Dans cette thèse nous nous intéressons aux flots de Monge-Ampère complexes, à leurs généralisations et à leurs applications géométriques sur les variétés hermitiennes compactes. Dans les deux premiers chapitres, nous prouvons qu'un flot de Monge-Ampère complexe sur une variété hermitienne compacte peut être exécuté à partir d'une condition initiale arbitraire avec un nombre Lelong nul en tous points. En utilisant cette propriété, nous con- firmons une conjecture de Tosatti-Weinkove: le flot de Chern-Ricci effectue une contraction chirurgicale canonique. Enfin, nous étudions une généralisation du flot de Chern-Ricci sur des variétés hermitiennes compactes, le flot de Chern-Ricci tordu. Cette partie a donné lieu à deux publications indépendantes. Dans le troisième chapitre, une notion de C -sous-solution parabolique est introduite pour les équations paraboliques, étendant la théorie des C -sous-solutions développée récem- ment par B. Guan et plus spécifiquement G. Székelyhidi pour les équations elliptiques. La théorie parabolique qui en résulte fournit une approche unifiée et pratique pour l'étude de nombreux flots géométriques. Il s'agit ici d'une collaboration avec Duong H. Phong (Université Columbia ) Dans le quatrième chapitre, une approche de viscosité est introduite pour le problème de Dirichlet associé aux équations complexes de type hessienne sur les domaines de Cn. Les arguments sont modélisés sur la théorie des solutions de viscosité pour les équations réelles de type hessienne développées par Trudinger. En conséquence, nous résolvons le problème de Dirichlet pour les équations de quotient de hessiennes et lagrangiennes spéciales. Nous établissons également des résultats de régularité de base pour les solutions. Il s'agit ici d'une collaboration avec Sl-awomir Dinew (Université Jagellonne) et Hoang-Son Do (Institut de Mathématiques de Hanoi). / In this thesis we study the complex Monge-Ampère flows, and their generalizations and geometric applications on compact Hermitian manifods. In the first two chapters, we prove that a general complex Monge-Ampère flow on a compact Hermitian manifold can be run from an arbitrary initial condition with zero Lelong number at all points. Using this property, we confirm a conjecture of Tosatti- Weinkove: the Chern-Ricci flow performs a canonical surgical contraction. Finally, we study a generalization of the Chern-Ricci flow on compact Hermitian manifolds, namely the twisted Chern-Ricci flow. This part gave rise to two independent publications. In the third chapter, a notion of parabolic C -subsolution is introduced for parabolic non-linear equations, extending the theory of C -subsolutions recently developed by B. Guan and more specifically G. Székelyhidi for elliptic equations. The resulting parabolic theory provides a convenient unified approach for the study of many geometric flows. This part is a joint work with Duong H. Phong (Columbia University) In the fourth chapter, a viscosity approach is introduced for the Dirichlet problem associated to complex Hessian type equations on domains in Cn. The arguments are modelled on the theory of viscosity solutions for real Hessian type equations developed by Trudinger. As consequence we solve the Dirichlet problem for the Hessian quotient and special Lagrangian equations. We also establish basic regularity results for the solutions. This part is a joint work with Sl-awomir Dinew (Jagiellonian University) and Hoang-Son Do (Hanoi Institute of Mathematics).

