The costs related to events of losses within non-life insurance are stochastic and a prerequisite of running a successful insurance business is to predict risks and future costs. From both a business- and regulatory perspective, it is of high interest to have a genuine understanding of the precision and the sensitivity of the estimated costs and future risks. This thesis aims to provide an alternative procedure of how to estimate the costs related to the future and, above all, the variance, in the case of dealing with inhomogeneous and decreasing risk. The procedure is based on a separate modeling of the claim frequency and the claim severity, that later can be combined to yield a total cost distribution for a determined time period. The claim severities are modeled based on a parametric and a non-parametric approach and the claim frequencies are modeled with the resampling method bootstrap and by the use of scenarios. The thesis is made in collaboration with the insurance company, Anticimex Insurance, who has contributed with the data as well as expert knowledge related to the actuarial field. The results of the thesis show that the procedure is successful for evaluating estimated total costs distributions and their first and second moments, even in the case of inhomogeneous and decreasing risk. / Kostnader som uppkommer på grund av skador inom skadeförsäkring är stokasiska och en förusättning för att kunna bedriva ett framgångsrikt försäkringsbolag är att kunna prediktera risk och framtida kostnader. Utifrån ett såväl försäkrings- som reglatoriskt perspektiv är det av stor vikt att ha en gedigen förståelse av både precisionen och känsligheten i de skattade estimaten. Denna uppsats syftar till att ta fram ett alternativt tillvägagångssätt till hur kostnader relaterade till framtiden ska predikteras, med fokus på att utvärdera variationen i estimaten, vid fallet av en inhomogen och avtagande risk. Tillvägagångssättet bygger på en uppdelning mellan antalet skador och kostnaden för skador, vilka modelleras separat för att sedan kombineras och ge en totalkostnadsfördelning för den avsedda tidsperioden. De historiska kostnaderna modelleras utifrån ett parametriskt- och ett ickeparametriskt tillvägagångssätt. Skadefrekvensen modelleras med hjälp av bland annat samplingsmetoden bootstrap samt genom användandet av scenarier. Uppsatsen görs i samarbete med skadeförsäkringsbolaget, Anticimex Försäkringar, vilka har bidragit med data och expertkunskap inom det aktuariella området. Arbetets resultat visar att det föreslagna tillvägagångssättet är en framgångsrik strategi för att utvärdera de första två momenten av de predikterade totalkostnadsfördelningarna, även vid fallet av en inhomogen och avtagande risk.

L’actuariat non-vie étudie les différents aspects quantitatifs de l’activité d’assurance. Cette thèse vise à expliquer sous différentes perspectives les interactions entre les différents agents économiques, l’assuré, l’assureur et le marché, sur un marché d’assurance. Le chapitre 1 souligne à quel point la prise en compte de la prime marché est importante dans la décision de l’assuré de renouveler ou non son contrat d’assurance avec son assureur actuel. La nécessitéd’un modèle de marché est établie. Le chapitre 2 répond à cette problématique en utilisant la théorie des jeux non-coopératifs pour modéliser la compétition. Dans la littérature actuelle, les modèles de compétition seréduisent toujours à une optimisation simpliste du volume de prime basée sur une vision d’un assureur contre le marché. Partant d’un modèle de marché à une période, un jeu d’assureurs est formulé, où l’existence et l’unicité de l’équilibre de Nash sont vérifiées. Les propriétés des primes d’équilibre sont étudiées pour mieux comprendre les facteurs clés d’une position dominante d’un assureur par rapport aux autres. Ensuite, l’intégration du jeu sur une période dans un cadre dynamique se fait par la répétition du jeu sur plusieurs périodes. Une approche par Monte-Carlo est utilisée pour évaluer la probabilité pour un assureur d’être ruiné, de rester leader, de disparaître du jeu par manque d’assurés en portefeuille. Ce chapitre vise à mieux comprendre la présence de cycles en assurance non-vie. Le chapitre 3 présente en profondeur le calcul effectif d’équilibre de Nash pour n joueurs sous contraintes, appelé équilibre de Nash généralisé. Il propose un panorama des méthodes d’optimisation pour la résolution des n sous-problèmes d’optimisation. Cette résolution sefait