Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis está dedicada al estudio del problema inverso de detección de obstáculos/objetos utilizando métodos de optimización. Este problema consiste en localizar un objeto desconocido $\omega$ dentro de un dominio acotado conocido $\Omega$ por medio de mediciones en el borde, más precisamente dadas por un dato de tipo Cauchy en una parte $\Gammaobs$ de $\partial \Omega$. Estudiamos los casos escalares y vectoriales para este problema, considerando las ecuaciones de Laplace y de Stokes. En ambos casos nos apoyamos en resultados de identificabilidad, los cuales aseguran la existencia de un único obstáculo/objeto asociado a la medición de borde considerada. La estrategia utilizada en este trabajo se basa en reducir el problema inverso a la minimización de un funcional de costo: el funcional de Kohn-Vogelius. Esta estrategia es utilizada frecuentemente y permite el uso de métodos de optimización para las implementaciones numéricas. Sin embargo, en virtud de poder definir el funcional, este método requiere conocer una medida sobre toda la frontera exterior $\partial \Omega$. Este último punto nos lleva a estudiar el problema de completación de datos que consiste en recuperar las condiciones de borde sobre una región inaccesible, i.e. sobre $\partial \Omega \setminus \Gammaobs$, a partir del conocimiento de los datos de Cauchy sobre la región accesible $\Gammaobs$. Este problema inverso es igualmente estudiado vía la minimización de un funcional de tipo Kohn-Vogelius. Dado que este problema está mal puesto, debemos regularizar el funcional por medio de una regularización de Tikhonov. Obtenemos numerosas propiedades teóricas, como propiedades de convergencia, en particular cuando los datos poseen ruido. Teniendo en cuenta los resultados teóricos, reconstruímos numéricamente los datos de borde por medio de la implementación de un algoritmo de tipo gradiente para minimizar el funcional regularizado. Luego estudiamos el problema de detección de obstáculos cuando solo se poseen mediciones parciales. Consideramos las condiciones en el borde inaccesible y el objeto desconocido como variables del funcional y entonces, usando herramientas de optimización geométrica, en particular el gradiente de forma del funcional de Kohn-Vogelius, realizamos la reconstrucción numérica del objeto desconocido. Finalmente, consideramos, en el caso vectorial bidimensional, un nuevo grado de libertad, al estudiar el caso en que el número de objetos es desconocido. Así, utilizamos la optimización de forma topológica con el fin de minimizar el funcional de Kohn-Vogelius. Obtenemos el desarrollo asintótico topológico de la solución de las ecuaciones de Stokes 2D y caracterizamos el gradiente topológico de este funcional. Determinamos entonces numéricamente el número de obstáculos como su posición. Además, proponemos un algoritmo que combina los métodos de optimización de forma topológica y geométrica, con el fin de determinar numéricamente el número de obstáculos, su posición y su forma. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por Conicyt-Beca Doctorado Nacional 2012 y el programa Ecos-Conicyt proyecto C13E05

El objetivo de esta memoria es analizar, desde diferentes puntos de vista, dos clases de matrices ampliamente utilizadas, las matrices con inversa positiva y las B-matrices. Vamos a generalizar, en unos casos, y completar en otros los resultados obtenidos por diferentes investigadores. El problema de caracterizar matrices inversa-positiva ha sido extensamente tratado en la literatura. Diversos autores estudiaron el concepto para matrices inversa-positiva que además fuesen Z-matriz (es decir, M-matrices). Otros autores se ocuparon de caracterizar los patrones de signos que debe seguir una matriz inversa-positiva. La inversa-positividad de matrices cuadradas reales juega un rol muy importante en diferentes áreas de la ciencia y la ingeniería y ha sido analizada en diferentes contextos. En nuestro trabajo presentamos nuevas caracterizaciones de matrices inversa-positiva. Analizamos también el concepto inversa-positiva para un tipo particular de patrón de signos: el patrón 'checkerboard'. La suma sub-directa de matrices es una generalización de la suma habitual de matrices. Fue introducida por C. Johnson y S. Fallat y aparece de un modo natural en completación de matrices y subdominios solapados en métodos de descomposición de dominios, entre otros contextos. También aparece en diversas variantes de precondicionamiento aditivo de Schwartz, y cuando se analizan métodos aditivos de Schwartz para cadenas de Markov. En este trabajo aportamos nuevos resultados acerca de la suma sub-directa de matrices con inversa positiva y de la suma sub-directa de las distintas clases de B-matrices, planteándonos las preguntas de Fallat y Johnson y respondiéndolas para las clases de matrices mencionadas. Johnson, estudió los posibles patrones de signos de una matriz compatibles con el hecho de que tenga su inversa positiva. Siguiendo sus resultados, analizamos el concepto inversa-positiva para un tipo particular de patrón: el patrón 'checkerboard'. Estudiamos también en esta memoria la / Abad Rodríguez, MF. (2012). Algunos resultados sobre B-matrices y matrices con inversa positiva [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/16883 / Palancia

La presente memoria aborda algunos problemas de completación de matrices parciales, concretamente analizamos las matrices parciales totalmente no negativas, las matrices parciales totalmente no positivas y las R y TR-matrices parciales. El objetivo es dar a conocer la situación actual de los citados problemas y proporcionar condiciones necesarias y suficientes que nos permitan cerrar diversos casos abiertos. Analizamos dichos problemas obteniendo nuevos resultados en el caso de matrices parciales totalmente no negativas y totalmente no positivas. Además conseguimos cerrar los problemas de completación de las R y TR-matrices parciales. / Khalil Hassan El Ghamry, R. (2009). Problemas de completación de matrices parciales [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/8858 / Palancia