La vitrification des déchets radioactifs de haute activité et vie longue permet d'assurer leur confinement à long terme grâce à l'intégration à l'échelle atomique des radioisotopes au sein d'une matrice vitreuse. Parmi les différents procédés de vitrification, celui basé sur l'utilisation d'un creuset froid à induction électromagnétique directe présente de nombreux avantages. Il est à ce titre en fonctionnement depuis 2010 à l'usine française de retraitement de la Hague. Affiner la compréhension et la modélisation des phénomènes en jeu dans un creuset froid lors de l'élaboration de verre constitue un enjeu décisif pour le soutien industriel et l'appui des démarches d'optimisation du procédé. Dans cette optique, nos travaux proposent un modèle multiphysique ainsi qu'une simulation numérique prédictive prenant en compte l'ensemble des phénomènes couplés régissant le comportement de la charge de verre lors de son élaboration en creuset froid, en termes de convection, de flux thermiques et d'interactions électromagnétiques. Dans un premier temps sont formulées les hypothèses de travail permettant la modélisation mathématique du système magnéto-thermo-hydraulique avec un degré d'approximation contrôlé. Nous mettons notamment en place une approche multi-échelle pour la prise en compte de la nature diphasique du verre nucléaire, constitué d'une matrice homogène présentant des particules métalliques micrométriques de platinoïdes en suspension. La résolution numérique du modèle couplé est alors assurée par le développement et l'utilisation de codes de simulation précis, stables et optimisés, en proposant des schémas numériques et des méthodes de couplage adaptés. Une grande part de nos travaux est dédiée à l'analyse des phénomènes physiques caractéristiques de la fusion du verre, liés de manière générale aux propriétés physico-chimiques variables du matériau (viscosité, masse volumique, conductivité électrique...). Sont notamment étudiés deux grands axes qui constituent des apports applicatifs importants : le transport, la réponse à l'induction et la sédimentation des particules de platinoïdes ainsi que les échanges thermiques entre le verre en fusion et les parois refroidies du creuset. Des lois d'échelle pour l'évaluation de l'intensité respective de ces phénomènes sont dérivées de l'analyse du modèle couplé. Enfin, des comparaisons expérimentales précises, à la fois à petite échelle et à l'échelle industrielle, permettent de valider l'approche choisie et les résultats obtenus. / The vitrification of high-level nuclear waste ensures their long-term confinement through atomic integration of radioisotopes within a vitreous matrix. Among the various vitrification processes, the one based on the use of a cold crucible with direct electromagnetic induction shows many advantages. Thus it has been in operation since 2010 at the French reprocessing plant at La Hague. Refining the understanding and the modeling of the phenomena involved during glass melting inside a cold crucible constitutes a decisive stake for industrial support and process optimization. In this context, our work presents a multiphysics model as well as a predictive numerical simulation taking into account all the coupled phenomena governing the behavior of the glass melt, in terms of convection, heat fluxes and electromagnetic interactions. The working hypotheses are first formulated, allowing the mathematical modeling of the magneto-thermo-hydraulic system with a controlled degree of approximation. In particular, we design a multi-scale approach to take into account the diphasic nature of nuclear glass, consisting of a homogeneous matrix seeded with micrometric particles mostly made of platinum-group metals. The numerical resolution of the coupled model is then assured by the development and use of precise, stable and optimized simulation codes, by proposing numerical schemes and adapted coupling methods. A large part of our work is dedicated to the analysis of the physical phenomena characteristic of glass melting, generally related to the variable physicochemical properties of the material (viscosity, density, electrical conductivity...). In particular, two main axes are studied here with important applications: transport, response to the induction and settling of the platinum-group metal particles and heat transfers between the molten glass and the cooled walls of the crucible. Scaling laws for the evaluation of the respective intensity of these phenomena are derived from the coupled model analysis. Finally, precise experimental comparisons, both on a small scale and on an industrial scale, make it possible to validate the chosen approach and the outcoming results.