phenomenon a locally finite cell decomposition.In the third part we prove a Lefschetz trace formula for these spaces for the action of regular semi-simple elliptic elements, by considering the action of these elements on the cells and applying Mieda's main theorem. In the same way we can also reprove the Lefschetz trace formula for Lubin-Tate spaces as previously obtained by Strauch and by Mieda. This Lefschetz trace formula should characterize the realization of local Jacquet-Langlands correspondences for unitary groups in the l-adic cohomology of these Rapoport-Zink spaces, as soon as some corresponding representation theoretic problems are solved.

Finding of collision free path is central in creation of mobile, autonomous robot. Goal of this paper is to show the most important algorithms implementing such solutions. It also describes application that is being created to allow students experiment with these methods. For this purpose it uses library that was introduced by Jakub Rusnák in 2017, which means this is a continuation and possibly extension of his work.

Metody plánování pohybu jsou významnou součástí robotiky, resp. mobilních robotických platforem. Technicky je realizace plánování pohybu z globální úrovně převedena do posloupnosti akcí na úrovni specifické robotické platformy a definovaného prostředí, včetně omezení. V rámci této práce byla provedena recenze mnoha metod určených pro plánování cest, přičemž hlavním těžištěm byly metody založené na tzv. rychle rostoucích stromech (RRT), prostorovém rozkladu (CD) a využití fuzzy expertních systémů (FES). Dosažené výsledky, resp. prezentované algoritmy, využívají dostupné informace z pracovního prostoru mobilního robotu a jsou aplikovatelné na řešení globální pohybové trajektorie mobilních robotů, resp. k řešení specifických problémů plánování cest s omezením typu úzké koridory či překážky s proměnnou polohou v čase. V práci jsou představeny nové plánovací postupy využívající výhod algoritmů RRT a CD. Navržené metody jsou navíc efektivně rozšířeny s využitím fuzzy expertního systému, který zlepšuje jejich chování. Práce rovněž prezentuje řešení pro plánovací problémy typu identifikace úzkých koridorů, či významných oblastí prostoru řešení s využitím přístupů na bázi dekompozice prostoru. V řešeních jsou částečně zahrnuty sub-optimalizace nalezených cest založené na zkracování nalezené cesty a vyhlazování cesty, resp. nahrazení trajektorie hladkou křivkou, respektující lépe předpokládanou dynamiku mobilního zařízení. Všechny prezentované metody byly implementovány v prostředí Matlab, které sloužilo k simulačnímu ověření efektivnosti vlastních i převzatých metod a k návrhu prostoru řešení včetně omezení (překážky). Získané výsledky byly vyhodnoceny s využitím statistických přístupů v prostředí Minitab a Matlab.

The interest in autonomous surveillance has increased due to advances in autonomous systems and sensor theory. This thesis is a preliminary study of the cooperation between UGVs and stationary sensors when monitoring a dedicated area. The primary focus is the path planning of a UGV for different initial intrusion alarms. Cell decomposition, i.e., spatial partitioning, of the area of surveillance was utilized, and the objective function is based on the probability of a present intruder in each cell. These probabilities were modeled through two different methods: ExpPlanner, utilizing an exponential decay function. Markov planner, utilizing a Markov chain to propagate the probabilities. The performance of both methods improves when a confident alarm system is utilized. By prioritizing the direction of the planned paths, the performances improved further. The Markov planner outperforms the ExpPlanner in finding a randomly walking intruder. The ExpPlanner is suitable for passive surveillance, and the Markov planner is suitable for ”aggressive target hunting”.