Dans cette thèse nous étudions des questions de stabilité géométrique pour des variétés kähleriennes à courbure scalaire constante (cscK) avec classe de cohomologie transcendante. En tant que point de départ, nous introduisons des notions généralisées de K-stabilité, étendant une image classique introduite par G. Tian et S. Donaldson dans le cadre des variétés polarisées. Contrairement à la théorie classique, ce formalisme nous permet de traiter des questions de stabilité pour des variétés kähleriennes compactes non projectives ainsi que des variétés projectives munis de polarisations non rationnelles. Dans une première partie, nous étudions les rayons sous-géodésiques associés aux configurations tests dites cohomologiques, objets introduitent dans cette thèse. Nous établissons ainsi des formules fondamentales pour la pente asymptotique d'une famille de fonctionnelles d'énergie, le long de ces rayons géodésiques. Ceci est lié au couplage de Deligne en géométrie algébrique, et ce formalise permet en particulier de comprendre le comportement asymptotique d'un grand nombre de fonctionnelles d'énergie classiques en géométrie kählerienne, y compris la fonctionnelle d'Aubin-Mabuchi et la K-énergie. En particulier, ceci fournit une approche pluripotentielle naturelle pour étudier le comportement asymptotique des fonctionnelles d'énergie dans la théorie de K-stabilité. En s'appuyant sur cette première partie, nous démontrons ensuite un certain nombre de résultats de stabilité pour les variétés cscK. Tout d'abord, nous prouvons que les variétés cscK sont K-semistables dans notre sens généralisé, prolongeant ainsi un résultat dû à Donaldson dans le cadre projectif. En supposant que le groupe d'automorphisme est discret, nous montrons en outre que la K-stabilité est une condition nécessaire pour l'existence des métriques cscK sur des variétés kähleriennes compactes. Plus précisément, nous prouvons que la coercivité de la K-énergie implique la K-stabilité uniforme, ainsi généralisant des résultats de Mabuchi, Stoppa, Berman, Dervan et Boucksom-Hisamoto-Jonsson pour des variétés polarisées. Cela donne une preuve nouvelle et plus générale d'une direction de la conjecture Yau-Tian-Donaldson dans ce contexte. L'autre direction (suffisance de K-stabilité) est considérée comme l'un des problèmes ouverts les plus importants en géométrie kählerienne. Nous donnons enfin des résultats partiels dans le cas des variétés kähleriennes compactes qui admettent des champs de vecteurs holomorphes non triviaux. Nous discutons également autour des perspectives et applications de notre théorie de K-stabilité pour les variétés kähleriennes avec classe transcendante, notamment à l'étude des lieux de stabilité dans le cône de Kähler. / In this thesis we are interested in questions of geometric stability for constant scalar curvature Kähler (cscK) manifolds with transcendental cohomology class. As a starting point we develop generalized notions of K-stability, extending a classical picture for polarized manifolds due to G. Tian, S. Donaldson, and others, to the setting of arbitrary compact Kähler manifolds. We refer to these notions as cohomological K-stability. By contrast to the classical theory, this formalism allows us to treat stability questions for non-projective compact Kähler manifolds as well as projective manifolds endowed with non-rational polarizations. As a first main result and a fundamental tool in this thesis, we study subgeodesic rays associated to test configurations in our generalized sense, and establish formulas for the asymptotic slope of a certain family of energy functionals along these rays. This is related to the Deligne pairing construction in algebraic geometry, and covers many of the classical energy functionals in Kähler geometry (including Aubin's J-functional and the Mabuchi K-energy functional). In particular, this yields a natural potential-theoretic aproach to energy functional asymptotics in the theory of K-stability. Building on this foundation we establish a number of stability results for cscK manifolds: First, we show that cscK manifolds are K-semistable in our generalized sense, extending a result due to S. Donaldson in the projective setting. Assuming that the automorphism group is discrete we further show that K-stability is a necessary condition for existence of constant scalar curvature Kähler metrics on compact Kähler manifolds. More precisely, we prove that coercivity of the Mabuchi functional implies uniform K-stability, generalizing results of T. Mabuchi, J. Stoppa, R. Berman, R. Dervan as well as S. Boucksom, T. Hisamoto and M. Jonsson for polarized manifolds. This gives a new and more general proof of one direction of the Yau-Tian-Donaldson conjecture in this setting. The other direction (sufficiency of K-stability) is considered to be one of the most important open problems in Kähler geometry. We finally give some partial results in the case of compact Kähler manifolds admitting non-trivial holomorphic vector fields, discuss some further perspectives and applications of the theory of K-stability for compact Kähler manifolds with transcendental cohomology class, and ask some questions related to stability loci in the Kähler cone.