à l’aide d’une équation semi-lisse basée sur la reformulation de Karush-Kuhn-Tucker duproblème d’équilibre de Nash généralisé. Ces équations nécessitent l’utilisation du Jacobiengénéralisé pour les fonctions localement lipschitziennes intervenant dans le problème d’optimisation.Une étude de convergence et une comparaison des méthodes d’optimisation sont réalisées.Enfin, le chapitre 4 aborde le calcul de la probabilité de ruine, un autre thème fondamentalde l’assurance non-vie. Dans ce chapitre, un modèle de risque avec dépendance entre lesmontants ou les temps d’attente de sinistre est étudié. De nouvelles formules asymptotiquesde la probabilité de ruine en temps infini sont obtenues dans un cadre large de modèle de risquesavec dépendance entre sinistres. De plus, on obtient des formules explicites de la probabilité deruine en temps discret. Dans ce modèle discret, l’analyse structure de dépendance permet dequantifier l’écart maximal sur les fonctions de répartition jointe des montants entre la versioncontinue et la version discrète. / In non-life actuarial mathematics, different quantitative aspects of insurance activity are studied.This thesis aims at explaining interactions among economic agents, namely the insured,the insurer and the market, under different perspectives. Chapter 1 emphasizes how essentialthe market premium is in the customer decision to lapse or to renew with the same insurer.The relevance of a market model is established.In chapter 2, we address this issue by using noncooperative game theory to model competition.In the current literature, most competition models are reduced to an optimisationof premium volume based on the simplistic picture of an insurer against the market. Startingwith a one-period model, a game of insurers is formulated, where the existence and uniquenessof a Nash equilibrium are verified. The properties of premium equilibria are examinedto better understand the key factors of leadership positions over other insurers. Then, thederivation of a dynamic framework from the one-period game is done by repeating of theone-shot game over several periods. A Monte-Carlo approach is used to assess the probabilityof being insolvent, staying a leader, or disappearing of the insurance game. This gives furtherinsights on the presence of non-life insurance market cycles.A survey of computational methods of a Nash equilibrium under constraints is conductedin Chapter 3. Such generalized Nash equilibrium of n players is carried out by solving asemismooth equation based on a Karush-Kuhn-Tucker reformulation of the generalized Nashequilibrium problem. Solving semismooth equations requires using the generalized Jacobianfor locally Lipschitzian function. Convergence study and method comparison are carried out.Finally, in Chapter 4, we focus on ruin probability computation, another fundemantalpoint of non-life insurance. In this chapter, a risk model with dependence among claimseverity or claim waiting times is studied. Asymptotics of infinite-time ruin probabilitiesare obtained in a wide class of risk models with dependence among claims. Furthermore,we obtain new explicit formulas for ruin probability in discrete-time. In this discrete-timeframework, dependence structure analysis allows us to quantify the maximal distance betweenjoint distribution functions of claim severity between the continuous-time and the discrete

This diploma thesis deals with the mathematical models in general insurance. The aim of this thesis is to analyse selected mathematical models that are widely used in general insurance for the estimation of insurance portfolio statistics, pricing and the regulatory capital requirement calculation. Claim frequency models, claim severity models, aggregate loss models and generalized linear models are analysed. This thesis consists of a theoretical and a practical part. The theoretical part contains description of selected models. Described models are then applied to a real dataset in the practical part. The real dataset modelling was performed using the statistical software R. It has been proved that maximum likelihood parameter estimations are of better quality than the method of moments or quantile method estimations. The results of aggregate loss distribution computational methods are comparable. This comparability is mostly caused by a large number of observations. In the context of tariff analysis it was found that the most significant factors are driver's age and the driver's area of residence.